Analiza econometrică a Singular liniarizate Dinamic Stochastic General Equilibrium modele

Modele

Herman J. Bierens * Universitatea de Stat din Pennsylvania

Abstract

În această lucrare am propune o alternativă la calibrarea liniarizate singulare modele stocastice dinamice de echilibru general. Având în vedere un model econometric a-teoretic, ca reprezentant al procesului de generare de date, voi construi o măsură de informaţiile pe care compară distribuţia condiţionată a variabilelor model econometric cu distribuţie singular corespunzătoare condiţionată a variabilelor modelului teoretic. Problema singularitate va fi rezolvată prin utilizarea convoluţii de ambele distribuţii, cu o distribuţie non-singular. Această măsură informaţii vor fi apoi maximizate la parametrii profunde ale modelului teoretic, care leagă aceşti parametri la parametrii ai modelului econometric şi oferă o alternativă la calibrare. Această abordare va fi ilustrat printr-o cerere la o versiune linearizat a modelului de creştere stocastică a regelui, Plosser şi Rebelo.

Cuvinte cheie: estimare, de echilibru general dinamic, Singularity, de calibrare

Clasificărilor JEL: C13, C32, C52, D90

* Adresa de corespondenta: Herman J. Bierens, Departamentul de Economie, Universitatea de Stat din Pennsylvania, 608 Kern Absolvent de constructii, University Park, PA 16802. E-mail: hbierens@psu.edu.

llntroduction

În patruzeci de ani prin anii şaizeci ai secolului trecut de dezvoltare a macroeconometrics a fost inspirat şi regizat de către teoria macroeconomică keynesiană, şi invers, de construcţie şi de estimare a modelelor de mari dimensiuni macroeconomice keynesiene a fost facilitată de econometrie, în special în teoria ecuaţiilor simultane. Odată cu creşterea de neoclasice dinamice stochastice generale de echilibru (DSGE) macroeconomie, cu toate acestea, Econometrie şi teoria economică au crescut în afară, la punctul în care cele mai multe macro-teoreticieni consideră acum econometrie irelevante pentru ceea ce fac.Desigur, destul de multe econometricienii câteva au aceeaşi atitudine faţă de macroeconomie teoretice.

Cele mai multe teorii economice, inclusiv teoria DSGE, sunt teorii parţiale, în sensul că doar câteva fenomene economice sunt legate de câteva studiate. Analiza a acestei "parţială", teorie este justificată, în mod explicit sau implicit, prin ipoteza ceteris paribus (celelalte lucruri fiind egale sau constanta). Vezi Bierens şi Swanson (2000), precum şi referinţele citate acolo. Cu toate acestea, atunci când modele simple economice de acest tip sunt estimate pe baza datelor care sunt generate se de la o economie reală mult mai complex, nu este surprinzător faptul că acestea se potrivesc de multe ori prost. Astfel, aceste modele nu reprezintă procesele de generare de date, şi nu sunt concepute pentru a face. Scopul acestor modele este de a obţine o perspectivă, în special legate de fenomenele economice, mai degrabă decât pentru a descrie o economie reală, şi de a efectua experimente numerice. Prin urmare, cele mai multe macro-teoreticieni nu deranjez pentru a estima modelele lor, dar în schimb calibrarea parametrilor modelului.Hansen a se vedea şi Heckman (1996) pentru o revizuire de calibrare, şi Sims (1996) şi de Kydland şi Prescott (1996) pentru punctele de vedere opuse pe de calibrare.

Literatura de specialitate privind analiza econometrică a modelelor de DSGE poate fi împărţită în două direcţii destul de scurt. Un fir de literatură se ocupă cu evaluarea modelului, de exemplu, problema cum să măsoare compatibilitatea dintre aceste modele. Componenta de altă literatură se ocupă cu găsirea de alternative la calibrare.

Watson (1993) propune pentru a mari variabilele din modelul teoretic cu eroare stocastic suficient, astfel încât modelul poate potrivi momentele al doilea de date reale. Măsuri de compatibilitate pentru model, numit relativă înseamnă erori patrati de armonizare, apoi sunt construite pe baza de variaţie a acestei erori stochastice în raport cu variaţia din seria curenta. O abordare alternativă este de a compara curbele empirice VAR inovare răspuns cu cele calculate pe baza datelor artificiale generat-

ated de modelul teoretic calibrat. A se vedea, de exemplu, lucrările în Pagan (1994), în special Feve şi Langot (1994) şi NASON şi Cogley (1994). Schorfheide (2000) compară două modele DSGE cu un model de referinţă, folosind o abordare Bayesian. Bierens şi Swanson (2000) propune o nouă măsură de compatibilitate, numit realitatea medie condiţionată de legat, care compară partea non-singular a unui model linearizat DSGE cu un model econometric marginalizata corespunzător. Corradi şi Swanson (2004) compara, de asemenea, modele de DSGE cu un model de referinţă, folosind diferenţele pătrat de funcţiile lor de distribuţie.

DeJong, Ingram, şi Whiteman (1996, 2000) şi Geweke (1999) propune o abordare Bayesian. Ei presupun de distribuţie anterior pentru parametrii de profundă, centrată în jurul valorii de valori calibrate.Aceasta este într-adevăr, o extensie naturală de calibrare. Cu toate acestea, există două limitări majore ale bayesiană. În primul rând, trebuie să presupunem că condiţionată de parametrii modelului teoretic reprezintă procesul de generare de date, care este prea exagerata o presupunere. În al doilea rând, abordarea Bayesian presupune existenţa a densităţii condiţionată a variabilelor modelului, întrucât, în cele mai multe dintre aceste modele variabile model sunt conduse doar de un şoc aleatoriu câteva. Acesta din urmă face distribuţia teoretică implicate singular. DeJong, Ingram, şi Whiteman (1996, 2000) eluda problema singularităţii, concentrându-se pe un subset de variabile model pentru care este condiţionată de distribuţie nesingular. Geweke (1999) se aplică abordarea Bayesian la un model unidimensional premium capitalului propriu. Irlanda (2003) propune pentru a adăuga zgomot la un model linearizat DSGE, în scopul de a estima modelul hibrid rezultat de risc maxim. De asemenea, această abordare suferă de limitarea pe care o are să-şi asume faptul că modelul hibrid implicat reprezintă procesul de generare de date.

Problema singularitate previne, de asemenea, estimarea directă a unui model DSGE de MMG-ului, deoarece din cauza unor condiţii singularitatea moment va ţine exact pentru fiecare perioadă de timp, astfel că numărul de starea moment va depăşi numărul de observaţii. Prin urmare, aplicarea de MMG-ului este posibilă numai după (în mod explicit sau implicit), adăugarea de zgomot la ecuaţiile momentul exact.A se vedea, de exemplu, Ambler et al. (2003).

În această lucrare, voi propune o alternativa non-Bayesiana abordare de calibrare a modelelor singulare DSGE, care ia în considerare faptul că aceste modele nu reprezintă procesele de generare de date şi sunt singulare. Având în vedere un model econometric a-teoretic, ca reprezentant al datelor generatoare de proces, voi construi o măsură de informaţii (numit realitatea multiplicativ condiţionată de legat), care compară distribuţia condiţionată a

variabilele econometrice model cu distributie singular corespunzătoare condiţionată a variabilelor modelului teoretic, de-a lungul liniilor de Bierens şi Swanson (2000). Problema singularitate va fi rezolvată prin utilizarea convoluţii ale ambelor distribuţii, cu o distribuţie nesingular. Acest criteriu de informaţii poate fi interpretat ca probabilitatea ca distribuţia modelului econometric complicată este generată de distribuţie a modelului teoretic complicată, condiţionată de date. Criteriul de informaţii implicate vor fi maximizate la parametrii profunde ale modelului teoretic, care leagă aceşti parametri la parametrii ai modelului econometric şi oferă o alternativă la calibrare.

Această abordare va fi aplicată la o versiune linearizat a modelului de creştere stocastică a regelui, Plosser şi Rebelo (KPR) (1988a, b). Procedura de liniarizare este diferit de cel propus de către KPR, totuşi. Eu va rezolva fără a utiliza modelul de liniarizare la punctul în care numai stânga variabila de control este raportul consum-ieşire. În acel moment voi liniariza doar procesul de starea variabila a modelului concentrat în jurul valorii de starea de echilibru deterministă, şi legătura dintre parametrii modelului linearizat la parametrii profunde. Pe de altă parte, KPR liniariza (determinist), soluţie de Lagrange de multiplicare a modelului lor de la o etapă anterioară. Desi nu este imposibil de a lega parametrilor modelului lor linearizat la parametrii profunde 1, este mult mai complicat decât în abordarea mea. Prin urmare, KPR (1988a) nu prevăd această legătură, cu excepţia pentru o versiune a modelului determinist lor cu munca fix. Vezi KPR (1988a, nota de subsol 17).

O anexă separată la acest document care conţine detalii ale unor lipsă plictisitoare este descărcat de pe pagina web

http://econ.la.psu.edu/~ hbierens/SDSGEMAPP.PDF.

2 Singularity

Dinamice stochastice generale de echilibru (DSGE) modele, eventual, după transformarea de control, iar variabilele de stat, să ia forma unei probleme de optimizare dinamică stocastice:

1 A se vedea, de exemplu, Irlanda (2003), care analizează lui Hansen (1985) model, care este similar cu modelul de KPR.

sub rezerva

S T =/(CtjSt -i ieşind),

unde g este o funcţie de utilitate, U T este un vector de şocuri aleatoare, S, T, G R e este un vector de variabile de stat, C, T, G R C este un vector de variabile de control, un G (0,1) este un moment parametru de preferinţă, iar relaţia este operatorul de aşteptare condiţionată faţă de informaţiile de până la timpul t = 0.

De multe ori m dimensiunea de U t este mai mică decât dimensiunea lui S T, care face distribuţia condiţionată de S T, având în vedere singular trecut. Cu toate acestea, aceasta nu este singura sursă de singularitate.

După cum este bine-cunoscut [a se vedea Stokey, Lucas şi Prescott (1989)], în anumite condiţii de regularitate soluţie pentru această problemă de programare dinamică ia forma unui plan de urgenţă pentru CT, care este un timp invariant cartografiere Borel măsurabil R e - R C, astfel încât C t =\I/(S T- i). Astfel, problema de optimizare dinamică (1) pot fi reformulate ca

oo

max ecuaţia V A * g (TT (S T _i), S T) (2) L * = o

sub rezerva

S T = f (* (S T _i), S T _i, U T).

Soluţia C, T = ^ (S T- i) este o alta sursa de singularitate de distribuţie condiţionată în comun a variabilelor modelului Y t =, deoarece deţine fără erori. Prin urmare, singularitate nu poate fi vindecat prin includerea de mai multe şocuri aleatorii în procesul de variabile de stat. Astfel, singularitate este o proprietate inerentă de modele stocastice dinamice de echilibru general.

Având în vedere planul de intervenţie optimă C, T = ^ (S TI), modelul (2) postulează că la momentul t,

Y = K/(*, - e una) - i), S 1 - I, U, 0 = h (Y - i - U ' ^ g Rk "

cuvânt de spus, în cazul în care K = S+ C, 3 este un vector de "profunde" parametri, U T G R m, este un proces stocastic de şoc cu o dimensiune m <k, iar H este Specificaţia funcţională a modelului. În special, versiunile liniarizate ale acestor modele lua forma de singular VAR (p) Model:

Y T = A (3) Xt -i+ B (3) U T, (3)

în cazul în care X ti = (1, YT- i, Y... T - p), T, A (3) este un K x KP matrice, şi B (//) este AK x m matrice de funcţii de (3 În cazul în care. se presupune (ca de obicei), care U T este un m-variata Gaussian proces zgomotului alb: U T ~ IID N m [0, eu m], apoi distribuţia condiţionată de X, Y, T _ i se cântă ular normală: N K [A (3) X TI, B (3), B (3), T].

3 distribuţii de legătură

În această lucrare am propune un criteriu de informaţii, similar cu Bierens şi Swanson (2000), care leaga o linearizat singular model de DSGE de tipul (3) la un model econometric liniar, de exemplu, un gaussian VAR (q), modelul

Y = n Z T -i+ VT, Vt ~ IID Nk [0, 0], det (0) = 0, (4)

unde Z t- i = (1, Y-1,... YT- q), T şi N este AK x (KQ) matricea coeficienţilor. Modelul econometric (4) se presupune că pentru a reprezenta procesul de generare de date. Această procedură se leagă atunci vectorul parametrilor modelului teoretic pentru parametrul matrici II şi 0 a modelului econometric (4):3 = $ (N, 0), spune. Conectarea la maxim probabilitatea estimatorii al II-lea şi 0 de N şi 0 produce apoi o estimator (3 =, 0) de3. Mai mult decât atât, folosind bine-cunoscuta metoda de Delta atunci este posibil pentru a obţine intervale de încredere de estimările din (.

3.1 densităţi de incluziune

Luaţi în considerare două densităţi, f (y) şi FO (Y), cu sprijinul comun. Este întotdeauna posibil pentru a stoarce FO (y) în conformitate cu f (y), prin înmulţirea FO (Y) de către un "efect de" factor de po G [0,1], astfel încât pofo (y) < f (y) pentru orice y. PO maximă este implicat:

po = inf [f (y)/FO (Y)] < 1. Y

Desigur, este posibil ca PO = 0. Această procedură este ilustrat în figura

1.

Acum, f (y) canbewrittenasamixture:

f (y) = pofo (y)+ (1 - PO) Fi (Y),

în cazul în care Fi (y) = (f (y) - pofo (y))/(1 ​​- PO) este o densitate. Astfel, dacă tragem cu PO probabilitate de distribuţie cu densitate FO (y) şi cu o probabilitate

Figura 1: densitatea Încorporarea

1 - po de distribuţie cu densitate f i (Y), rezultatul este de fapt un desen aleatoriu din distribuţie cu densitate f (y).

Reţineţi că cantitatea - ln (PO) este un criteriu de informaţii, care compară gradul de apropiere a celor două densităţi FO (y) şi f (y), adică, - ln (PO) = 0 dacă şi numai dacă FO (y) = f (y), şi - ln (PO)> 0 altfel.

3.2 convoluţii

Pentru a utiliza acest criteriu de informaţii pentru a compara distribuţiile condiţionate de (3) şi (4) avem nevoie pentru a face lor de sprijin egal. Acest lucru va fi realizat prin utilizarea convoluţii. Ideea este de a adăuga IID nesingular K-variata de zgomot normale R *, R ** Y în (3) şi (4), respectiv 2, sothat (3) devine

Y = A ™ (() XT-i+ B (() U T+ R **, (5)

şi (4) devine

Y T EM = IZt-i+ V+ R **. (6)

2 Motivul pentru adăugarea de acest zgomot la ambele modele este de a păstra distribuţii condiţionale implicate comparabile.

Apoi, distribuţia condiţionată de Y ™ în (5) este absolut continuă cu densitate h TM(Y | X TI, (.), spune următoare, să

p T -I (II, 0, () = inf " h M " 3 0), (7)

Y h TM (Y | X T-i, 3)

în cazul în care h EM (Y | Z ti, II, 0) este condiţionată de densitatea Y T EM în (6).

Interpretarea p ti (II, 0,3), este similară ca şi mai înainte: dacă am trage Y T EM şi Y; ET aleatoriu din distribuţii condiţionale cu densităţi h TM (Y | X TI, (), şi h EM (Y | Z ti, II, 0), respectiv, apoi p. TI (II, 0, (), poate fi interpretată ca probabilitatea ca Y, T EM şi Y, T ET au aceeaşi distribuţie condiţionată, având în vedere datele de pana la t - 1. Mai mult decât atât,

N

p -T (I,,)

T =

poate fi interpretată ca probabilitatea ca condiţionată de date

distribuţia în comun a Y i ET, este acelaşi ca distribuţia în comun a y i le, Y ^ E " M. Din urmă sugerează de a lega parametrul vector 3 din DSGE liniarizat modelul (3) la parametrii estimate ale modelului econometric (4) de

N

3 N (II, 0) = argmax J] ln [p T-I (II, 0, 3)], (8)

P t = i

ca o alternativă la calibrare.

Reţineţi că, similar cu Bierens şi Swanson (2000) statistica

/N\i/n

ma TJ J! p T-I (I, 0, 3) J

poate fi folosit ca o verificare realitate pe modelul teoretic.

Această abordare este oarecum legat de abordarea adoptată de Watson (1993), în cazul în care variabilele din modelul teoretic sunt crescut cu eroare stocastic suficient, astfel încât modelul poate potrivi momentele al doilea de date reale. Una dintre diferenţele esenţiale cu abordarea Watson este că eu propun să spori, de asemenea, datele reale cu aceeaşi eroare stocastic, în scopul de a penaliza singularitatea a modelului teoretic. O altă diferenţă fundamentală este că Watson foloseste parametrii de calibrare, în timp ce voi le estima.

Desigur, există modalităţi alternative de a lega de modele teoretice de modele econometrice. De exemplu, se poate folosi

^ 0) = arg T ± I ln (h h M M y S - ^) (9)

în loc de (8). Integrală în (9) este bine-cunoscut Kullback-Leibler (1951) criteriul de informaţii, care măsoară gradul de apropiere a celor două densităţi implicate. Cu toate acestea, amintim că - ln [p T -I (I,,)] este, de asemenea, un criteriu de informaţii care măsoară gradul de apropiere a celor două densităţi implicate. În special, - ln [p T -I (II, 0, 3)] = 0 dacă şi numai dacă (Y | Z T -I, II, 0) = (Y | Y T -i, 3) pentru orice y în sprijinul comun al celor două densităţi implicate, şi - ln [p ti (I,,)]> 0 altfel. Principalul motiv pentru utilizarea (8) este interpretarea elegant de p T -I (I,,) ca probabilitatea ca o tragere la sorţi de la hTM (Y | X T -i,), generează o tragere la sorţi de la h EM (Y | Z ti, II, 0).

3.3 Punerea în aplicare

În scopul de a face această abordare operaţională, să ne rescrie distribuţia condiţionată a variabilelor în DSGE liniarizat modelul (3),

Y * ~ N, K [^ T -i (3), det (E (3)) = 0, (10)

în cazul în care ^ T -i (3) = A (3) X TI 3 şi E (3) = B (3), B (3) T, precum şi distribuţia condiţionată a variabilelor în modelul econometric (4),

D ** ~ N, K [N T -i, 0], det (0)> 0, (11)

în cazul în care n -T i = IIZ T-i. Acum, adăugaţi zgomot independent distribuit în mod egal

pentru variabilele dependente în (10) şi (11), respectiv. O alegere naturală este

R * ~ N, K [0, t0], pentru unele t> 0.

Apoi

Y TM = Y *+ R * ~ N, K [^ T -i (3), S (3)+ t0]

3 În cererea noastră de mai jos/i T _i (/?), este de fapt o funcţie de infinit de multe rămas Y nu e, deoarece modelul liniarizat DSGE implicat este, parţial, o ARMA (1,1) proces.

şi

Y T EM = Y t **+ R ** ~ N, K [N T -i, (1+ t) 0], cu o densitate corespunzătoare

TM exp [- 1 (Y - ^-i (3)), T (S (3)+ t0) -1 (Y - T ^ -i (3)) "

h ™ (Y | 3, t) = - L - -/-i

(V 7 ^) V det (E (3)+ t0)

şi

EXP [- 2 (1+7) (y - N T - i) T 0 - 1 (Y - N T - i) h+-R. (Y | T) = --- K ---,

(V 7 ^) V (1+ t) k det (0)

respectiv. Prin urmare

h FY (Y | T) =/det (S (3)+ t 0) (12) h ™ (Y | 3, T), Y (1+ t) k det (0) 1]

"1

X EXP 2a T * (3, t), y - y T * (3, T), T ^ -i (3)

+ - ^ Y- T 0 -1 (n T -i - ^ T -i (3))+ 1 ^ T -i (3), T (S (3)+ t0) -1 ^ T -i (3) 1+ T 2

- ^ (1+ T) - 1 n T T -I0 -1 n T -i,

unde

* (3, T) = (S (3)+ t 0) -1 - 0 -1 (13)

1+ T

T = 7 0 -1/^ (T 7 0 -1/2 s (3) 0 -1/2+ T 7 i) - 1 - i) 0 -1/2.

Matricea 11/(3, T) este pozitiv definită dacă toate valorile proprii de 0 -1/2 E (3) 0 -1/2 sunt mai puţin decât 1, sau echivalent în cazul în care toate solutiile de problemă generalizată valoare proprie

Det (E (3) - A 0) = 0 (14) sunt mai puţin de 1. Dacă este aşa, (12) este minim pentru

y = iH ^ iP) * (/{, r), " un e- 1 (n t -1 - f T -1 ({3)).

1+ T

Substituind această soluţie în (12) randamentele, după unele lipsă simple,

. f h FY (Y | t) =/det (e -1/2 E ({3) e -1/2 +-I), V ™ h (y | {, -) = V (1+ -), K

X e X ^ 2 (1+ T) (N T -i - f T -i (3)) T $ (3 " T) (R/T -i - f T -i (3) ^,

unde

$ ({{, t) = [e -1 ^ (3, T) -1 e -1+ (1+ T), e -1] = (15)

1+ T

= e -1/2 ^ e -1/2 E (p) e -1/2+ T+ - - i K y 1 - L ), j + 4 E -1/2,

cu condiţia ca valoare proprie maximă de e -1/2 E ({3) e -1/2 este mai mică de 1:

O MA x [e -1/2 E (3) e -1/2] <1.

Apoi, lasa A 1 (3) > A 2 ({3) >... > A m ({3) să fie valorile proprii m pozitive ale e -1/2 E (3) e -1/2. Putem scrie

e -1/2 E (p) e -1/2 = g (3) A (p) g (p) T = g ^ p) o 1 (3) G1 (3) T,

unde A 1 (3) = diag (A 1 ({{), A 2 ({3),..., A m ({3)), Q 1 ((3) este k X m matrice de corespunzătoare orthonormal vectorii proprii, şi Q2 ({3) este k X (k - m). matrice de vectorii proprii orthonormal corespunzătoare a valorilor proprii zero Astfel,

m

Det (e -1/2 E (3) e -1/2+ I- K) = - km; Q (A j (3)+ t)

= T k-m det (A m (3)+ T i m)

şi

$ (3, -) = e -1/2 g (p) [((1+ T) (A (3)+ I- K) -1 - i K) -1 + 4] Q (3) T e -1/2

= (1+ t) e -1/2 Q (3) (I K - A (3 Q (3) t e -1/2.

Prin urmare

(IT03 I) f h j-i (Y | t)/T K-m det (A i (3)+ T/m)

p T -I (N, 0, 3 | T) = inf HTM f\o\= W-77 "-u- (16)

Y h T -1 (Y | 3, T), Y (1+ T), K

x exp [- 2 (N T -i - ^ T -i (3)), T 0 -1/2 Q (3) litera (i K - A (3 Q (3) T 0 -1/2

x (n T -i - ^ T -i (3))]. Acum, să presupunem că vectorul parametru 3 pot fi impartite in 3 = ^ JG *), astfel că/L I T-1 (3) =/- * T- i (3 i) şi 3 2 este vectorul de stivă diagonală şi de sus -diagonale elemente de E (3). Acesta din urmă presupune că E = E (3) este fără restricţii, cu excepţia condiţiei ca E este pozitiv semi-definit, cu rang m <k, şi că A max [0 -1/2 E0 -1/2] <1. Apoi, Q = (Qi, Q2) = Q (3) şi A i = A i(3) sunt prea neconstrâns, cu excepţia, desigur, pentru condiţiile în care Q este ortogonală şi că elementele de pe diagonala A 1 >.... > A m de A 1 se limitează la intervalul de unitate (0,1). Ecuaţia (16) poate fi rescrisă ca acum

p T -I (II, 0, 3i, Q, Ai | t) ^ ^ T k - m d (e un T _+ A T 1)+ T l m), (17)

x exp [- 2 (N T -I - A/T -i (3 i)) T 0 -1/2 Q (I K - A) -1 Q T 0 -1/2 x (n T -i - T ^ -i (3 i))],

prin urmare

N £ ln [p T -I (II, 0, 3i, Q, Ai | t)] (18) t = i

= K ^ 2 m ln (T) - kln (1+ T)+ 1 RON ln (A j + T)

- 2 ^ 1 - A? - 2 ^ Q j F N (3 i) q j, spune, în cazul în care Q = (q 1, q K) şi

R n (3 i) = 0 -1/2 n £ (n T -i - ^ T -i (3 i)) (n T -i - ^ T -i (3 i)) T 0 -1/2. (19)

Deoarece (1 - A 1) -1 >... > (1 - A m) -1 > 1, este uşor de a verifica faptul că ultimele două în termeni (18) sunt maxime, dacă vom alege q j "e egal la vectorii proprii orthonormal de R n (3 1), care corespund la valori proprii din ce în ce comandate. Astfel, sa

S N (3 1) = diag (£ N, 1 (3 1),...., £ N, K (3 1)),

în cazul în care f n, 1 (3 1) <.... <£ N, K (3 i) sunt valorile proprii ale R n (3 1), corespunzător cu matrice ortogonală Q N (3 i) din vectorii proprii. Apoi

min urmă [(4 - A) -1 Q T F N (3 i) Q] = urmă [(/K - A) -1 S N (3 i)] = £ £ e N, j (3 i),

j = 1 j j = m 1

prin urmare

1 N

max-V ^ lnlp T -I (II, 0,3 i, Q, A, I | t)]

K 1 km

= ln (T) - 2 ln (1+ T)+ ^ ln (A j+ T)

1 ^ n, j (3 1) 1 C (3)

- 2 ^ T-A ~ - 2 ^ C, NJ (3 i).

j = 1 J j = m 1

Apoi, a maximiza <£> N j (A j) = ln (A j+ T) - £ nj - (3 1)/(1 ​​- A j) la o G j [0,1]. Valoarea optimă a A j este

O j (3 i, T) = 1+ (20)

- Y C N, j (3 i) 2+ 4 (1+ t) C N, j (3 i) în cazul C N, j (3 i) -1 > T A j (3 i, t) = 0, dacă C N, j (3 i) -1 < t,

care satisface un j (3 i, t) <1, şi A j (3 i, t)> 0 dacă şi numai dacă

T < C N, M (3 i) -1. (21)

Apoi

sup 1 X ln [p T -1 (n, e, 31, Q, A1 | t)] (22)

Q, A I, A m topor [O i] <1 n T = 1

K 1 km

= Ln (-) - 2 ln (1+ t)+ 2 £ ln (A j (3 1, t)+ T)

j = 1

2 ^ 1 - A, (3 1, T) 2 ^ W

j = 1 JV f 11 > j = m 1

Mai mult decât atât, denotă A 1; N (3 1, -) = diag (A 1 (3 1, -),...., A m (3 1, -)), soluţia optimă pentru E dat 3 1 este

E "(3 1, -) = e 1/2 Q "(3 1) (-) 0) Q n (3 1), T e 1/2. (23)

Maximizarea (22) la 3 o dă acum o soluţie de 3 1, N (n, e | -) cu soluţie corespunzătoare pentru E:

E "(n, e | -) = E "(3 1, "(n, e | -), t).

3.4 Conservarea structura matricei varianţă teoretic

În cazul în care variabilele din modelul (10) sunt aranjate astfel ca singular matrice varianţa E este bloc-diagonală, de exemplu,

E = (0 1 0),

cuvânt de spus, în cazul în care E 1 este o fără restricţii pozitiv definită m X m matrice, ar trebui să impună aceeaşi structură de estimare a E, după cum urmează. Partiţie e -1/2 conformably la E ca

e -1/2 = (e 11 e I 2 1

V e 21 e 22 ^

Apoi, (15) devine

$ (T) = (24)

e -1/2\(T) (e ^ E un e 11+ T I m) -1 - Eu m] -1 + I m O\1 e -1/2

[\0 (1+ T) I k m- 7j

În continuare, sa

unde A 1 = diag (A 1,..., A m), cu A 1 >... > O m > 0 valorile proprii ale e I 1 E un e I 1, şi Q 11 este m x m ortogonală matrice de vectorii proprii corespunzătoare. Apoi

$ (R) = (1+ t) e -1/2 Q (4 - A) -1 Q T e- 1/2, (25) în cazul în care A este thesameasbefore:

A = (A 1 O) O ^ ^ OO,

dar acum (

Prin urmare, principala diferenţă cu cazul anterior este de constrângere din urmă pe matricea Q. Partiţionare matricea (19) în funcţie de Q,

R (SS) = (r 1,1, N (§ 1), R 1, 2, " (SS 1 ^

F 2,1, «(A) R 2,2, N (ß 1 ^,

rezultă uşor că

urmă [(/fc - A) -1 Q T R "(A) Q] = urmă [(/m - A 1) -1 Qu am V ^ ^ SS Qn]+ urmă [^ «(A)].

Prin urmare, (18) devine

n X ln [p T -1 (n, e, SS1, Q, A 1 | T)]

= K ^ 2 m ln (T) -\ln (1+ t)+ 1 X ln (A j + T)

- 1 _ A. - 2 urmă [r -2'2 " (SS 1)],

în cazul în care acum Qn = (91,..., q m).

În mod similar ca şi mai înainte, optim Q j lui sunt egale cu vectorii proprii orthonormal de R 1, 1; N (3 1), care corespunde la valori proprii din ce în ce comandate. Astfel, acum să C N, 1 (3 1) <.... <£ N, m(3 i) să fie valorile proprii ale R 1, 1; N (3 1), şi lăsaţi-Q 1, 1, N (3 1) este matricea corespunzătoare ortogonale a vectorilor proprii. Apoi

sup - V ln [p T -I (II, 0, 3i, Q, Ai | t)] (26)

Qi, i, AI, A m topor [O i] <1 n T = 1

= m ln (T) - K ln (1+ t)+ 1 ^ ln (A j (3 i, t)+ T)

j = i

- 1 g -R - 1 urme [r 2, 2, N (3 i)]

pentru Qi, i = Qi, I, N (3 i) şi A i = A i, n (3 i, t) = diag (A i (3.... i, t),, A m (3 i, t)), în cazul în care A j (3,) "s sunt aceleaşi ca şi în (20). Soluţia optimă pentru E dat 3 este acum

E I, N (3 i, t) = (0 * i) -1 Qi, I, N (3 i) A I, N (3 i, t) Qi, I, N (3 i) T (0 * i) -1. (27) 4The KPR model de

I se va aplica acum abordarea de mai sus la o versiune parţial liniarizat a modelului de creştere stocastică a regelui, Plosser şi Rebelo (KPR) (1988a, b), care este derivat din Kydland şi Prescott (1982) şi Hansen (1985). Motivele pentru folosirea acestui model este că acesta este un relativ simplu reală ciclului de afaceri, model de manual, şi că l-am folosit înainte, în Bierens şi Swanson

(2000).

4.1 Modelul iniţial

Versiunea stochastică a modelului KPR pe care o voi lua în considerare ia forma: modelul de KPR 1:

oo

E max 0 ^ A T (ln (C T)+ 9 ln (1 - N T), A 1 <, (28)

sub rezerva

Q t = C t+ I = AFK 1 - ^, (29)

K = (1 - 6) K t -1+ I T, (30)

ln (A t) = 7 - V T+ ln (A T -1), V, T isi.id N (0, un 2), (31)

unde C T consum denotă, Q T este de ieşire, K T este capitala, N T este ocuparea forţei de muncă, J T este de investiţii şi o T este un indice de tehnologie. Semnul negativ al V T în (31) este inofensiv, desigur, dar are un avantaj de notaţie. Act de faptul că jurnalul a indicelui la tehnologia nu urmează o plimbare Gaussian aleator, cu o deviaţie egală cu 7. Cu excepţia indicelui de la tehnologia T, variabilele din modelul teoretic de mai sus poate fi interpretat ca agregate pe cap de locuitor.

Reţineţi că modelul KPR 1 este un caz special de unul dintre modelele propuse în KPR (1988a). În special, KPR utilizaţi Cobb-Douglas funcţia de producţie Q t = A t K T 1-a (X T N T) o, în cazul în care X Teste indicele productivităţii muncii şi nu reprezintă modificări temporare ale productivităţii factor. În (29) schimbări de productivitate a muncii sunt incluse în indicele de tehnologie A T. Mai mult decât atât, în original KPR (1988a), modelul este un model determinist: Funcţia lor obiectiv este de £ ~ o O T (ln (C T)+ 0 ln (1 - N T)), mai degrabă decât ecuaţia [£ ^ O T (ln (C t)+ 0 ln (1 - N T))], astfel încât acestea să îşi asume o anticipare perfectă cu privire la indicele de tehnologie A T. Prin urmare, KPR rezolva problema

00

max j ^ A T (ln (C T)+ 0 ln (1 - N T)(32)

T = supus la o

Un T o K T 1-A N T o - C T - K T+ (1 - 6) K t -1 = 0, prin condiţiile de ordinul întâi ale funcţiei Lagrange

0

L = A T (ln (C T)+ 0 ln (1 - N T)) (33) T = o

0

+ € A T (A t un K T 1-A N T o - C T - K T+ (1 - <5), K T -1),

T = o

în cazul în care un T -urile sunt multiplicatorii lui Lagrange, împreună cu condiţia transversal-tate Lim T ^ o A t K t = 0. În special, KPR liniariza condiţiile de ordinul întâi ale Lagrangiana (33) în jurul soluţie de starea de echilibru.

În această lucrare voi rezolva KPR model 1 analitic, în măsura în care pot, prin reformularea modelul de concentrare şi de control la fel de mult, iar variabilele de stat, după cum este posibil, până la punctul în care ultima ecuaţie, pentru raportul de consum de ieşire C t/Q T, poate fi derivat din ecuaţia Bellman. În procesul de concentrare a variabilelor din voi obţine o relaţie neliniară între determinist N T şi C t/Q T. La sosirea la ecuaţia Bellman pentru C t/Q t voi liniarizat, parţial, modelul concentrată în jurul valorii de soluţia determinist starea de echilibru. În cele din urmă, soluţia pentru Q t/A t va fi transformată într-o neliniar ARMA (1,1) model de ln (Q t/Q T-1), care apoi poate fi liniarizat ca o ARMA liniar staţionar (1,1) model.

Sistemul de ecuaţii rezultat este destul de diferit de versiunea liniarizat a modelului în KPR (1988a, b). Desigur, această abordare de liniarizare este specific pentru modelul de KPR. Cu toate acestea, abordarea econometric în această lucrare este aplicabil pentru orice model de DSGE care poate fi liniarizat astfel că legătura dintre parametrii modelului liniar şi parametrii de adâncime este păstrată.

4.2 Reformularea a modelului KPR

Voi presupune că producţia odată ce este utilizat ca de capital nu mai este consumul de fitfor. Această ipoteză presupune că un consum nu poate depăşi de ieşire, 0 <C t <Q t, şi nici nu poate de investiţii. Prin urmare, fără a pierde din generalitate, putem înlocui acum variabila de control C, t cu x t Q t, în cazul în care raportul de consum de ieşire x t = C t/Q t este variabila de control nou. Avantajul este că x T are non-stocastice limitele: 0 <x t <1. Astfel, denotă

C, t Q t K T

x T = Q t, Q t = A T, K T = A T.

Apoi, (29) poate fi rescrisă ca

q t = k T 1-A N T o, (34)

C, T este acum egal cu

C, T = x T K T 1-A N T o A T,

şi (30) poate fi rescrisă ca

K T = K = (1 - 6) K - I+ A (35)

= (1 - 6) Un T- i K T -i+ (1 - x T) Q T

O T

= Exp [ln (1 - 6) - y+ V t] K T -i+ (1 - x T) Q T

= Exp [ln (1 - 6) - y+ V T+ ln k T -i]+ (1 - x T), K T 1-Q N T Q.

KPR modelul 1 este acum echivalent cu: 4

KPR model 2:

o

max E N A T ((1 - o ln) (k t)+ ln (x T)+ un ln (N T)+ 9 ln (1 - N T)), (36) _t = o

sub rezerva

0 < x t < 1, 0 < N T < 1, (37)

(34) şi (35).

Rezultă din (35), care

K T = exp (ln (1 - x T)+ un ln N T) K 1-Q (38)+ exp (ln (1 - 6) - y+ V T+ ln k T -i),

whichhasauniquesolutionoftheform

ln K T = GNL Q (- ln (1 - x T) - un ln N T, ln (1 - 6) - y+ V T+ ln k T -i) (39)

G = ln Q (z t, y T -i),

cuvânt de spus, în cazul în care

Z T = - ln (1 - x T) - un ln N T> 0, (40)

şi

Y T -i = ln (1 - 6) - y+ V T+ ln k T -i. (41)

4 fără a pierde din generalitate, putem ignora pe termen ^ A * ln A T, în funcţie de obiectiv.

Astfel, g Q (z t, y t-1) este soluţia punct fix al ecuaţiei

K T = exp (- z t) k T 1-a exp+ (y T -i), (42)

de exemplu, g un (z, y) corespunde la intersecţia curbei

Fi (k) = exp (- z) K 1-a exp+ (y), k > 0,

cu linia F2 45% (k) = k. Această intersecţie este unic, si trece cu exp (- z) şi exp (y), deci g o (z, y) este în scădere în Z şi creşterea în y. În special, aceasta nu este greu să verifice că

d ln g de o (z, y) _ = exp (y) _e (0 1) (43)

dy AG Q (z, y)+ (1 - a) exp (y) ""

d ln g de o (z, y) = 1 f d ln g de o (z, y) A <0

DZ A\DY J

Deoarece prin (40),

ln x T = ln (N T o - exp (- Z T)) - o ln N T, (44) KPR model 2 devine acum

KPR modelul 3:

o

max En ^ ((1 - a) GNL Q (z t, y T -i)+ ln (N T o - exp (- Z t))+ 9ln (1 - N T)) t = n

(45)

obiectul z t> 0, 0 < N T < 1,

y t = g ln Q (z t, y T -i)+ ln (1 - 6) - Y+ V T+ I, (46)

T > 0, şi condiţia iniţială

Yi = ln (1 - 6) - y+ VN+ ln ki. (47)

4.3 Relaţia dintre ocuparea forţei de muncă şi raportul de consum de ieşire

Având în vedere optim Z T "e, de solutii optime pentru N T 's este acum dat de max {ln (N T o - exp (-Z t))+ 9 ln (1 - N T)},

N T

cu condiţii de prim ordin

o am R o nouă,,

N T o - exp (-Z t) L - N t ' K J

Substituie exp (-Z t) _ (1 - x T), N t un [cf. (40)] în (48) randamentele

N T _1/(+ l (9/a) x T). (49) Reţineţi că, cu 0 < x T < 1,

4.4 Legea de mişcare a producţiei

Datorită (49), putem scrie acum de ieşire ca o funcţie de x T şi de ieşire rămas, după cum urmează. Rezultă din (40) şi (49), care acum

z T _ un ln (1+ (9/a) x T) - ln (1 - x T) (51) _ K, e (x T), (52) spune, care este o funcţie monotonă creştere de x T:

h (x t) _ 0 (1+ 9)+ 9 (1 - o) X t > 0. (53) În continuare, rezultă din (29), şi (49), care

Q T _ O f K T 1 "" (1+ (9/a) x T) - o, (54)

astfel încât

K T _ Q 1/(1-a) (1+ (9/a) x T) a/(1-a) A -A/(1-a), (55)

sau sub formă de jurnal

o 1

ln K T _ln (K t/A t) _ - ln (1+ (9/a) x T)+ - ln (Q t/A T). (56)

1 - o 1 - o

În plus, rezultă din (30) şi (55), care

K T = Q 1/(1-Q) (1+ (9/a) x T) Q/(1 ​​- Q), A -Q/(1-Q) = (1 - 6) K T -i+ (1 - x T) Q T

= (1 - 6) Q 1 - (1 1-Q) (1+ (9/a) x T -i) Q/(1 ​​- Q) A - - Q 1/(1-Q)

+ (1 - x T) Q T,

prin urmare

(Q t/A T (1+ (9/a) x T) Q/(1-Q) - (1 - x T) Q t/A T (57)

= (1 - 6) (Q T -I/A T -I (1+ (9/a) x T -i) Q/(1-Q), un T -IA -1.

Având în partea dreaptă a (57) şi x T, wecansolveq t = Q t/A T din (57). Prin urmare, legea de mişcare de ieşire este dat de (31), împreună cu

ln (Q t/A t) = n o, e (x T, ln (1 - 6) - y+ ln (1+ (9/a) x T -i) (58)

^ 7 ^-ln (Q T -I/A T -i)+ V T), 1-A

în cazul în care exp (n a0 (x, y)) = q este soluţie a ecuaţiei

Q 1/(1-a) (1+ (9/a) x) Q/(1-Q) - (1 - x), Q = exp (y), (59)

de exemplu, având în vedere x şi y, Q = exp (n o 0 (x, y)) corespunde la punctul de intersecţie al curbei Q 1/(1-a) (1+ (9/a) x) a/(1-a), cu linia (1 - x), Q+ exp (Y). Notă de faptul că derivatele parţiale ale n o 0(x, y) sunt:

N (1) (xy) = ^ ■ » (x, y) = _ - 1 _ (60)

^> 0 (x, y) dx (1+ (9/a) x) (60)

__ (9 (1 - x)+ 1) (1 - a) exp (n una, o (x, y))

(exp (y)+ un (1 - x) exp (n o?, 0 (x, y) ^ (1+ (9/a) x)

<-A/(a ​​+ 9),

N (2) (XY) = dn a, 0 (x, y)

V (x, y) dy

_ (1 - a) exp (y) _ (a)

= -T\- Ti -\-7 - ~ T -v\e (0,1 - a).

exp (y)+ un (1 - x) exp (n una, 0 (x, y))

Din urmă implică faptul că

d ln (Q t/A t)/DLN (Q T -I/A T -i) € (0,1). (61)

4.5 Concentrarea ocuparea forţei de muncă din

Conectarea N T = A (A+ 9x T) -1 şi (51) în ln (N T o - exp (- z t))+ 9 Ln (1 - N T) randamentele

ln (N T o - exp (-Z t))+ 9 ln (1 - N T) = a Într-un+ 9 9+ ln (1+ 9) ln (x T) - (a+ 9) ln (o 9x+ T) = a Într-un+ 9 ln 9+ (1 - a) f un 0 (x T),

cuvânt de spus, în cazul în care

(1+ 9) ln (x T) - (a+ 9) ln (A+ 9x T) (62) f una, ° (x T) 1 - o. ()

Reţineţi că f un 0 (x) este monoton în creştere:

f (x) = A (1+ 9)+ 9 alineatul (1 - a) x > 0. (63)

J o, e w x (A+ 9x) (1 - a) v J

Astfel, KPR modelul 3 devine acum:

KPR modelul 4:

oo

max E 0 A t [ ln g un {K, 0 (x T), Y T-0 + f una, 0 (x ^ t (64)

T = n

sub rezerva de a 0 < x t < 1 şi

y t = GNL Q (h o o (x T), Y TJ+ ln (1 - 6) - y+ V T+ i (65) t > 0,

A1

Yi = Z -ln (1+ (9/a) xi) ^ - ln (Qi/AI)

1 - a 1 - o

+ Ln (1 - 6) - y+ VN V T ~ IID N (0, o 2)

Reţineţi că rezultă din (31), (56) şi (66), care

y t = ln (1 - 6) - y+ ln (K t/A t)+ V T+ I

= Ln (1 - 6) - y+ 7 - - ln (1+ (9/a) x T)

1-A

1

+ - Ln (Q t/A t)+ V T+ I.

1-A

4.6 Ecuaţia Bellman a modelului concentrat

După cum este bine-cunoscut, modelul KPR 4 prevede ca: Găsiţi un plan de urgenţă x T = G [0,1], în cazul în care * este o nonrandom boreliană măsurabile, astfel încât (64) este maximizat obiectul (65). Vezi Stokey, Lucas şi Prescott (1989). Apoi = XO) este decizia reale efectuate de către agentul economic

la momentul t = 0, care se aplică la toate T:

x T = tf (y t _i) = * (ln (1 - 6) - Y+ ln (K t _i/A t _i) V+ T) (66)

= tf (ln (1 - 6) - y ^ 7 - ln (1+ (0/a) x T _i)\1 - o

+-Ln (Q t _i/A t _i)+ v T). 1 - ay

Planul de intervenţie optimă, în principiu, pot fi derivate din funcţia de valoare, de exemplu, XO =) maximizează funcţia de valoarea

V (XO | y_i) (67) = ln 9 un {K e (x o), y _i)+ f e (x o)+ AE o max V (x i | y o)

0 <xi <i

/00 V) | z) -o o

exp - I (Z - ln (1 - 6)+ Y - GNL o (h un e (XO), y_ ^) 2/a 2 x --- = - ■ - dz

În practică, această egalitate este prea greu pentru a rezolva analitic, pentru ca V (XO | y_i) depinde de\&, întrucât * trebuie să fie determinate prin maximizarea V (XO | y_i). Acesta este motivul pentru care foarte Kydland şi Prescott (1982) propune un proces iterativ procedura de pornire de la o apropiere pătratic iniţială de V (XO | y_i).

5Linearization

Eu voi rezolva acum (64) obiectul la o versiune linearizat a procesului de stat (65). În special, voi liniariza (65) în jurul valorii de starea de echilibru determinist.

Set v T+ i în (65) egal cu zero pentru toţi t, si denota variabilele corespunzătoare, în modelul de KPR 4 x T şi y T. Apoi, versiunea a modelului determinist KPR 4 este:

Modelul determinist KPR 4:

oo

max ^ O t [ ln g de o (h o ■ 0 (x T), y T -i)+ f o ■ 0 (x T ^,

T = n

sub rezerva de a 0 <x t <1 şi

y t = ln g o (h o, o (x ^ t y t -i)+ ln (1 - 6) - Y. (68)

În starea de echilibru determinist, x T x T - oo, pentru ca apoi C, T şi Q nu va creşte la aceeaşi rată exponenţială, şi y T - Y, în cazul în care

ln y = g de o (h o, o (x), y)+ ln (1 - 6) - y. (69)

În scopul de a determina x t şi x sale limită de voi liniariza acum (68) în jurul valorii de (x, y). Observa din (43) şi (69), care

8 ln g de o (h Q, o (x), V)= _ exp (y) _

8y AG Q (h o o (x), y)+ (1 - a) exp (y)

= "1 - 6 _

un exp (Y)+ (1 - a) (1 - 6) "

8 ln g de o (h Q, o (X), f)= h L, o 8 ln g de o (h Q, o (X), f)- ^

o, o V; V AEXP (Y)+ (1 - a) (1 - 6) J "

prin urmare

y t - y = ln g o (h o, o (X t), y T -i) - ln g o o Y) 8 ln g de o (h A, O (X), Y)

- -) x T - x)

+-8y- (y t- i - Y)

un exp (Y)+ (1 - a) (1 - 6) (yt - i Y)

-H ' (x) (exp (Y) - (1 - 6) A {x _ x)

- o AEXP (Y)+ (1 - a) (1 - 6) J (XT x).

Astfel

YT - A)+ Aiyt-i - №, (70)

unde

16

A) = Y+ Y - ln (1 - 6) -,, - - rr -77 y

un exp (Y)+ - a) (1 - 6)

+ XH "(x) (_ exp (Y) - (1 - 6) _ A x

+ XH o ^ 0 (x) ^ o exp (Y)+ (1 - a) (1 - 6) J

AI = - (6) (1 6) € (0,1 - 6) (71)

un exp (Y)+ - a) (1 - 6)

A h = '(x) (- exp (Y) - (1 - 6) ^ A > 0 (72)

h o, f A J\o exp (Y)+ (1 - a) (1 - 6) J K "

Înlocuieşte (68) prin (70), în modelul determinist KPR 4 Acum randamentele: model linearizat KPR deterministe 4:

o

max J] A T [yt+ f ", o (XT)] (73)

T =

sub rezerva de a 0 < x t < 1 şi y T = A+ Ay T - 1 - Ax T. Pentru că

yt = 1 T - ^ A+ T+ 1 Y-I - A (g Axt-^,

şi

o T o

£ Ax -T ^ i,

rezultă că (73) este echivalent cu

max Un T f. (X T) - A - 7 - x T.

t = i

Astfel, fiecare x T este soluţia de

f A, O (x) -. Afl ^ x. (74)

x [' 1 - Api

şi aşa este x limita sa.

Înlocuind (71) şi (72) în (74) rezultă că prima condiţie pentru a-

pentru (74) este

f "(x) = h '(x) (_ exp (Y) - (1 - 6) _ A

J ^ 1 1 ^ V ​​AEXP (Y)+ (1 - a) (1 - 6) - A (1 - 6) J "

Prin urmare, rezultă din (53) şi (63), care

x = un+ (1 - A) (1 - 6)

1 - x 1 - A+ (1 - a) (exp (Y) - (1 - 6)). (75) Pe aceeaşi linie se poate liniariza (65) în jurul (x, y), ceea ce a dus:

Linearizat KPR modelul 4:

o

max En ^ A t [Y t+ f o, o (x T) ]

T =

sub rezerva de a 0 < x t < 1 şi

y T = O+ Aiy T -i - A2x T+ V t+ i.

De asemenea, în acest caz, x T este soluţia (74), prin urmare, soluţia este implicat thesameas (75):

C, T = x T = x = un+ __ (1 - A) (1 - 6) (76)

I T = 1 - x T = 1 - x = 1 - A (1 - a) (exp (Y) - (1 - 6)). ()

Această soluţie, împreună cu (31), (49) şi (58), completeaza acum soluţia a modelului KPR. Având în vedere (76), rezultă din (58) şi (61), care ln (Qt/La) este un staţionar neliniar AR (1) proces, deci ln (Qt) şi ln (AT) sunt cointegrated, cu vectorul de cointegrare (1, - 1) T. Cu toate acestea, ln (A t) nu este observabil. Prin urmare, eu va converti la dreptul de mişcare a producţiei într-o lege de mişcare pentru creşterea producţiei ln (Q t/Q TI).

5.1 Un neliniar ARMA (1,1) pentru modelul de creştere a producţiei

Presupunând că agentul economic limitează alegerea lui de planuri de urgenţă pentru x T x la o constantă dată de (76), modelul complet este format din următoarele patru ecuaţii:

CT/Qt = x, (77) Nt = 1/(1 ​​+ (9/a) x) = V, (78)

spune, şi

ln (Qt/La) = n ", o (x, ^+ J-o ~ ln (Qt-i/At-i)+, (79)

în cazul în care/Li = ln (1 - 6) - Y - (una/(1 ​​- a)) ln (V), împreună cu ecuaţia (31), în scris ca

ln (Qt/Qt-i) = ln (Qt/La) - ln (Qt-i/At-i) - VT+ y. (80)

Amintesc de la (58), care (79) prevede în prezent ca

(Qt/La) 1/(1-a) v - (1 - x) (Qt/La) (81) = (1 - 6) (Qt-i/At-i) 1/(1-a) vexp (VT - y).

Ecuaţiile (80) şi (81) pot fi combinate într-o ecuaţie pentru Q t/Q ti numai, după cum urmează. Substitui

(Qt-i/At-i) = (Qt/La) (Qt/Qt-i) - 1 exp (-vt+ y) (82)

în (81), şi de a rezolva pentru Qt/La, de exemplu,

Qt/La V = exp (VT - Y) (Qt/Qt-i) 1/A (83)

"_1-X_ 1 (1 - Q)/Q

X _ (Qt/Qt-i) 1/(1-Q) (exp (VT - Y)) a/(1-a) - 1+ 6_.

Acest rezultat înseamnă că

P [(Q t/Q T -i) 1/(1-Q) (exp (V t - Y)) Q/(1 ​​-Q) - 1+ 6> 0] = 1,

prin urmare

P [ln (Q t/Q T -i)> (1 - a) ln (1 - 6)+ ay - avj = 1, (84) şi, prin urmare,

ln (Q t/Q T -i) = (1 - a) ln (1 - 6)+ ay - AV T+ W T, (85)

unde

P [w t > 0] = 1. Înlocuind (85) în (83) acum randamentele

ln (Q t/A t) = - - [ln (1 - x)]+ ln (V) (86) o

1-A

W+ T/A - ln [exp (w T/(1 ​​- a)) - 1],

o

şi combinarea (80), (85) şi (86) randamentele

exp (w T) (87) exp (w T/(1 ​​- a)) - 1 ^;

exp (W T -I/(1 ​​- a)) = -f-NT -VTi X (1 - 6) o exp [A (V T - Y)].

exp (W T -I/(1 ​​- a)) - 1

Această ecuaţie poate fi rezolvată în

w T = (W T -L, V T), (88)

spun. Prin urmare

ln (Q t/Q T -i) (89)

= (1 - a) ln (1 - 6)+ ay - av T

(Ln (Q T -I/Q t -2) - (1 - a) ln (1 - 6) - ay+ AV T -I, V t) = (ln (Q T -I/Q T -2), V T, V, T -i),

spun, care este o neliniar ARMA (1,1) proces.

Reţineţi că am presupus că implicit 6 <1, deoarece în cazul în care 6 F 1, atunci rezultă din (85), care w T -o In cazul 6 = 1 ecuaţia (81) devine

(Q t/A T) 1/(1-a) V = (1 - x) (Q t/A T) (90)

care poate fi rescrisă ca

1a

ln (Q t/A t) = - ln (1 - x)+ ln (V), (91)

o

care este limita de (86) pentru w T -o Rezultă acum de la (91) şi (80) că, în cazul în 6 = 1,

ln (Q t/Q T -i) = y - V T. 5.2 O ARMA linearizat (1,1) pentru modelul de creştere a producţiei.

Neliniar ARMA (1,1) model de ln (Q t/Q T-1) este destul de greu de rezolvat. Prin urmare, voi liniariza acum acest model în jurul valorii de starea de echilibru determinist pentru w T, după cum urmează.Înlocuiţi V T în (87) de 0, şi lăsaţi soluţia rezultată starea de echilibru să fie w. Este uşor să verifice că

w = (1 - a) (Y - ln (1 - 6)). (92)

După unele calcule rezultă că plictisitoare

8 ^ un Y (w T -I, V T) (93)

-8 - (93)

8W T- i w t-1 = W, V T = n = _1-6_

o exp Y+ (1 - 6) (1 - a)

şi

8 1 o A Y (w T -I, V T)()

-8 - ()

-A (1 - a) (exp Y - (1 - 6)) o exp Y+ (1 - 6) (1 - a) Prin urmare, avem aproximativ,

w T - (1 -,, 1 - 6 RW -7 1 (1 - a) (Y - ln (1 - 6)) (95)

T V, o exp (Y)+ (1 - 6) (1 - a) 7 V nj K " K J

1 - 6 A (1 - a) (exp (Y) - (1 - 6))

o exp Y+ (1 - 6) (1 - a) T 1 o exp (Y)+ (1 - a) (1 - 6) T

Înlocuind (85) în (95) rezultă, în urma unor manipulări anevoioase, dar simplu, că aproximativ

Un ln (Qt) = ln (Qt/Qt-i) (96)

= _ exp Y - (1 - 6) _ ^)

\O exp Y+ (1 - 6) (1 - a) J

+ (- 6 6), (1 -S) ln (Qt-i/Qt-2)

\O exp Y+ (1 - 6) (1 - a) J(- o exp (Y)\v

^ (un exp (Y)+ (1 - o) (1 - 6) ^ t

/1 - 6\(- o exp (Y)\VT I

\Exp (Y)/\o exp Y+ (1 - 6) (1 - a)/-

Este convenabil să reparametrize acest ARMA (1,1) ca model de

Un ln (Qt) = ln kA (Qt-i)+ RON+ € T -? £ ti, (97)

unde

k = -\- - VT -, (98)

o exp Y+ (1 - o) (1 - 6) V "

£ = ay f Ext+ Y (- (1 6-; (6)), 1 = Y (1 - K), (99) [o exp Y+ (1 - 6) (1 - a) j

1 -6

? = -TV <K (100)

exp (Y)

şi

* = - (- () 7 ^ " ") VT. (101)

\O exp (Y)+ - o) (1 - 6)/

Reţineţi că, dacă> 0, atunci exp - (1 - 6) > 0, deci k <1. În plus, reţineţi că valoarea lui x t nu mai joacă un rol important în (97), deoarece liniarizare implicat foloseşte ipoteza că x nu este constant.

6 de date

Datele pentru C t şi J T este aceeaşi, cum este utilizat de Watson (1993), deşi perioada de proba a fost actualizat prin 1994:4, aşa că avem 188

observaţiile trimestriale din SUA, de la 1948:1 la 1994:4, pe C t = pe cap de locuitor cheltuielilor totale de consum in1987 dolari, J şi T = pe cap de locuitor de investiţii fixe totale în 1987 de dolari. Ca de ieşire voi folosi Q t = C t+ I T. KPR (1988a, b), Watson (1993) şi Bierens şi Swanson (2000) utilizează un alt Q T, respectiv pe cap de locuitor mai puţin achiziţiile publice de bunuri şi servicii in1987 de dolari, dar în acest caz, C, T si J t nu se adaugă exact până la Q T. Aceşti autori folosesc ca ocuparea forţei de muncă N, t cele pe cap de locuitor numărul total de ore de muncă în unităţi private neagricole. Cu toate acestea, modelul KPR presupune 0 <N T <1. Deoarece nu există nici superioară clar legat de ore pe cap de locuitor de muncă în total, nu va fi posibil să se identifice parametrul 9 în (78) în cazul în care vom folosi această variabilă. Prin urmare, în cererea empiric mă voi concentra asupra creşterii producţiei şi a raportului consum-numai ieşire.

Tabelul 1 oferă unele statistici date descriptive ale variabilelor modelului.

Tabelul 1: date statistice

Maximă de cel puţin variabilă medie mediană

x T = C t/Q t 0,8117 0,8523 0,8315 0,8319

Un ln (Q t) -0.0399 0.0518 0.0049 0.0055

Vedem din tabelul 1, că există o variaţie mică în x t = C t/Q T. Prin urmare, soluţia liniarizat (76) pentru x t = C t/Q t reflectă faptul că, în realitate, stilizat x t = C t/Q t este de aproximativ constantă.

Ihavesubjected thetimeseries ln (C T), ln (1 t), şi ln (x T/(1 ​​- x T)) = ln (C T) - ln (1 t), 5 la o varietate de rădăcină unitate şi teste de staţionaritate 6, în special testul ADF [cf. Fuller. (1996)] cu o lungime decalaj determinat de maxim de Hannan-Quinn şi criteriile de informaţii Schwarz, PhillipsPerron (1988) de testare, Breitung (2002) de testare, Bierens (1993) rădăcină unitate

de testare pe baza de autocorrelations de ordin superior, de testare Bierens-Guo (1993), precum şi de staţionaritate KPSS (1992) de testare staţionaritate. Se pare că ln (C T) şi ln (1 t) sunt rădăcină unitate cu procese de drift şi că ln (C T) - ln (1 t) este staţionară, deci ln (C T) şi ln (1 t) sunt cointegrated.

5 Thereasonfor thetransformation ln (x T/(1 ​​- x T)) este de a face variabila implicat nelimitat, deoarece o serie de timp marginit, nu poate fi un proces de rădăcină unitate.

6 Aceste teste au fost efectuate folosind EasyReg International [Bierens (2003)] folosind EasyRe g setarea implicită pentru GAL-uri trunchiere şi a altor parametri de testare.

7 Modelul teoretic linearizat

Amintiti-va ca (76) prezice că

ln (C T) - ln (1 t) = u, (102)

cuvânt de spus, în cazul în care

(A (1 - A) (1 - 6)\, s

u = M 1 -+ 7j-T7- (1 6)), (103)

1 - A (1 - a) (exp () - (1 - 6))

deci ln (C T) şi ln (1 t) sunt cointegrated fără eroare, şi acelaşi lucru este valabil, desigur, pentru ln (C T) şi ln (Q t). Prin urmare, modelul (97) se aplică, de asemenea, la A ln (C T) şi A ln (1 t), cu aceiaşi parametri şi pe termen lung de eroare. Prin urmare, versiunea mea linearizat a modelului KPR este determinată de următoarele două ecuaţii:

Un ln (C T) = ln kA (C, T -i)+ E+ e T - Q * T -i, (104) ln (C T) - ln (/t) = u. (105)

Reţineţi că parametrul de profundă, Y, 6, A sunt identificate de la K, E, q, u.Thus, timp vectorul serie de proces, voi lucra cu este:

= (A ln (C t)\Y t = I ln (C T) - ln (/T ^,

care se presupune a fi observabile pentru t = 0,1, 2, nr. Linearizat DSGE Modelul (10) în prezent pentru a corespunde

(A\(kAln (C, T -i)+ € - QR T -i\(106) ^ T -I (A i) = I U I (106)

S = (o? 0).

unde

p i = (a, 6, ^ y) T,

cu K, E, Q definită prin (98), (99) şi (100), respectiv, de U (103), cr? = Var (e T), şi r T este definit recursiv prin

r t = QR T+ A i-ln (C T) - ln kA (C, T -i) - £ pentru t > 1, R T = 0 pentru t < 0.

Dacă s-ar presupune că ARMA (1,1) pentru modelul A ln (C T), în (104) reprezintă procesul de generare de date, atunci este justificat să se estima parametrii k, q şi C, R 2. de risc maxim, iar estimările ml de K şi Q Y canthenbeusedtoestimate, o şi 6:

Tabelul 2: ML Rezultatele estimărilor pentru A ln (C T) estimează parametrii T-valoare

K 0.075000 0.027

q 0.049000 0.017

Y = £/(1 ​​- k) 0.004936 7.193

o = (K - 1) J- 0.635471

6 = 1 - Q exp (Y) 0.950758

o 2 = 0.0000833569 R 2 = 0.0007

Deşi valoarea estimată a o este aproape de valoarea uzuală calibrat (0,65), valoarea estimată a ratei de depreciere a capitalului 6 este extrem de mare. Mai mult, înlocuirea o, 6 şi în (103), prin valorile lor estimate, şi u de thesamplemean 1.597920 de ln (C T) - ln (/t), produce un -21.63578 =, care este o valoare imposibil.

Desigur, abordarea estimarea propusă în această lucrare nu impune ca model teoretic reprezintă procesul de generare de date, şi ca urmare a modelului de singularitatea (105), este nerealist să se presupună că nu. Prin urmare, rezultatele de estimare în tabelul 2 sunt doar preliminare, şi doar servi ca o ilustrare a ceea ce se întâmplă în cazul în care modelul este luat direct la date.

8 Modelul econometric

Punctul de plecare pentru caietul de sarcini a unui model econometric este un vector de corecţie eroare de model (VECM) pentru

Y ** = (ln (Ct)\Y = 1 ln (1t) J.

Analizele cointegrare Johansen [Johansen (1988, 1991, 1994), Johansen şi Juselius (1990)], indică faptul că Yt ** este cointegrated, cu cointegrare vector (1, - 1) T şi pentru VECM 3:

O Y T ** = nu+ p (1, - 1) Y T - * 1+ nia Y T - * 1+ II2 A Y T - * 2+ V T *.

Este uşor pentru a verifica faptul că acest model poate fi scris ca un VAR (2) Modelul pentru

Y = ^ ln (C t//t)).

Astfel, aşteptările condiţionată n T- i a modelului econometric (11) ia forma

=/A ln C, T -i+ 2 ^ ln (C, T -I/1 T -i)+ <^ ln A C T -2+ ^ 4 ln (C T -2/1 T -2)+ ^ 5\n T - I ^ O ln C, T -i+ 2 ^ ln (C, T -I//T -i)+ ^ 3 O ln C t -2+ ^ 4 ln (C T -2/1 T -2)+ ^ 5 J

Rezultatele de estimare maxim probabilitatea implicate sunt prezentate în tabelul 3: Tabelul 3: Estimarea rezultat pentru modelul econometric

Un ln (C T) ln (C t//t)

estimări t de valori estimative t de valori

Un ln (C, T-1) -0.049888 -0.681538 -0.681 -4.081

ln (C, T -I/I T -i) -0.040625 1.283050 17.919 -1.293

Un ln (C, T -2) 0.256873 -0.119271 3.425 -0.698

ln (C t -2//t -2) 0.067755 -0.375238 2.165 -5.262

1 -0.039430 0.151406 4.242 -2.517

R 2 0.140 0.911

= 7.10750955E-5-4.34092710E-5 = -4.34092710E-5 3.69134238E-4

Reţineţi că parametrii de la A ln (C, T-1) şi ln (C T-1//T-1), în model pentru un ln (C T) nu sunt semnificative, şi nici nu sunt ele în comun la orice nivel de semnificaţie convenţional, astfel cum rezultă din testul Wald implicate.

În figurile 2-5 răspunsurile de la A ln (C T) şi ln (C t/1 t) la şocuri unitare în inovaţii ale acestor variabile sunt prezentate, bazate pe descompunerea superior triunghiular-Cholesky a, astfel încât şocurile sunt impuse în vederea ln (C t/1 t), A ln (C T). Puncte reprezintă o asimptotică şi de două ori benzi standard de eroare, calculate pe baza de Baillie lui (1987) abordare.

Figurile 2 şi 3 confirmă faptul că ln rămas (C T/I t) şi A ln (C T) nu au un efect mult pe o ln (C T), astfel cum a sugerat de către R scăzut 2. Mai mult decât atât, figurile 4and 5 confirmă încă o dată că soluţia modelul teoretic ln (C T/I t) = u este destul de nerealist.

Figura 2: răspuns Inovare A ln (C T), la o unitate de şoc în ln (C T/I T).

Figura 3: răspuns Inovare A ln (C T), la o unitate de şoc în A ln (C T).

Figura 4: răspuns de inovare a ln (C t/1 t), la o unitate de şoc în ln (C T/I T).

Figura 5: răspuns Inovare a ln (C T/I T), la o unitate de şoc în A ln (C T).

9 Re-estimare a modelului KPR

Având în vedere estimările din tabelul 3, am maximizat (26) la p 1 = (a, 6, A, y) t peste parametrul spaţiul B = [0,1] X [0,1] X [0,1] X [0, 0.1], folosind metoda simplex de Nelder şi Mead (1965), pentru t = 0,1.Deşi se poate limita spaţiul parametru într-o zonă de "acceptabil" valori acceptabile, în sensul că spaţiul parametru corespunde cu valorile pe care teoreticienii aşteaptă şi pentru a găsi acceptabil ca valori calibrate, am lasat liber parametrii adânci, în scopul de a lasa datele vorbesc. Doar rata de creştere determinist a fost limitat la intervalul [0, 0.1], dar acest lucru se face pentru motive numerice. Thechoiceof T = 0,1 este arbitrară, desigur. Datorită restricţie (21), nu putem alege prea mare, dar ceea ce nu este prea mare depinde de optim p i. Oricum, am experimentat cu valori mai mici ale lui t, precum şi rezultatele estimare pare a fi de aproximativ aceeaşi ca şi pentru t = 0,1.

Deoarece (26) pare a avea destul de câteva maxime local pe B, iteraţie simplex a fost repornit zece timp de la ultima soluţie, iar apoi aceasta procedura a fost repetat incepand de la tragere la sorţi de la distribuirea uniforma pe B. După ce rulează pentru o câteva ore, cu soluţia cea mai mare valoare a (26) a fost ales. Restricţie de soluţie B, a fost executată prin atribuirea o valoare de -10 29 a funcţiei obiectiv pentru valorile din afara B, şi restricţie (21) a fost executată în acelaşi mod. Rezultatele sunt prezentate în tabelul 4, pentru parametrii de adâncime, precum şi pentru parametrii corespunzători de model (104), împreună cu intervale de încredere de 95% din parametrul profundă. Erorile standard pe care intervalele de încredere se bazează au fost derivate din (10 X matricea de variaţie 10) a parametrilor estimate ale VAR (2) modelul în tabelul 3, şi (numeric calculat) 4 x 10 matrice de derivaţi de parametrii profunde a, 6, A, la parametrii VAR (2) Modelul, folosind metoda de bine-cunoscut Delta. Intervalele de încredere au fost modificate prin luarea intersecţiile cu intervalul [0,1]. Estimarea de un 2, (varianţa de e T în (97)), se bazează pe (27), cu t = 0,1, şi estimarea parametrului de adânc o 2 (varianţa V T în (31)) are a fost derivat din (101).

Tabelul 4: Rezultatele de estimare pentru t = 0,1

Parametri Deep [intervale de încredere 95%] Model (104) - (105) o 0.831885 [0.831062,0.832707] k 0.0000030

6 0.999997 [0.999397, 1] Q 0.0000025

Un 0.039859 [0, 1] 0.0049482 RON

0.004948 [0.002823, 0.007073] u 1.5990481

o 2 0.000027 o doi.0000273

10 Discutii

Rezultatul cel mai evident în tabelul 4 este o valoare a ratei de depreciere a capitalului 6, care este aproape egală cu 1 legat de sus, cu un interval foarte îngust de încredere de 95%. Prin urmare, parametrul preferinţa de timp A este, în practică, nu mai sunt de la (103), care este reflectată de intervalul corespunzător de încredere de 95%. De asemenea, estimarea de a este mai mare decât valoarea de obicei, calibrat (0,65), dar intervalul de încredere de 95%, este foarte îngust. Pe de altă parte, observa din tabelul 1, că valoarea estimată a este foarte aproape de proba medie 0. 8315 a consumului de-ieşire raportul C t/Q T.Dacă s-ar interpreta C, T, ca costul de factorul de producţie şi de Q t - C t = J t ca profit, acest rezultat corespunde la maximizarea profitului pe termen scurt.

Valoarea estimată a presupune o rată de creştere anuală de deterministă de aproximativ 2%, ceea ce nu este rezonabil. Reţineţi că valoarea implicită a u este foarte aproape de eşantion 1.597920 a ln (C T/I T), aşa cum ar trebui să fie. Deoarece AR şi MA parametrii k şi q sunt foarte aproape de zero, 7, procesul teoretic pentru o ln C, T este de aproximativ de zgomot alb. Acest lucru a fost deja evident din rezultatele estimării preliminare în tabelul 2, deoarece estimările ml de K şi q au fost nesemnificative, iar din răspunsurile de inovare din figurile 3 şi 4. Mai mult, observa din tabelul 3, care, de asemenea, se potrivesc modelului econometric pentru A, C ln T este foarte mic. În plus, reţineţi că, în cazul în 6 = 1 soluţie liniarizat (104) al modelului KPR este soluţia exactă, de exemplu,

Un ln (C T) = Y - V T, C, T/Q t = a.

Modelul descrie KPR a lui Robinson Crusoe 8 -economie de tip (înainte de

7 Prin urmare, K şi <j nu nu mai contribuie la identificarea de una, ci una este acum aproape în totalitate identificate de (103). 8 Daniel Defoe (1719).

sosirea de vineri), în cazul în care Robinson trebuie să decidă cât de mult a recoltei sale de cartofi spun să mănânce, cât de mult pentru a planta pentru recolta următoare, şi cât de mult să lucreze în domenii, în scopul de a maximiza utilitatea lui viaţă. Deoarece cartofii sădeşte produce doar o singură recoltă, în această economie rata de depreciere a capitalului (cartofi) este total: 6 = 1.

Rezultatele din tabelul 4 indică faptul că, având în vedere structura a modelului KPR şi liniarizare sale, această economie Robinson Crusoe este cel mai bun fitfor economia Statelor Unite. Teoreticienii se poate găsi această concluzie, un argument puternic în favoarea de calibrare. Cu toate acestea, faptul că parametrii estimaţi adânci sunt incredibile indică faptul că modelul KPR în forma sa actuală, este de o utilitate limitată în explicarea creşterii economice şi a ciclurilor de afaceri într-o economie reală, şi folosind calibrate "credibile", parametrii se mută model chiar mai departe de realitate.

Act de faptul că procedura de liniarizare mea nu depinde de ipoteza că variabilele aleatoare V t în (31) sunt iid N (0, o 2). ipoteza din urmă este folosit doar în ecuaţia Bellman (67), dar această ecuaţie în sine are nu a fost folosit. Prin urmare, este posibil să se generalizeze teoretic ARMA (1,1) pentru modelul A ln (C T), prin asumarea unui model mai general, pentru v T s ". Este chiar posibil să se specifice de distribuţie a v T, astfel încât modelul teoretic (105) se pot potrivi aproape de modelul econometric corespunzător, şi anume în cazul în care V T = (q - K), V T -i+ KQ V T -2+ u T, în cazul în care u T este IID N (0, o 2). Apoi £ t - Q ^ T -i+ K (£ T -i - Q £ T-2) = e T, unde e T este IID N (0, A; 2), deci A ln (C T) = K 2 A ln (C, T-2)+ (1+ k) RON+ e T. Mai mult decât atât, folosind (102) modelul acesta din urmă poate fi scris ca

Un ln (C T) = K 2 A ln (C, T -2)+ <p ln (C T -2/1 T -2)+ (1+ k) RON - e+ T, (107)

care este aproape de modelul econometric corespunzător, deoarece parametrii A ln (C T- i) şi ln (C T-1//t-1), în modelul econometric pentru A ln (C T), în tabelul 3 nu au fost în comun semnificativ. Cu toate acestea, numai rata de creştere y pot fi identificate din (107) şi (105), prin (99), având în vedere că Y numai ecuaţiile (98) şi (103) sunt disponibile pentru determinarea parametrilor a, 6 şi A.

11 Concluzie

În literatura de specialitate actuală privind analiza econometrică a modelelor de DSGE este implicit sau explicit asumat, în cele din urmă, după adăugarea de zgomot pentru a elimina singularitate, că modelul reprezintă procesul de generare de date, şi că apoi a parametrilor modelului poate fi estimată prin conectarea la modelul de date prin

probabilitate maximă, MMG-ul sau alte proceduri de estimare. În această lucrare am adopta punctul de vedere al teoreticianului de care aceste modele sunt misspecified ca reprezentanţi de date generatoare de procese. În loc de a lega un model de DSGE direct la date, îmi propun să-l lega în mod indirect la datele prin intermediul unui model econometric care se presupune că pentru a reprezenta datele generatoare de proces. În acest sens am putea estima parametrii adânci în funcţie de parametrii de model econometric, fără griji misspecification a modelului DSGE. Mai mult decât atât, prin metoda delta parametrii estimaţi profunde moşteni normalitate asimptotică a parametrilor estimate ale modelului econometric, astfel că estimările anterioare pot fi dotate cu intervale de încredere.

Abordarea estimare în acest document se aplică pentru orice model de linearizat DSGE pentru care legătura dintre parametrii modelului linearizat şi parametrii de adâncime este păstrată. De exemplu, modelele DSGE considerate de Corradi şi Swanson (2004) sunt liniarizat folosind aproximări reiterat patratice ale funcţiei valoare, care păstrează legătura cu parametrii profunde, şi, prin urmare, poate fi estimat prin abordarea mea. Acelaşi lucru este valabil pentru modelul liniarizat DSGE în considerare de către Irlanda (2003), care este derivat din restricţiile model şi o ecuaţie Euler. Desigur, procedurile alternative de liniarizare poate produce estimări diferite ale parametrilor de profunde.

După cum sa arătat mai înainte, prin calibrarea modelelor DSGE teoreticieni va limita capacitatea lor de a detecta eşecul modelului. În special, gradul de deviere a parametrilor estimate profunde din valorile obişnuite calibrate, ca şi în cazul KPR, oferă informaţii utile despre eşec model posibil, şi (sau ar trebui!) Ar putea duce la o căutare pentru modele mai realiste. Aceasta lucrare ofera noi instrumente econometrice pentru a ajuta în acest demers.

Mulţumiri

Versiunile anterioare ale acestui document au fost prezentate la Universitatea Tilburg, Penn State University, Universitatea din Rochester, Universitatea Pittsburgh, Universidade Federal face Ceara, Brazilia, econometrică Societatea Întâlnire Europeană 2003, la Stockholm, Universitatea din Kansas, şi Universitatea din Guelph. Observaţiile de William Barnett, Irlanda Peter, Gustavo Ventura şi un arbitru sunt recunostinta.

Referinte

Ambler, S., A. şi L. Phaneuf Guay, 2003, piaţa muncii şi de frecare endogenă de ciclu de reproducere de afaceri (lucrare prezentată la ESEM 2003, Stockholm).

Baillie, RT, 1987, inferenta în modele dinamice, care conţin de surpriză "variabile, Jurnalul de Econometrie 35, 101-117.

Bierens, HJ, 1993, Autocorrelations de ordin superior şi Root Ipoteza Unitatea, Jurnalul de Econometrie 57, 137-160.

Bierens, HJ, 2003, EasyReg International, Universitatea de Stat din Pennsylvania (http://econ.la.psu.edu/~ hbierens/EASYREG.HTM).

Bierens, HJ şi S. Guo, 1993, staţionaritate de testare şi de staţia de Trend-aritatea împotriva ipotezei unitatea de origine, Comentarii econometrice 12,1-32.

Bierens, HJ, şi nr Swanson, 2000, consecinţele econometrice de Stare Ceteris paribus în teoria economică, Jurnalul de Econometrie 95, 223-253.

Breitung, J., 2002, teste neparametrice pentru rădăcinile Unitate şi Cointegra-REA, Jurnalul de Econometrie 108, 343-364..

Corradi, V., şi nr Swanson, 2004, Evaluarea dinamice Modele stochastice de echilibru general pe baza comparării distribuţiei de date simulate şi istoric, Jurnalul de Econometrie (viitoare).

Defoe, D., 1719, de viaţă şi de aventuri ciudate şi surprinzătoare a Robinson Crusoe.

DeJong, DN, BF Ingram, şi CH Whiteman, 1996, O abordare Bayesiana la Calibrarea, Jurnalul de Afaceri Economice şi Statistică a 14,

1-9.

DeJong, DN, BF Ingram, şi CH Whiteman, 2000, O abordare Bayesiana la Macroeconomie dinamice, Jurnalul de Econometrie 98, 203-223.

Feve, P., şi F. Langot, 1994, Modele RBC Prin inferenţă statistică: o cerere cu date franceză, Journal of Applied Econometrie

9, 11-35.

Fuller, WA, 1996, Introducere în seria de date statistice (John Wiley,

New York, NY)

Geweke, J., 1999, experimente computationala şi realitate, document de lucru (http://www.biz.uiowa.edu/faculty/jgeweke/papers/paperE/cer.pdf).

Hansen, HG, 1985, Muncii indivizibilă şi a ciclului de afaceri, Jurnalul de economie monetară 16, 309-327.

Hansen, LP, şi JJ Heckman, 1996, Fundamentele empirice de calibrare, Jurnalul de perspectivele economice 10, 87-104.

Irlanda, PN, 2003, o metodă pentru a lua Modele de date, în Jurnalul Oficial al dinamicii economice şi de control (viitor).

Johansen, S., 1988, Analiza statistică a vectorilor Cointegrated, în Jurnalul Oficial al dinamicii economice şi de control 12, 231-254.

Johansen, S., 1991, Estimarea şi testarea ipotezelor de vectori Cointegrated în gaussiene Modele vectoriale autoregresive, Econometrica 59, 15511580.

Johansen, S., 1994, Rolul Termeni constante şi liniară în Moneda-tegration Analiza de variabile nestaţionare, recenzii econometrice 13, 205229.

Johansen, S. şi K. Juselius, 1990, Evaluare Risc maxim si inferenta pe cointegrare: cu aplicatii la cererea de bani, Buletinul Oxford de Economie şi statistică 52, 169-210.

Rege, RG, CI Plosser, şi ST Rebelo, 1988a, cicluri de producţie, de creştere şi de afaceri: I. modelul de bază neoclasic, Jurnalul de Monetar

Economie 21, 195-232.

Rege, RG, CI Plosser, şi ST Rebelo, 1988b, cicluri de producţie, de creştere şi de afaceri: II. New Directions, Journal of Monetar Economie 21,

309-341.

Rege, RG, CI Plosser, şi ST Rebelo, 2001, de producţie, creştere şi ciclurile de afaceri: apendicele tehnic (http://www.kellogg.nwu.edu/facultate/Rebelo/htm/kprnew.pdf).

Kullback, L., şi RA Leibler, 1951, privind informaţiile şi Suficienţa, Analele de Statistică matematică 22, 79-86.

Kwiatkowski, D., PCB Phillips, P. Schmidt, şi de domnul Y. Shin (KPSS),

1992, Testarea Null de staţionaritate împotriva alternative de o rădăcină unitate, Jurnalul de Econometrie 54, 159-178.

Kydland, F. E, CE şi Prescott, 1982, timp pentru a construi şi evoluţii agregate, Econometrica 50, 1345-1370.

Kydland, F. E, CE şi Prescott, 1996, Experimentul computaţională: un instrument econometric, în Jurnalul Oficial al Perspective Economice 10, 69-85.

NASON, JM, şi T. Cogley, 1994, Testarea Implicaţiile de neutralitate LongRun pentru Modele monetare ciclului de afaceri, Journal of Applied Econometrie 9, 37-70.

Nelder, JA, şi R. Mead, 1965, o metodă simplex pentru minimizarea Funcţia, Computer Journal 7, 308-313.

Pagan, A. (Editor), 1994, Tehnici de calibrare şi Econometrie, Journal of Applied Econometrie 9.

Phillips, PCB şi P. Perron, 1988, de testare pentru o rădăcină unitate în regresie Time Series, Biometrica 75, 335-346.

Schorfheide, F., 2000, pierderi de funcţii-Based Evaluarea Modele DSGE, Journal of Applied Econometrie 15, 645-670.

Sims, CA (1996), Macroeconomie şi Metodologie, Jurnalul de perspectivele economice 10, 105-120.

Stokey, NL, RE Lucas, şi E. Prescott, 1989, Metode recursive în dinamica economică (Harvard University Press, Cambridge, MA).

Watson, MW, 1993, măsuri de compatibilitate pentru Modele calibrate, în Jurnalul Oficial al

Economie politică 101, 1011-1041.

Useful Info