Kouti Supergravity
Sanble ta gen yon sèten kantite konfizyon sou reklamasyon yo nan Seiberg ak Komargodski nan dènye papye yo. Mwen te di ke mwen te konfonn, epi gen nan omwen youn nan dènye papye diskite (oswa pi plis--mwens kòrèkteman) kont reklamasyon ke Mwen pa panse yo ap fè.
Se konsa, isit la nan tantativ m 'klè bagay yo.
Konsidere yon & # x1d4a9; = 1 supersymmmetric linear σ-modèl nan d = 4, sa vle di yon modèl Wess-Zumino ak espas sib, M, yon Kähler maninfold dimansyon ki konplèks, n. Lè ka yon koup tankou yon teyori supergravity? Yon lekti naiv nan papye yo ta ka mennen youn a panse ke yo se posiblite yo
- Yon moun kapab koup teyori a supergravity minim si e sèlman si fòm lan Kähler, ω, sou M, se egzak.
- Yon moun kapab koup teyori a nan "nouvo minimòm" supergravity si e sèlman si teyori a gen yon U egzak (1) R simetri. Nan ka sa a, ω ta ka cohomologically nontrivial.
- Si ω se cohomologically nontrivial, ak teyori an pa gen yon U (1) R simetri, Lè sa a, posibilite a sèlman se koup ki pa-minim "16 | 16" supergravity.
Yon ta ka panse ke, men se yon sèl ta dwe mal. Kòm Bagger ak Witten te montre, prèske 30 ane de sa, kouti supergravity minim pa mande pou fòm nan Kähler yo dwe egzak. Olye de sa, [ω] dwe yon klas menm entegral.
Pwen an se sa ki annapre yo. Nan supèrsimetri rijid, lignée σ-modèl Lagrange an ki pi fasil-ekri an tèm de potansyèl la Kähler,
kote Φ mwen yo superfields chiral, ki gen pi ba yo se eleman lokal kowòdone konplèks sou M. potansyèl la Kähler, sepandan se pa sa globalman-defini sou M. Sou doubl plak, U α ∩ U β, li diferan pa Kähler transfòmasyon
K α = K β+ f αβ (φ)+ ° F αβ (φ °)
Toujou, entegral li d 4θ se globalman-defini, epi konsa se konsa li ye (1).
Malerezman, supergravity aksyon an
pa sanble yo gen envaryabl anba Kähler transfòmasyon, ak Se konsa, pa parèt yo dwe globalman-defini.
Sa a kapab enkonsistans aparan, sepandan, ap rezoud. Kòm Bagger ak Witten te montre, nou ka akonpaye transfòmasyon yo Kähler pa yon sistèm wotasyon chiral nan fèrmyon yo - tou de fèrmyon yo ki nan multiplets yo chiral, epi transfòme an gravitinos - nan yon fason ke aksyon an (2) se envaryabl (yo e pakonsekan byen- defini atravè plak doubl-sou M). Sepandan, youn ap peye yon pri: rotasyon yo chiral dwe konsistan atravè doubl trip, U α ∩ U β ∩ U γ, ki mennen nan kondisyon an kantizasyon susmansyone sou [ω].
Plis jeyometri, yon moun ka fraz sa kap pase jan sa a. Naivman, fèrmyon yo, χ mwen, nan multiplets yo chiral, transfòme kòm spinor-valè seksyon nan φ * (TM) (kote TM se pake la tanjant olomorf de M). Olye de sa, gen nan yon pake liy olomorf, L → M, ak fèrmyon yo transfòme tankou seksyon nan φ * (TM ⊗ L). Menm jan an tou, gravitino a 1, ψ αμ, transfòme tankou yon seksyon nan φ * (L -1). Lè ou gade nan Einstein ankadreman Lagrange an, nan konpozan, gen se yon tèm ki se eksplisitman pa Kähler-envaryabl.
kote
& # X1d49c; μ = 14 (∂ K ∂ φ j ∂ μφ J-∂ K ∂ φ ¯ ȷ ¯ ∂ μφ ¯ ȷ °)
se eleman ki pi ba a nan multiple nan Fayet-Ferrara kote (ki gen anwo konpozan yo supercurrent la ak tensor a estrès). Li se jisteman tèm sa ki, Seiberg ak Komargodski soti pwen, fè kouti nan supergravity potansyèlman malad-defini.
An reyalite, & # x1d49c; μ dwe pullback a spacetime nan yon koneksyon, A, sou L. 2A se yon koneksyon nan L 2, ak ω se deviation li yo. Lefèt ke deviation a L dwe yon klas entegral se sa ki bay kondisyon an sou kantizasyon [ω].
, W pèdi anbarasman, tèm (3) se nan pwesizeman sa ki nan bezwen yo konbine ak lòt tèm yo fòme
e (ε μνρσψ ¯ νσ ¯ ρ & # x1d49f; ~ μψ σ-IG mwen ȷ ¯ χ ¯ ȷ ° σ ¯ μ & # x1d49f; ~ μχ mwen)
kote & # x1d49f; ~ μ se derive ki kòrèk covariant aji sou fèrmyon trese pa pouvwa ki apwopriye a nan L.
Anplis, si teyori an gen yon superpotential, W (φ), lè koup supergravity, superpotential a transfòme pa tankou yon fonksyon olomorf sou M, men kòm yon seksyon nan olomorf L 2.
Kantizasyon a [ω] bay, imedyatman, yon teyorèm ki pa Peye-rnormalizasyon. Klas la koomologi [ω] pa kapab renormalized. Tout koreksyon nan ω yo egzak (an reyalite yo, yo yo koreksyon nan K pa globalman-defini fonksyon sou M.) Li te tou te bay Bagger ak Witten eslogan memorab yo ki, lè yo kouti linear σ-modèl nan supergravity, se konstan nan Newton kantifye nan inite nan f π.
Ki sa ki sou "nesesite pou" ki ω dwe egzak? Pandan ke li se pa nesesèman ka a, li souvan jwenn nan kèk egzanp. Pou egzanp, konsidere yon teyori kote yon kontinyèl simetri mondyal, G se natirèlman kase H. teyori a enèji ki ba nesesèman gen Goldston bozon, ak gen yon linear supèrsimetrik σ-modèl nan enèji ki ba, ak M = T * (G/H). Sa a se yon manifoul Kähler, men fòm nan Kähler, ω = dσ se egzak, paske fòm nan Darboux, σ = p ⋅ DQ se globalman-defini. Remake byen ke seksyon an zewo, G/H ↪ M ka gen topolojik byen konplike. Se konsa, M ka gen yon afè anpil nan omolog enteresan, men pa gen okenn reprezantan olomorf. ω disparition lè anba restriksyon nan nenpòt sik omolog.
Tout moun nan konsiderasyon ki anwo yo te klasik. Restriksyon Pli lwen vini nan teyori a pwopòsyon. Nou gen yon teyori ak fèrmyon chiral, epi, nan yon sèl bouk, nou bezwen enkyete sou anomalies. Menm anvan kouti supergravity, gen potansyèl σ-modèl anomalies, kote wout la fèrmyon entegral pa ta kapab byen defini (tankou yon fonksyon) sou yon fanmi 2-paramèt nan σ-modèl kat soti nan spacetime nan M.
Ka anomali lokal la dwe jwenn nan moso nan 6-fòm
Yon ^ (x) ch (E)
kote
E = TM ⊗ L-(TX-1) ⊗ L -1
(Mwen jete φ la * (...) soti nan notasyon la.) Moso nan 6-fòm-nan,
Tèm yo ki nan wouj rive, menm nan absans la nan kouti supergravity. Supèrsimetrik linear σ-modèl la, decoupled soti nan gravite a, se pa yon byen defini pwopòsyon teyori 2 sòf si ch 3 (M) = 0. Si ω se egzak (pou ke c 1 (L) = 0), se sèlman plis kondisyon an ki swiv nan supergravity se ke nou ta dwe koulye a tou enpoze c 1 (M) = 0.
Si [ω] ≠ 0 (e gen, li sanble, egzanp sa a nan teyori fil), Lè sa a, enplikasyon yo nan kouti supergravity vin konplètman enteresan. Mwen te pale ak Brian Wecht 3 sou sa ki sa a ta ka vle di pou tout teyori fil...
Mizajou (8/5/2010):
Lektè sa a ta ka jwi post papye sa-a.1 Mwen ta dwe pran anpil egzak sou ki gravitini m 'vle di. Aksyon an (2) gen yon fonksyon nontrivial nan φ a miltipliye tèm nan Einstein-Hilbert ak gaugino tèm nan sinetik.. Nou bezwen fè yon rescaling Weyl yo mete aksyon an nan Einstein ankadreman, kote koyefisyan la nan sa yo tèm yo se Constants. Li nan gravitino nan Einstein ankadreman ke nou ap pale sou sa, pi wo yo.
2 Yon ta ka sipoze ke plis restriksyon fèt ta ka swiv soti nan p a 1 (X) c 1 (M) tèm. Men,, omwen pou teyori a globalman supèrsimetrik, gen nan pa gen rezon ki fè konvenkan yo konsidere spacetimes ak topolojik nontrivial (lòt pase ℝ 4 ak S 4). Nan nenpòt ka, c 1 (M) = ch 3 (M) = 0, pou ka a souvan-konsidere kòm de M T = * (G/H).
3 Nou te tou yo te diskite sou ka a nan U (1) teyori kalib ak Fayet Iliopoulos-D-tèm yo. Konsiderasyon sanble anpil ak sa yo mwen te souliye isit la mennen nan kantizasyon nan koyefisyan a fi.