Brachistochrone

Source: http://whistleralley.com/brachistochrone/brachistochrone.htm

Problema brachistochrone este un exerciţiu de secolul XVII, în calculul de variaţii. În soluţia sa la problema, Jean Bernoulli angajat o analogie foarte inteligent pentru a dovedi că drumul este un Cicloida. Mult în modul în care Arhimede aplicat legile gravitaţiei şi de pârghie pentru obiecte pur teoretică geometrice, Bernoulli rezolvat o problema gravitaţiei prin utilizarea proprietăţilor aparent fără legătură de refracţie lumină. Această prezentare se bazează pe soluţia sa.

Brachistochrone provocare:

Suntem dat două puncte fixe într-un plan vertical. O particulă începe de la restul de la unul dintre punctele şi călătoreşte la alte sub propria greutate. Găsiţi calea care particula trebuie să le urmeze în scopul de a ajunge la destinaţie în cel mai scurt timp.

Doar pentru a obţine câteva reguli de bază dreaptă, această problemă este situat într-una din acele lumi perfecte care există în mintea de teoreticieni. În această lume, acceleraţia gravitaţională este constantă în ambele direcţii şi mărime. Particula este un punct, dar are masa, şi, prin urmare, greutate. Fiind un punct, nu este împovărat cu momentul de inerţie sau frecare. Cu toate acestea, într-un fel poate fi forţat să urmeze o cale fără a câştiga sau pierde energie. Oricine doreşte să arunce relativităţii speciale în amestec se recomandă pentru a căuta alte site-ul la unele.

Brainstorming

Este speranţa mea de a face acest subiect, cel puţin parţial accesibile chiar şi pentru studenţii care nu au studiat calcul. Din acest motiv, această secţiune este o discuţie de unele dintre procesele de gândire care ar putea merge împreună cu o astfel de problemă. Dacă aţi prefera să faceţi această analiză pe cont propriu sau nu la toate, nu vei răni sentimentele mele sărind peste până la soluţia.

Una dintre legile fizice care trebuie observat este faptul că viteza unui obiect care se încadrează este o funcţie a înălţimii sale. Tobogane, leagăne, sau orice altceva care este introdus poate modifica cursul particulei, dar viteza sa la orice înălţime dat va fi acelaşi, indiferent in ce directie sa din călătorie sau pe ce cale a luat pentru a ajunge la acest nivel. Jos este, cu atat mai repede se deplasează. Având în vedere că particula porneşte din repaus, nu se poate ridica nici o altitudine mai mare decât începutul ei. Asta ar fi ca se încadrează în sus pe un deal.

Inainte de a ajunge în cifre, considera un puţine posibilităţi. Chiar şi în rândul mathphobes există o expresie comună care să ateste că distanţa cea mai scurtă dintre două puncte este de-a lungul unei linii drepte. Este calea cea mai scurtă, dar este, de asemenea, cel mai rapid?Această cale poate fi uşor respinsă cu un contraexemplu. În cazul în care punctele de început şi sfârşit se află la aceeaşi altitudine, apoi linia dintre ele este orizontală. Greutatea de particule nu poate provoca-l să alunece pe o suprafaţă plană. Acesta trebuie să prima scadere de mai jos cota de plecare, în scopul de a obţine unele progrese. Un traseu dreptunghiular ar ajunge la destinaţie, deşi nu neapărat în cel mai scurt timp. Deci, calea directă nu este cel mai rapid, cel puţin nu în toate cazurile.

Ce dacă se face deplasarea pe un traseu dreptunghiular? Există un număr de trasee rectangulare între două puncte. În aceste două imagini, particula călătoreşte în jos, apoi la dreapta, apoi în sus. În a doua imagine, este de competenţa mai jos decât a făcut-o în prima, asa ca trebuie sa parcurga o distanta mai mare. Pe de altă parte, călătoria pe orizontală este mai rapid în a doua. În cazul în care nu ia o cale dreptunghiulară, cât de departe ar trebui să cadă?

Răspunsul la această întrebare ar putea face o extensie interesantă, dar, de fapt, există multe motive să nu se ia un traseu dreptunghiular, la toate. Primul motiv este fizic. Un traseu dreptunghiular ar necesita un obiect în mişcare să se supună o schimbare instantanee în direcţie, care este fizic imposibilă. Având în vedere că particula are masa, ar fi nevoie de o cantitate infinita de energie. Singura modalitate pentru particula să urmeze această cale ar fi să încetinească la o oprire la punctul de unghi, accelera apoi în altă direcţie. Acest lucru ar necesita noi pentru a stoca şi eliberarea de energie, la fel cum un Pogo Stick nu. În cazul în care au fost caz, particula va fi propulsat de o forţă, alta decât propria sa greutate. Normele nu par a permite asta, dar este un punct de discuţie. Se poate dovedi că cea mai rapidă cale este o curbă. Nu are nici un unghi de puncte.

Acest lucru a fost trebuia să fie loc în una dintre aceste lumi speciale. Să presupunem că, în această lume, schimbarea instantanee a vitezei este posibilă. În acest exemplu, calea urmează o curbă la un punct de unghi, K, apoi se transformă brusc pe o altă curbă, fără a pierde orice viteză. Unghiul de intersecţie este unghiul format de tangentele înapoi şi înainte. Acesta va fi indicat faptul că există întotdeauna o comandă rapidă mai repede peste colţ. Să i se lungimea de un mic segment de drum (evidenţiate cu roşu), începând de la o distanţă scurtă înainte de punctul K şi continuă aceeaşi distanţă dincolo de ea, apoi permiteţi- v este viteza medie a particulei de-a lungul lui. Să s ' să fie lungimea segmentului de linie de legătură obiective, apoi permiteţi- v " este viteza medie de-a lungul acestei segment de linie. În mod clar, etrebuie să fie mai mare decât e. Aşa cum am zoom in şi de a folosi o valoare mai mică pentru e, segmentul şi abordarea rapidă forma unui triunghi isoscel. Viteza medie, v şi "v abordare atât de viteza la punctul K. Din moment ce ei se apropie de aceeaşi constantă, raportul v '/ v se apropie de 1. Raportul E / s se apropie unele constantă, care este mai mică de 1.

În această inegalitate ultimul, T este timpul de călătorie de-a lungul segmentului de culoare roşie şi prin unghiul, şi 't este timpul necesar de comenzi rapide. Se pare că unghiurile sunt o pierdere de timp.

Sa explicat că în cazul în care parametrii au calea de elevaţie aceeaşi, atunci calea va trebui să coboare de la început şi să vină înapoi până la linia de sosire. Deci, există cel puţin un caz în care curba ar merge în jos şi apoi înapoi în sus. Se poate demonstra că nu există nici un caz în care orice parte dintre cele mai rapide calea merge în sus şi apoi înapoi în jos. Mai mult, în general, arată că nici o parte a curbei este concavă în jos. Dovada este lăsată la latitudinea cititorului.

Înainte de a trece la soluţia, permiteţi-ne rezuma concluziile:

• Nici un punct pe calea poate fi mai mare decât punctul de plecare.
• O linie dreaptă nu este soluţia pentru fiecare caz.
• Nu există unghiuri în cale.
• Nici o parte din calea este in jos concav.

Soluţia

Să punctul de plecare de la care particula este eliberat fie de origine (0, 0).

În această ecuaţie, v este viteza particulei şi g este acceleraţia gravitaţiei. Ţineţi minte că particula este în curs de eliberare de origine. Y -coordonate nu poate fi pozitiv, deoarece un obiect care se încadrează nu pot ajunge la un nivel mai ridicat decât punctul său de presă. Desigur, în cazul în care punctul de finisare este mai mare decât punctul de plecare, nu există nici o soluţie. Imaginaţi-vă de particule care intră printr-un coş de avioane. La fiecare plan, are o viteză diferită.

Bernoulli găsit un mod echivalent de vizionare ea. În loc de un subiect de particule pentru forta de gravitatie, el a considerat o raza de lumina care călătoresc prin mass-media diferite. Viteza luminii depinde de mediul prin care acesta calatoreste. Atunci când traversează graniţa unui dintr-un mediu la altul, este refractata. Statele Principiul lui Fermat că, în lumina călătoreşte pe o frontieră de la un punct la altul, este nevoie de cel mai rapid traseu, care, în general, nu este calea cea mai directă. Este de la sine înţeles că soluţia la brachistochrone ar putea fi obţinute prin imitarea comportamentului de lumină. Lumina găseşte întotdeauna calea cea mai rapida, deoarece ea se supune Legii lui Snell de refracţie.

Legea lui Snell:

n un păcat θ 1  =  n 2 păcat θ 2

în cazul în care n i  =  c / v I (indicele de refractie în mediul i), c este viteza luminii în vid, şi v -am este viteza luminii în mediul i.

Să facă legătura între Principiul lui Fermat şi Legea lui Snell este explicată aici: Fermat

Acum, imaginaţi-vă o rază de lumină care călătoresc în jos, prin mai multe straturi de densitate diminuare. Prin orice strat dat, să densitatea medie să fie astfel că viteza luminii este aceeaşi ca viteza unui obiect care se încadrează la o înălţime de la mijlocul stratului. Ca grosimea straturilor este diminuat, calea de lumina se apropie o curbă diferenţiabilă, iar viteza luminii poate fi descrisă de ecuaţia aceeaşi utilizat de mai sus:

Acesta poate părea că apelând la proprietăţile fizice ale luminii, o derivare matematic este înlocuită cu unele umil lumea reală de observare. Deşi este adevărat că un comportament prezis de lumina a fost confirmat de dovezi empirice, există, de asemenea, un proces pur logice sub suprafata. În afară de la orice fapt fizic, prin matematică singur, se poate dovedi faptul că cea mai rapidă cale este cel descris de Legea lui Snell. Nu contează dacă lumina de fapt, conform legii, fie. Dacă particula care se încadrează pot fi făcute pentru a se conforma la Legea lui Snell, se va ajunge la destinaţie în cel mai scurt timp posibil.

De lucru de la Legea lui Snell, putem obţine unele noţiunea de panta curbei.

Acest lucru înseamnă că, la fiecare nivel, raportul dintre viteza de sinusul unghiului de incidenta este egal cu aceeaşi constantă pozitivă, o. Excepţia este punctul de plecare (şi, probabil, finisare), care se află pe x -axa, în cazul în care viteza este zero şi nu există nici un unghi de incidenţă. În această imagine, un segment arbitrar de mici a curbei este afişat. Deoarece lungimea acestuia scade, cele trei laturi ale abordării figura un triunghi dreptunghic. Unele relaţii utile pot fi văzute.

Constantele o şi g sunt atât pozitive, cât.

Aceasta este pătrat de derivate. Acesta este nedefinit pentru y  ≥ 0, iar pentru y  <- un 2 / (2 g).

Acum, ne uităm la Cicloida. Un cicloida este, de obicei înfăţişat ca calea unui punct de pe un cerc care se rostogoleste de-a lungul sol, ca o roată. De această dată, este de rulare pe tavan, x -axa. Se porneşte de la (0, 0).

Pentru comparaţie, am dori să găsiţi cele mai pătrat al unui derivat Cicloida. Fie P să fie punctul de pe cercul de rulare, care este de urmărire Cicloida. Fie r fi raza cercului, Q centru, şi D punctul de tangenţă între cerc şi x -axa. X -coordonate de P poate fi exprimat ca DO - PE. Distanţa DO trebuie să fie aceeaşi ca lungimea arcului de la D la P, astfel încât să putem face o înlocuire.

În acest fel, x a fost exprimată în întregime în termeni de cerc. Acum, zoom pe punctul P si uita-te la modificările care au loc atunci când P este avansat o distanţă scurtă arbitrar de-a lungul cercului de la punctul G. Lungimea este de schimbare în lungimea de . Schimbare în PE este - PF (negativ, deoarece PE se micsoreaza). Schimbare în y este - FG. În ceea ce devine mai mic, se apropie de un segment perpendicular pe linie la radiale PQ, şi ΔPGF abordări similitudine cu ΔQPE.

Dacă lăsăm r egal cu un 2 / (4 g), atunci găsim că acest lucru este aceeaşi ca a pătratului de derivate din brachistochrone, cum rezultă de mai sus. Acest lucru pare să ne conducă spre cicloida ca o soluţie. Există încă unele se termină în vrac, dar o cicloida este soluţia. Fie punctul O fi început din nou, apoi permiteţi punctul N se termina. Desenaţi un început arbitrar Cicloida la O. Găsiţi intersecţie, M, de linia ON şi Cicloida. Dilata cicloida pe O, folosind factorul de scara ON / OM.

Mărunţişuri de ultimă oră

Nu am de gând să facă tot de lucru curat-up, dar voi sublinia unele probleme rămase şi lăsaţi-le ca exercitii, incepand cu cel mai dificil.

Această parte este un pic deconcertant. Am văzut mai multe explicaţii de brachistochrone în manuale şi pe Web. Fără îndoială, această problemă a fost abordată înainte, dar nu am văzut-o. Toate tratamentele le-am citit ajunge la o formă a acestei ecuaţii diferenţiale:

Apoi, într-un fel sau altul, ei dovedesc că există o cicloida care satisface ecuaţia, şi lăsaţi-l la asta. Este cicloida singura soluţie? De fapt, ea nu este. Brachistochrone este o cicloida, dar că nu este cicloida curba numai satisface ecuaţia.

Ecuaţia prezinta sub forma de pătrat de derivate. Putem obţine magnitudinea derivat din asta, dar nu sa semneze. Unde se duce în sus, şi unde se merge în jos? Trebuie să-l meci cicloida? Atât brachistochrone şi cicloida începe în jos. Nici curba poate avea un derivat discontinua (care este ceea ce că discuţia punctul unghi era vorba), astfel încât nici nu se poate curba ascendentă până după primul derivat a ajuns la zero. În cazul în care modalităţi de o parte, aceasta va trebui să fie la punctul în care la nivel off. Brachistochrone nu poate merge în jos de acolo, deoarece derivata ei ar fi nedefinite, şi, de asemenea, ar fi concavitatea în jos. Dar cine spune ca nu poate continua orizontal pentru un timp înainte de a se întoarce în sus? Această cale nu ar intra în conflict cu ecuaţia.

Dacă punctul N este deasupra liniei y = (-2 / π) x, atunci există o intreaga familie de curbe satisface ecuaţia, şi numai una dintre ele este un Cicloida. Fiecare dintre ceilalti are o definitie pe porţiuni. Ei urmeze o cicloida pentru jumătate de ciclu, atunci există un segment de linie orizontală, şi în cele din urmă, ei urmează un alt cicloida la punctul N (într-un caz, punctul N este la sfârşitul a segmentului de linie).

(1) Să se arate că cicloida este cea mai rapidă cale în familie. Sugestie: a curbelor în această familie, cicloida este singurul care nu include un segment de linie orizontală. Să considerăm un segment de linie orizontală sub x -axa, atunci dovedesc că trebuie să existe o cale mai rapidă între obiective ale segmentului de linie.

(2) Să se arate că nu există soluţii pentru ecuaţia diferenţială şi condiţiile iniţiale în afara de aceasta familie de curbe.

(3) Ce este atât de special cu privire la linia y = (-2 / π) x? De ce există doar o singură soluţie pentru ecuaţia diferenţială cu excepţia cazului în punctul N este mai mare decât linia?

(4) patrat de derivate din cicloida ar fi putut fi derivate analitic, dar a fost făcut geometric. Asta a fost în conformitate cu tema geometria de pe acest site, dar mai ales a fost pentru că îmi place să deseneze. Un cititor ascuţite poate fi observat că calcule depind de punctul P, fiind de mai jos şi a plecat de la punctul Q. În orice altă poziţie, unele din semnele se va schimba, dar rezultatul final va fi acelaşi. Să se arate că aceasta este aşa.

(5) Să considerăm cazul special în care punctul N este pe y -axa. Nr cicloida ar putea ajunge la acest punct, şi este intuitiv evident că cea mai rapidă cale va urma o linie verticală. Face acest lucru în contradicţie cu derivarea cicloida?

(6) Du-te înapoi la modelul teoretic lui Bernoulli de un mediu cu o densitate variabilă continuă, provocând luminii pentru a calatori la aceeaşi viteză ca obiecte care se încadrează. În cazul în care un laser s-au arătat vertical în jos, prin acest mediu, ar fază urmeze o cale cycloidal? Dacă nu, este aceasta o contradictie?

Înapoi la Whistler Alley matematică