Back to site
Since 2004, our University project has become the Internet's most widespread web hosting directory. Here we like to talk a lot about web development, networking and server security. It is, after all, our expertise. To make things better we've launched this science section with the free access to educational resources and important scientific material translated to different languages.

Кампактны слоўнік бясконцых

Infinity: тэрмін, які адносіцца да з'яў, для якой няма канца існуе ці можа быць задумана. Не варта блытаць з > неабмежаванасці .

Гэта, магчыма, былі думкі пра надзвычай шырокія прасторы або эоны часу, што першы прышчапілі людзям ідэю бясконцасці. Італьянскі паэт Джакама Леапард выказаў гэта так:

Ён заўсёды быў мне дарог, гэты самотны ўзгорак,
і гэта жывой загарадзі тут, што закрывае мой погляд,
ад так шмат канчатковай гарызонту.
Але, седзячы тут, і глядзець тут, я думаў,
Я ствараю бясконцых прастораў,
больш, чым чалавечае маўчанне, і глыбокія
ціхі, дзе сэрца ледзь не ў жах.
Калі я чую вецер, дзьме з гэтых лісця,
Я іду па параўнаць, што бясконцае маўчанне
з гэтым голасам, і я памятаю, вечнае
і мёртвыя сезоны, і жыцця сапраўднай,
і яго гук, так што ў гэтым неабсяжнасць
мае думкі патануў, і караблекрушэння здаецца салодкім
мне ў гэтым моры.
(Г. леапарда, бясконцых, 1819)

На першы бясконцасці прыпісвалі проста вельмі доўга прамежкі часу або адлегласці, або вельмі вялікіх набораў. Грэцкае слова "вечнасць" выступае за ўзросту, а ў множным ліку ("эр") і для вечнасці. У той час, бясконцасць яшчэ не разглядаецца ў якасці процілеглай канечнасці, а проста як павялічаны або доўгі версія канечнасці або як суму многіх finitudes.

Пачынаючы прыкладна з 600 г. да н.э., аднак, грэцкая Presocratics пачаў вывучаць бясконца больш старанна.

Грэчаскі паняцце бясконцасці

Анаксимандр (610 - 546 да н.э.) увёў паняцце > Apeiron , Бясконца і бязмежна дзелім першапачатковай форме пытання, які з'яўляецца крыніцай усіх канчатковых рэчаў: "паходжанне ўсіх рэчаў. Infinity"

Піфагор (570 - 497 да н.э.) выяўленыя адносін паміж даўжыні бакоў прастакутнага трыкутніка (2 + B 2 = C 2) і > ірацыянальных лікаў як рашэнне гэтага ўраўненні.

Пармэніда (515 - 450 да н.э.) прыйшоў да высновы, што сукупнасць рэчаў бясконца, а таксама. Паводле яго слоў, Сусвет не мае ні прасторавых межаў (за тое, што павінна быць за такія мяжы?), Ні пачатку ў часе (за тое, што было б матэрыял, з якога яна развівалася?), Ні канца (бо, дзе яна павінна ісці ?) У гэтым сэнсе свет ў часе і прасторы бясконца.

Анаксагор (500 - 428 да н.э.) быў першым характарызуюць бясконцасці толькі ў плане значыць, у прынцыпе, няма канца, як вялікія ці малыя рэчы, ці можа быць: "Для малога няма маленькіх, але заўсёды менш [...] але і вялікі заўсёды ёсць больш ".

Зянон Элейскага (490 - 430 да н.э.), паказалі, з дапамогай яго парадоксы ілюструюць зманліва прыроду руху (> Парадокс Зянона ), Што бясконцае адытыўнага бясконца малых частак, а таксама бясконцай падзельнасьці прасторы, прыводзяць да супярэчнасцям з нашым вопытам і нашымі прыроднымі меркаванні аб свеце.

Дэмакрыт (460 - 370 да н.э.) прыйшоў да высновы з Парадоксы Зянона, што немагчыма падзяліць органаў бясконца. Там павінна была быць дзесьці мяжы. Драбнюткіх дэталяў ўсіх рэчаў з'яўляецца непадзельнай > атамаў .

Платон (428 - 348 да н.э.) характарызуецца ідэі, як зрабіць тое, што канчатковыя рэчы прыватнасці рэчы, якія яны, як і надання формы, што будзе ў адваротным выпадку неупарадкаваных і бязмежнага свету. Дасканаласць было толькі гэтыя абстрактныя формы, якія "finitize" складнікаў свету, з якімі сутыкаюцца пачуццяў, але якія выходзяць за рамкі гэтага свету і не абмяжоўваюцца ёю або яе законы (і таму бясконцыя ў гэтым сэнсе гэтага слова).

Евдокс (408 - 435 да н.э.) быў першым пастулатам бясконца малых лікаў (апярэджваючы > падлік бясконца малых ) Для вызначэння даўжынь, паверхняў і аб'ёмаў.

Арыстоцель (384 - 322 да н.э.) вырашана ў парадоксы Зянона, вяртаючыся да Анаксагор лічылі, што бясконцасць ёсць на самай справе не рэалізаваны ў любым месцы. Хутчэй, ён існуе толькі як патэнцыйная бясконцасць, то ёсць як магчымасць выйсці за межы якога-небудзь пэўнага канчатковага ліку. Але нават найбуйнейшых мажлівых лікаў і інтэрвалаў часу ўсё яшчэ вядома. Такім чынам, няма актуальнай бясконцасці ў нейкі гатовы, завершаны выгляд. Бясконцасць не варта шукаць у прасторы або часу, ні дзе-небудзь у прыродзе. "Увогуле, бясконцыя мае гэты рэжым існавання: адно заўсёды прымаюцца за іншы, і кожная рэч, якая бярэцца заўсёды вядома, але заўсёды розны".

Архімед (287 - 212 да н.э.) прыдумаў спосаб прадстаўлення бясконца вялікіх лікаў для разліку > Колькасць пяску а таксама ўведзеныя гранічныя значэнні для разліку колькасці > Pi .

Адрозненне Арыстоцеля паміж патэнцыйным і фактычным бясконцасці сталі гуляць важную ролю ў гісторыі і матэматыцы бясконцасці. Пасля Арыстоцеля было спачатку доўга інтэлектуальнай мараторыя на тэму бясконцасці. Гэта тэма была ў канчатковым рахунку разгледжаны багасловаў і тэалагічны настроеных філосафаў, якія прынеслі з сабой вельмі розныя шкалы каштоўнасцяў. Хоць грэцкія філосафы звычайна інтэрпрэтуецца бясконцасць, бязмежнасць, з пункту гледжання undifferentiatedness і разглядаць яго як недасканаласць, было канчатковым, што стукнуў багасловаў, як недасканалыя. Дасканаласць ляжаў менавіта ў бясконцай прыроды Бога (і толькі тамака).

Духоўныя Infinity

Аўгустын (354 - 430) адмаўляе, што чалавечыя істоты вобласці ў стане прызнаць бясконцай самі па сабе. Толькі > Бог ў стане зрабіць гэта з-за яго бясконцай прыроды, а толькі імкнецца дасягнуць Бога можна людзях надзею наблізіцца да бясконцасці і знайсці самарэалізацыі: "Клапатлівая сэрца наша, пакуль не знойдзе адпачынак у Табе."

Ансэльма Кентэрберыйскі (1033 - 1109) паспрабавалі прадставіць лагічнае абгрунтаванне веры, выкарыстоўваючы паняцце дасканаласці ў сваім вызначэнні Бога: "быцця, чым якой нічога больш можна прадставіць".

Як і Арыстоцель, Тамаш Аквінскі (1225 - 1274) адмаўляў існаванне актуальнай бясконцасці ў матэрыяльныя рэчы пры гэтым магчымасці для патэнцыйнай бясконцасці: "Кожны выгляд мноства павінны належаць відаў мноства відаў. Зараз мноства відаў павінны быць пералічаны па лікаў. Але ні адзін з відаў лікаў бясконца, для кожнага нумара мноства вымяраецца адным. Такім чынам, немагчыма, што не можа быць на самой справе бясконцае мноства ". Для Тамаша Аквінскага, толькі Бог можа фактычна быць бясконцым (што робіць Бог толькі здзейсненае істота).

Мікалай Кузанскі (1401 - 1464) зноў бясконцасці свету. Паколькі прырода была сфарміравана ў адпаведнасці з Боскім уяўленнем, Бог, павінна быць перададзена яго ўласнай бясконцасці свету. Сусвет таму валодае прынамсі нейкая копія бясконцасці. Усе супрацьлегласці адзіныя ў бясконцасці, так як максімальныя і мінімальныя супадаюць у бясконцым і кола больш не могуць быць аддзеленыя ад лініі.

Асветы Infinity

Джардана Бруна (1548 - 1600) апісаў сусвет не як патэнцыйна, а як на самой справе бясконцы і вечны, з Зямлі займаюць толькі нязначнае месца ў гіганцкія прасторы. Усё, што без такога сьвеце будзе нявартым творчыя сілы бясконца ўсемагутнага Бога. "Я веру ў бясконцай Сусвету, эфект ад бясконцай патэнцыі боскіх, таму што ён мне здаўся нявартым чароўнай дабрачыннасці і сілы, каб стварыць канчатковы свет, калі ў стане вырабіць побач з ім іншы і іншыя бясконцыя: так што ў мяне ёсць заявіў, што Ёсць бясконцыя прыватнасці светы падобныя на гэтай Зямлі ". Бруна заплаціў сваім жыццём за гэты пункт гледжання.

Блез Паскаль (1632 - 1662) бачыў чалавецтва страцілі паміж бясконца вялікімі і бясконца малымі ў прыродзе: "Бо пасля ўсяго таго, што чалавек па сваёй прыродзе нічога? Нічога ў адносінах да бясконцасці, усё ў сувязі з нічога, цэнтральная кропка паміж і ўсё і бясконца далёкія ад разумення небудзь. канцы рэчы impregnably скрытыя ад яго ў непранікальнай таямніцай. Ён у роўнай ступені няздольныя бачыць нябыт, з якога ён быў складзены і бясконцага, у якой ён тоне. "

Барух Спіноза дэ (1632 - 1677) вярнуўся ў старажытныя паняцці Apeiron заменай асабістага Бога традыцыйных тэізм з прадстаўлення пра Бога як всепроникающей рэчыва, якое ляжыць у аснове ўсіх з'яў у прыродзе. Гэта рэчыва ў часе і прасторы бясконцага і такім чынам выклікаць не толькі ўсіх рэчаў, але і самога сябе.

Рэнэ Дэкарт (1596 - 1650) не вераць у самай справе бясконца, але ён верыць у нявызначанасці: "У кожным выпадку, дзе мы можам знайсці ніякіх абмежаванняў на некаторыя аспекты рэч, мы не будзем сцвярджаць, што яна бясконцая, але мы будзем разглядаць яго як нявызначаны. Напрыклад, мы не можам сабе пашырэнне настолькі вялікім, што мы не можам зразумець магчымасці нават большага. Такім чынам, мы будзем казаць, што памер магчымых рэчаў нявызначаны. Ізноў жа, арганізм не можа быць падзелены на так шматлікія часткі, якія мы не можам зразумець, што кожная з гэтых частак дзеліцца яшчэ больш. Так што мы павінны зрабіць гэта па нашаму думку, велічыня бясконца дзелім. Ізноў жа, мы не можам сабе ўявіць, што колькасць зорак настолькі вялікае, што мы не маглі паверыць, што Бог былі ў стане стварыць яшчэ больш. "

Джон Лок (1632 - 1704) разумеюцца, што пустое прастора, якое не мае ніякіх межаў для прадухілення дадання ўсё далей даўжыні, бясконца. Аднак, ён праводзіць адрозненне паміж прасторай, з аднаго боку, і Сусвету, з другога боку, лічачы, што апошняя - сукупнасць усіх матэрыяльных рэчаў - мае толькі канчатковае пашырэнне і знаходзіцца ў бясконцай прасторы. Бясконцасці прасторы, часу, і такім чынам нумары проста патэнцыял. "Гэта будзе цяжка, я думаю, знайсці чалавека, так недарэчна, як сказаць, што ён мае станоўчую ідэю фактычнай бясконцую колькасць."

Готфрыд Лейбніц (1646 - 1716) убачыў свет, як якая складаецца з бясконца многіх непадзельных >
монады але адмовіліся ад ідэі бясконцай сукупнасці (увесь) рэчаў. "Гэта зусім правільна, каб сказаць, што ёсць бясконцасць рэчаў, т. е. Ёсць заўсёды іх больш, чым могуць быць прызначаныя. Але лёгка паказаць, што не існуе бясконцага ліку, ні бясконцай лініі або іншыя бясконцае колькасць, калі гэтыя лічацца сапраўднымі цэлае. сапраўднае бясконцае, строга кажучы, толькі абсалютная, якое папярэднічае ўсім складам і не ўтворыцца шляхам дадання часткі. "

Нягледзячы на яго вусны адмову службы актуальнай бясконцасці, Лейбніц быў адным з буйных дзеячаў, якія ўдзельнічаюць у матэматычнай рэвалюцыі 17-га стагоддзя. Хоць матэматыкі раней толькі паспрабаваў апісаць характар, цяпер ён пачаў займацца з абстрактнымі аб'ектамі, якія не адпавядаюць нічога ў прыродзе - аб'екты, такія як бясконца малыя лічбы, якія з'яўляюцца бясконца малымі лікамі. Як ні парадаксальна, гэта абстрактная форма матэматыцы змог апісаць паводзіны прыроды значна лепш, чым яго папярэднікі. Ісаак Ньютан выкарыстаў бясконцага падраздзялення матэматычных крывых ў яго > флюксия вылічэнні , Кідаючы выклік як Арыстоцель і пярэчанні сучасных філосафаў і багасловаў. Яго намаганні былі ўзнагароджаныя яго адкрыцця > законы прыроды пра цяжкасці і рухаў цвёрдых целаў, а таксама дакладныя тэарэтычныя мадэлі сонечнай сістэмы.

Раскол Infinity

З часоў Ньютана і Лейбніца, бясконцасць была трываць вельмі разнастайныя лячэння ў навуках, матэматыцы і філасофіі. Матэматыкі і прыродазнаўчых навук пачалі ўключаць у свае разлікі першага бясконца малых і бясконца вялікі. Такім чынам, пасля 17-га стагоддзя матэматычнай тэорыі бясконцасці отщепляется на асобны шлях развіцця, у той час як філосафы і тэолагі працягваюць тэарэтызавання ў асноўным так жа, як і раней:

Джордж Берклі (1685 - 1753) лічылі прыроду, якія складаюцца толькі з ўспрымання і, такім чынам толькі канчатковых рэчаў. Толькі ўспрыманне рэальнага праявы духу Бога, па-за якой няма нічога ў прыродзе. Такім чынам свет існуе толькі пастолькі, паколькі ён ўспрымаецца як Бог наш намі. Канцэпцыі спасылкай на рэчы, якія не могуць быць успрынятыя органамі пачуццяў, такіх як "бясконцасць", не месца ў філасофіі: "Ці з'яўляецца аб'ект геаметрыі не прапорцыі прызначаных пашырэння вялікі? І ці ёсць неабходнасць разгляду велічыняў альбо бясконца або бясконца малой? [...] І будзь гэта не трэба, а таксама абсурдна, выказаць здагадку, што канчатковае пашырэнне бясконца дзелім? "

Імануіл Кант (1724 - 1804), наадварот, адрозніваў успрыманыя з'явы і рэчы, як яны самі па сабе, апошні з якіх знаходзяцца па-за нашага спазнання. "Без пачуццёвасці ні адзін аб'ект будзе дадзена нам". Прастора і час толькі формы нашай інтуіцыі і нам неабходна накласці любы congitive парадак на з'явы ў свеце. Такім чынам, бясконцасць не існуе незалежна ад нас або, паколькі ён не можа быць успрынята. Infinity гэта проста "прынцып пашырэння і пашырэння вопыту, наколькі гэта магчыма для чалавечых здольнасцяў. Ён забараняе нам разглядаць любыя эмпірычныя межы пры абсалютнай. Гэта, такім чынам, прынцып прычыны...".

Георг Гегель (1770 - 1831) лічыцца канчатковым і бясконцым, як дыялектычнай прыладу. Бясконцае рэалізуе сябе толькі ў межах вядома. Але бясконцае гэта не проста адмаўленне канчатковага; хутчэй, фактычна, "сапраўднай" бясконцасці адмаўленне патэнцыйных ці "дрэнна" бясконцасці. Патэнцыйная бясконцасць, як "прамой лініі, у двух межах якой толькі бясконцае". Праўда бясконцасці, наадварот, як круг, "лінія, якая дасягнула самой, якая зачынена і цалкам сучаснасць, без пачатку і канца."

Людвіг Феербах (1804 - 1872) бачыў чалавека ў раскол паміж наступны светам і гэтым светам, паміж бясконцасцю Бога і канечнасці іх уласнай прыродзе. Свядомасць бясконцасці, аднак, нічога, акрамя свядомасці бясконцасці ўласнага свядомасці. Пазнанне Бога людзей "самапазнання і ў канчатковым выніку прыводзіць да іх вызваленню ад Бога. Гэта вызваленне будзе пераўтварэнне "тэолагаў у антраполагаў, тымі, што любяць Бога ў аматары чалавек, кандыдатаў на свет у студэнты ў гэтым свеце." Бо толькі > атэізм , Прызнанне паходжання бясконцасці ва ўласным свядомасці чалавека ", дае назад да прыроды і чалавецтву годнасці якога тэізм мае рабаўніцтва іх."

Матэматычная бясконцасць

Як ужо было сказана, паняцці бясконцасці ў матэматыцы не прыкметна адрозніваюцца ад тых, у філасофіі да 17-га стагоддзя. Тут таксама бясконцасці быў спачатку прымаюцца толькі як набліжэнне, то ёсць толькі як патэнцыйная бясконцасць. Выраз

імкнецца да бясконцасці, калі значэння і б набліжаных адзін да аднаго. Аднак, калі А і У роўныя, выраз становіцца бессэнсоўным. Матэматыка не дапускае дзялення на 0.

Гэта супраціў актуальнай бясконцасці пачаў разбурацца ў 17 стагоддзі з і Лейбніца > Ньютана падлік бясконца малых , Матэматыкі бясконца малых лікаў. Тым не менш, хоць вылічэння бясконца малых, відавочна, паспяховым і дакладна апісана працэсы ў прыродзе (напрыклад, руху планет, напрыклад), у вачах многіх сучаснікаў актуальнай бясконцасці застаўся падазроным, калі не паказной, паняцці.

С. Ф. Лакруа (1765 - 1843), аўтар падручніка па вылічэння бясконца малых у 18 стагоддзі, не губляючы часу, адкідваючы бясконцасці, пісаць у кнізе Уводзіны ", Infinity, як апошні элемент колькасць, з'яўляецца самай эксклюзіўнай мяжы, мяжа што іх колькасць можа ніколі не дасягнуць. звязаная канцэпцыя, але адмоўнае паняцце, для кожнага колькасці, што я ўяўляю, як рэальныя і выкарыстоўваць у сваёй вылічэння, менавіта па гэтай прычыне, а не бясконца. "

Яшчэ ў 1831 годзе Карл Фрыдрых Ён жа (1777 - 1855) скардзіўся: "Я пратэстую супраць выкарыстання бясконцай велічыні як на нешта скончанае, які ніколі не дапушчальна ў матэматыцы. Infinity гэта проста спосаб зносін, праўдзівы сэнс не мяжа пэўных суадносінах падыход бясконца блізка. " Гэта, аднак, не перашкодзіла Гаўса з якія развіваюцца асноўных метадаў дыферэнцыяльнай геаметрыі, які заснаваны на > падлік бясконца малых і працуе з бясконца малымі лікамі.

Бернард Бальцана (1781 - 1841) быў першым матэматыкам, каб сістэматычна паўстаць супраць anathematizing бясконцасці. Свет, падумаў ён, поўная фактычных бясконца, так што яна не мае ніякага сэнсу, каб выключыць іх з матэматыкі. Мноства ўсіх кропак у лініі бясконца. Кожны раз, калі інтэрвал змяшчае бясконца шмат момантаў. Колькасць лічбаў пасля дзесятковай пункту квадратны корань з 2 бясконца. А чалавечы дух, у адпаведнасці з Бальцана, здольны ўявіць сабе бясконцасць ў цэлым, бо для гэтага вам не трэба ўявіць сабе кожны кампанент гэтага бясконцага цэлым у ізаляцыі. Бальцана атрымалася распрацаваць сваю матэматыку, якая дазваляе вылічыць бясконцых велічынь без неадпаведнасць. Ён таксама даказаў, што колькасць кропак у галіне > Колькасць прамянёў не залежыць ад яго даўжыні. Яго вынікі былі апублікаваныя пасмяротна пад назвай Парадоксы Infinity.

150 гадоў пасля яго ўвядзення ў матэматыку, Карл Вейерштрасс (1815 - 1897) пры ўмове лагічнай асновай для > падлік бясконца малых шляхам атрымання выкарыстоўваць бясконца малых лікаў ад гранічных значэнняў.

> Бернхард Рыма (1826 - 1866) быў першым, хто даказаў, што канчатковая паверхня мае аднолькавую колькасць ачкоў, як бясконцай шляхам праецыравання кропкі на паверхні сферы на плоскасць.

Рычард Дедекинда (1831 - 1916) распрацаваў першую матэматычнае вызначэнне бясконцага мноства. Па Дедекинда, мноства бясконца, калі ён ўтрымлівае такое ж колькасць элементаў, як аднаго са сваіх уласных падмноства. З іншага боку, мноства вядома, калі яна ўтрымлівае больш элементаў, чым кожны з яго ўласных падмноства.

І апошняе, але далёка меры, > Георг Кантар (1845 - 1918) цалкам рэабілітаваны актуальнасць бясконцасці ў матэматыцы. Супраць супраціў кансэрватыўных матэматыкаў, ён у адзіночку распрацаваў > Тэорыя мностваў і матэматыкі > трансфінітных , То значыць, фактычна бясконцага ліку. Гэта не выпадкова, што ў матэматыцы раздзелы гэтага слоўніка амаль усе іншыя канцэпцыі ставіцца да Кантара прама ці ўскосна. Матэматык > Давід Гільберт коратка дасягненняў Кантара наступным чынам: "Ніхто не можа выгнаць нас з раю, які Кантар стварыў для нас."

> Эрнст Цермело (1871 - 1953) і Абрагам Френкеля разам сфармуляваць паслядоўную аксіяматычна сістэмы ў > Кантара Тэорыя мностваў . Ён змяшчае дзевяць аксіёмы * і ўяўляе сабой аснову для амаль ўсіх галін матэматыкі, гэтак жа, як > Эўкліда аксіяматычна сістэма геаметрыі.

> Бертран Расэл (1872 - 1970) выявіў > Парадокс Расэла , Тым самым ўскосна даказаць, што не існуе максімальна магчымае бясконцасці.

> Luitzen Брауэра (1881 - 1966) паказалі, што гэта немагчыма даказаць геаметрычна, што мноства кропак плоскасцяў з рознымі памерамі маюць аднолькавую магутнасць. Доказ гэтага арыфметычнаму (гл. > Памернасці ), З іншага боку, даволі простая і ўжо было зроблена значна раней Кантара.

> Курт Гёдэль (1906 - 1978) даказаў няпоўнасць ўсіх аксіяматычна тэорыі ў 1931 годзе, сем гадоў праз ён даказаў, што > кантынуум-гіпотэзы не аспрэчваецца ў рамках аксіяматычна тэорыі мностваў Цермело.

> Пол Коэн 1934 - 2007) даказаў ў 1963 годзе, што процілегла кантынуум-гіпотэза не аспрэчваецца небудзь. Пры тым, што кантынуум-гіпотэзы быў створаны ў якасці адной з невырашальных прапановах аксіяматычна матэматыкі.


* Дзевяць аксіёмы Цермело і тэорыя мностваў Френкеля з'яўляюцца наступныя:

I. Аксіёма аб'ёмнасці: Калі кожны элемент мноства X з'яўляецца таксама элементам Y, і наадварот, то X = Y.

II. Аксіёма падмноства: Калі х з'яўляецца любы аб'ект у вобласць, то ёсць мноства {х}, якая змяшчае х і х толькі як элемент}. Калі, ў якіх-небудзь двух аб'ектаў у вобласць, то заўсёды ёсць мноства {х, у, якія змяшчаюць як X і Y, але ні адзін з элементаў выдатных ад X або Y.

III. Аксіёма Спецыфікацыя: Калі Z з'яўляецца мноства і P з'яўляецца любы маёмасць, якое можна ахарактарызаваць ўсе элементы х Z, то існуе падмноства Y з Z, які змяшчае ўсе і толькі тыя X ў Z, якія задавальняюць уласцівасцю Р.

IV. Аксіёма экспаненты: Для кожнага мноства X існуе іншы набор, які змяшчае ўсе PX і толькі падмноства X

В. Аксіёма Саюза: Для любога мноства X існуе мноства Y, які змяшчае ўсе і толькі тыя мноства, якія з'яўляюцца членамі некаторых членаў X.

VI. Аксіёма выбару: калі X з'яўляецца мноства, усе элементы якой выдатныя ад 0 і парамі не перасякаюцца, то іх аб'яднанне Sx змяшчае па меншай меры адно падмноства, што мае адзін і толькі адзін агульны элемент з кожным элементам X.

VII. Аксіёма бясконцасці: Існуе па меншай меры адзін набор Z, які ўтрымлівае пустое мноства, як элемент і такі, што для кожнага з яго элементаў х ёсць і іншы элемент выгляду {х}.

VIII. Аксіёма Замена: Калі замяніць элементы х з мноства Х вызначана з любых элементаў х 'вобласці, то гэты дамен будзе ўтрымоўваць мноства X', які змяшчае ўсе гэтыя х 'у якасці элементаў.

IX. Аксіёма фонд: Кожны непустога мноства X змяшчае член у такіх, што X і Y неперасякальных мноства.

Published (Last edited): 27-07-2016 , source: http://unendliches.net/english/