ESENTA DE MATEMATICĂ
Source: http://www.unav.es/gep/EssenceMathematics.html
Charles S. Peirce (1902)
Traducere spaniolă de Manuel paracliserului (1974)
Acest text, care se găseşte în CP 4228-243, este capitolul 3 din Logic minute proiectat de Peirce în 1902 şi care nu a fost niciodată publicat.
Nu cred că matematica într-un fel dependentă de logica. Raţionament matematic, desigur. Dar când matematicianul ezită sau ratează în logica raţionamentului său nu poate veni în ajutorul lor. Încă şi mai uşor comite erori matematician şi altele similare in logica. Dimpotrivă, noi credem că este logică nu se poate obţine soluţionarea problemelor lor, fără utilizarea extensivă a matematicii. De fapt, toate logica formală matematică aplicată este pur şi simplu logica. Benjamin Peirce 1, al carui fiu ar fi preţul, a fost primul care a defini matematica, in 1870, ca fiind "stiinta care trage concluziile necesare." Definiţie a fost nimic neobişnuit în acele zile, dar astăzi savanţii de filozofie a matematicii în general, recunosc corectitudinea substanţială a acestei formule.
În schimb, definiţia actuală între profesori şi profesorii şcolii rămâne faptul că matematica este ştiinţa cantităţii. Deoarece această definiţie în mod inevitabil, sună în limba engleză, pare a fi o neînţelegere de la o definiţie foarte vechi, probabil, 2 versiunea originală a căror semnificaţie a fost faptul că matematica este ştiinţa numerelor, adică, formele care au cantitate. Pe de altă parte, ştim că Euclid a înţeles că o sucursală mare de geometrie nu are nimic de-a face cu orice măsurare (cu excepţia cazului când utilizaţi un măsurători înregistrare ca demonstrativ), prin urmare, un geometru grec al timpului său (începutul secolului al treilea C.) sau o versiune ulterioară nu a putut defini matematica ca stiinta a substantivul abstract exprimate de cantitate. Cu toate acestea, Aristotel şi urmaşii săi clasificate linie ca o cantitate sau cuantică, astfel încât chiar şi perspectiva (care este mai mult decât intersecţii şi proiecţiile la toate lungimile) ar putea fi considerată ca o ştiinţă a cantităţilor, înţelegere " cantitate ", în sensul de beton. Acesta este sensul originar al definiţiei de "matematica este stiinta de cantitate", aşa cum se arată suficient de faptul că autorii au fost primul care să-l enunţe, în jurul anului 500 AD C., Ammonius Hermias şi Boethius, face astronomie şi muzică ramuri ale matematicii, precum şi motivul pentru care dau pentru a face 3. Chiar si Filon din Alexandria (100 î.Hr.), care a definit ca matematica ştiinţa de idei furnizate de senzaţie şi de reflecţie cu privire la consecinţele acestora, ţinând, cum noi ne recunoaştem "matematica", cuvântul într-un sens diferit de a noastră, deoarece aceasta include, în plus faţă de părţile sale esenţiale, şi anume teoria numerelor si geometrie, de asemenea, aritmetică practică a grecilor, geodezie, mecanică, optică (sau geometria proiectivă), muzica şi astronomie. În multe feluri se poate dovedi că Aristotel nu putea concepe matematicii ca ştiinţă a cantităţii în sens abstract noastre moderne. Subiecte de matematică sunt, după el, cât de mult şi continuum. Sa referit apoi la categoria de continuă cuantice şi face, prin urmare, cuantice într-un sens larg, obiectul de matematică.
În cartea a şasea a Republicii 4 Platon susţine că caracterul esenţial al matematicii este de natura specifică şi gradul de abstractizare, care este mai mare decât cea a fizicii, dar la mai puţin de captare a ceea ce numim acum filozofie, şi Aristotel urmează stăpânul său în această definiţie. De atunci, aceasta a fost întotdeauna obiceiul de a ridica în slăvi propria lui raţionament metafizic şi concluzii abstracte ca mai mult decât cele de oameni de stiinta si matematicieni. Şi este cu siguranţă pare că problemele despre Dumnezeu, Libertatea, şi nemurirea sunt mai mari, de exemplu, că întrebarea cum de multe ore, minute şi secunde vor trece înainte ca acestea sunt două e-mailuri care călătoresc în anumite condiţii, şi oricum Nu ştiu cine a arătat vreodată demnitatea cea mai mare măsură. Dar ideea că metodele metafizic intelectuale nu sunt fapte istorice, mult mai puţin în toate privinţele cu cele ale matematicii, dar este vanitate zadar. O consecinţă curios de această noţiune, care a predominat pentru o mare parte a istoriei filosofiei în conformitate cu care raţionament metafizic trebuie să fie la fel ca matematica, dar cea mai mare a fost faptul ca multi matematicieni au crezut, prin faptul că matematic calificat pentru a discuta despre filosofia şi metafizica nu există nici mai rău decât a ta.
Kant a înţeles matematic ca propunerile hotărârilor judecătoreşti sintetice a priori, în această concepţie este un element de adevăr, şi anume faptul că cele mai multe dintre aceste afirmaţii nu sunt ceea ce el a numit judecăţi analitice, şi anume că sa predicat nu este cuprinsă în definiţie a subiectului, în sensul înţeles de către Kant. Dar propunerile de aritmetică, de exemplu, dacă cunoaştere adevărată, şi chiar forme de cunoaştere, este o circumstanţă care nu are nimic de a face cu adevărul matematic. Toate matematicieni moderni sunt de acord cu Platon şi Aristotel, că matematica se ocupă exclusiv cu situaţii ipotetice, şi nu spune nimic de fapt, şi că numai astfel se poate explica necesitatea de concluziile sale. Aceasta este adevarata esenta a matematicii, şi definirea tatălui meu este corectă în măsura în care este imposibil să se motiv cu rezultatele necesare despre altceva decât prin mijloace pur ipotetic. Desigur că nu vreau să spun că, dacă o ipoteză pur, care este valabil şi pentru situaţia reală efectivă, motivele pentru care se va opri, dacă este necesar. Ce se întâmplă este că niciodată să fie cunoscut apodictic să fie adevărat pentru orice situaţie reală. Luaţi în considerare o imagine de ansamblu situaţie perfect limpede. Şi să presupunem de asemenea, că această descriere nu se referă la nimic ascuns, nimic nu poate face în întregime la imaginaţie. Apoi să ia o serie de posibilitati la fel de definit şi în egală măsură supuse la imaginaţie, astfel încât, în măsura în care este descrierea făcută modalităţi generale, diferite pentru a determina aceasta nu poate intra în orice funcţii îndoielnice sau ascunse. Presupunere nu ar trebui să se refere la orice întrebare de fapt specifice, deoarece acestea nu se încadrează în domeniul de aplicare al imaginaţiei. Nici nu poate să fie astfel încât, de exemplu, poate duce ne să ne întrebăm dacă vocale sau se poate imagina un sunet pronunţată ca mai mare decât vocala e. Probabil cel mai bun lucru ar fi redusă la relatii pur spaţiale, temporale şi logice. Indiferent de caz, întrebarea dacă, având în vedere această situaţie, o altă situaţie în mod similar definit, care este, de asemenea, o chestiune de imaginaţie, pot sau nu pot să apară în domeniul de posibilităţile desigur, să fie astfel că cele două răspunsuri, Da şi Nu, unul dintre cele două, dar nu ambele, va fi adevărat. Dar toate evenimentele importante cad, după presupunerea noastră, în domeniul imaginaţiei, în consecinţă, singurul lucru necesar pentru a oferi raspunsul real este operaţiunea de gândire. Şi presupunând că răspunsul acoperă întreaga gamă de posibilităţi de permise, acest lucru nu se poate întâmpla, dar raţionamentul apodictic, generale şi exacte. Prin urmare, nu va fi nici cunoştinţe despre ceea ce este cu adevarat, sau nu este cunoaştere pozitivă. Dimpotrivă, spun că orice sursă de informare limitate la fapte ne poate oferi o cunoaştere necesară, acest lucru este pe un câmp întreg de posibilităţi generale, simt o contradicţie în termeni triviale.
Matematica este studiul de scenarii reale. Aceasta este esenţa şi definiţia. Prin urmare, tot ceea ce în ea, cu excepţia preceptele primul rând pentru construirea de ipoteze, trebuie să fie de natură a inferenţă apodictică. Desigur, putem motiv imperfect şi a sări la o concluzie fără o justificare, dar încă nu înseamnă încheierea obţinută în toate cazurile, dar având în vedere unele situaţia reală, ceva ce ar fi neapărat adevărat. În schimb, fiecare deducţie apodictică este, strict vorbind, matematică. Dar matematica si stiinta gravă, are, peste caracterul esenţial, fiind ipotetice, o accidentale-o trăsătură caracteristică proprium spunand ca aristotelică-logica are cel mai mare interes. Aceasta este urmatoarea: desi "filozofii" urmaţi Aristotel în doctrina că demonstraţia numai pe deplin satisfăcătoare se numeşte în mod direct, sau demonstrative quia sau de ce -o demonstraţie care utilizează nu mai mult de concepte generale şi nu se termină, dar ceva care va fi absorbită de o definiţie în cazul în care toţi termenii au fost definite în mod explicit, exacte, matematicieni, însă, resping acest mod de a gândi şi aprecia arată că filosofii stigmatizează ca "doar" indirect, sau Quod demonstrative sau ce. Matematicienii a declarat la fel de simplu corolarele de propuneri care pot fi trase din alte fel de raţionament glorificat de către filosofi. Ele sunt, de fapt, ca aceste adevăruri de geometrie Euclid care nu a considerat demn de o menţiune specială şi că editorii lor adăugat la text, intercalate cu o coroana sau corola deoparte, probabil pentru a semnifica faptul că acestea ar trebui să onoreze modeste să corespundă introducerea unor astfel de observaţii meschine. Dar pentru a demonstra teorema, sau cel puţin teoremele principal, un alt tip de raţionament. Acest lucru pur si simplu nu este suficient de ansamblu. Avem nevoie să se aşeze sau să-ţi imaginezi orice regim special sau diagrama şi determinat: în geometrie, o figură compusă din liniile desemnate prin litere, în algebra orice dispoziţie de litere care se repetă una sau mai multe. Acest sistem este construit în aşa fel încât este în concordanţă cu o ipoteză a declarat în termeni generali în teza a teoremei. Matematician se străduieşte să construiască schema sau diagrama, astfel încât, în orice situaţie posibilă poate accepta ca ceva foarte similare şi care pot fi aplicate descriere ipotetic cuprinse în teza a teoremei, şi, de asemenea, se străduieşte să construiască aşa care nu contine si alte caracteristici care ar putea influenţa raţionamentul. Una dintre problemele pe care trebuie să ia în considerare este aceasta: cum poate fi ea că, deşi raţionamentul se bazează pe studiul unui regim special, în acelaşi timp, este, aplicabile în toate cazurile posibile? Pentru acum doresc în schimb să subliniez că sistemul odată construite în concordanţă cu preceptul practic conţinute în teză, situaţia teorema nu este în mod evident adevărat chiar şi pentru un astfel de sistem, şi nici nu ajunge să facă tot ce gândesc evident corolarul de filozofi. Nu cred că doar în termeni generali. Trebuie să facem ceva. În geometrie, liniile filială sunt trase. În algebra transformări admisibilă sunt efectuate. Apoi, intră în joc competenţele de observare. Percepută o legătură între părţi ale sistemului. ¿Deplasare la subzistă în orice caz, o astfel de relaţie este posibil? Un corolar doar gând, uneori, va garanta un răspuns pozitiv. dar, în general, poate fi necesar să se stabilească modele diferite, reprezentând diverse posibilităţi alternative. Theorematic raţionament depinde întotdeauna de sistemele de testare special. În cele din urmă vom vedea că, de fapt, acelaşi lucru se poate spune despre corolar gândire, inclusiv demonstraţia lui Aristotel de ce. Numai în acest caz, sunt aceleaşi cuvinte care servesc drept cadru. Putem spune, prin urmare, că raţionamentul corolarul sau filosofia este raţionamentul cu cuvinte, în timp ce raţionamentul theorematic sau matematice în sine este raţionamentul cu sistemele special construite.
O altă caracteristică de gândire matematică este utilizarea specific din abstractizare. Abstracţiuni au fost în timpurile moderne tinta preferata de ridicol. Acesta este cu siguranţă foarte uşor să râdă la medicul vechi, răspunde la întrebarea de somn opiu de ce, ne prezintă cu răspunsul care face o virtute, pentru că a dormit. Acesta este un răspuns la caracterul vag duce în mod inevitabil la conceput cea mai mare măsură. Dar, în ciuda povestea fiind inventate tocmai pentru a arăta că nu există sensul cuvântului puţin în abstracţii, dar răspunsul medicului vechi conţine un sâmbure de adevăr, care, în general, filosofia modernă a ignorat: replică afirmă că există într-adevăr se află în opiu ceva ceea ce explică faptul că oamenii mereu amortite. Eu spun că filosofii moderne au negat faptul că, în general,. Nu în mod explicit, desigur, dar atunci când se spune că diverse fapte ale diferitelor persoane care dorm după ce a luat opiu nu au nimic în comun cu excepţia faptului că spiritul nostru a clasificat împreună, şi acest lucru este ceea ce ei spun practic atunci când neagă realitatea a universaliilor-se implicit neagă că există o explicaţie reală a efectului narcotic de opium.
Repásense tratate moderne pe logica şi a vedea că aproape toate dintre ele se încadrează în una sau alta dintre două erori (din punctul meu de vedere), pentru a elimina doctrina de abstractizare (în sensul în care o denumire abstractă indică o abstractizare), ca subiect doar gramaticale nu trebuie să vă faceţi griji cu privire la logica, si abstractizare a confunda acest sens cu operaţiunea psihice prin care noi să acorde o atenţie la o caracteristică de o percepţie, ignorând celelalte. Aceste două lucruri nu au nimic de-a face cu fiecare alte. Faptul de percepţie destul de banale, ca "vazut" ca o abstractizare este necesar, o precizie, cum se spune. Dar, abstracţie ipostatice, abstractizare care transformă "văzut" în "există lumină" nonsens, care utilizează, în general, captare cuvântul (rezerve prescisión pentru captarea exacte) - este un mod foarte special de a gândi. Aceasta implică asumarea unui trăsătură din una sau mai multe precepte (după ce au scăpat de alţii), astfel încât să ia forma propoziţională într-un studiu (şi poate funcţiona efectiv în orice proces) şi pentru a înţelege acest lucru ca relaţia dintre obiectul acestui studiu şi un alt bărbat, al cărui mod de a fi constă exclusiv în adevărul propoziţiilor a căror predicat este termenul corespunzător specifice. Această propunere a transformat "mierea este dulce" în "miere are dulceata." Într-un sens "dulceaţa" este fictivă. Dar, aşa cum modul de a fi atribuite la ele, nu este mai mult decât faptul că unele lucruri sunt dulci, şi nu este destinat sau imaginat de a avea un alt mod de a fi, în cele din urmă există o ficţiune. Singurul lucru spune este că ne gândim la faptul că mierea este dulce ca o relatie, si o putem face perfect. Am luat exemplu de dulceata de la abstracţiile mai puţin utile. Dar, aşa că este bine pentru ceva: idei de uşor ca dulceaţa mierii este deosebit de cloying, sau dulceaţa mierii este similară cu cea de o luna de miere, şi aşa mai departe. Abstracţiuni sunt deosebit de natural pentru matematica. Deja în viaţa de zi cu zi, de exemplu, este nevoie de un fel de abstracţiuni pe care o numim colecţii. În loc de a spune că fiinţele umane sunt de sex masculin şi de odihnă feminin a fost considerată potrivită pentru a spune că omenirea constă într-un parte mascul si o parte de sex feminin. Acelaşi tip de gândire construieşte clase colecţii, ca perechi, trio, cvartete, mâini, săptămâni, zeci, sonete, scoruri, topuri, sute, groase, mii, zeci de mii, milioane, miliarde, etc. Rezumate au sugerat o astfel de ramură a matematicii întreg 5. Un alt exemplu este un punct care se misca: pentru captarea spune că punctul de geometru "descrie" o linie. Această linie, deşi nu este o abstracţiune, se mută în acelaşi timp, şi se înţelege că produce o suprafaţă, şi aşa mai departe. În cazul în care analistul este în continuare operaţiunile şi care fac obiectul altor operaţiuni, o metodă de a cărui utilitate nu neagă nimeni, oferă un alt exemplu de abstractizare. Destul de asemănătoare este noţiunea de stres Maxwell exercitate pe liniile de forţe electric transversal. Aceste exemple arată valul mare de abstractizare în ocean de gândire matematică, dar cand intram intr-o examinare foarte detaliată a fiecărui departament sunt în ondulaţii constant în faptul că acelaşi mod de gândire, care nu pot fi considerate ca fiind exemplificate prin cele de mai sus.
O altă caracteristică de gândire matematică este că nu poate reuşi dacă nu pot fi generalizate. Nu se poate nega, de exemplu, ca sahul este matematic într-un sens, dar din cauza excepţiilor special pentru matematicianul împiedică pe el, limitele de bord, mişcările individuale ale regelui, calul şi muncitor, număr finit de cutii, mod particular de a ucide pionii, rocada, etc.-, este un aripile taiate matematic, care poate rula doar în jurul valorii de podea. Deci, matematician urmăreşte şi este adesea ceea ce un jucător de şah ar putea apela un gambit în favoarea sa, care este, schimbarea o mică problemă care implică excepţii de construcţii pentru o problema mai mare şi fără ele. De exemplu, în loc de presupunand ca linii paralele, spre deosebire de toate celelalte perechi de linii într-un plan, nu taie niciodată, se poate presupune că se intersecteze la infinit. În loc să presupunând că unele ecuaţii au rădăcini şi altele nu, poate completa suma reală cu domeniul infinit mai mare cantitate de imaginar. Acest lucru, de asemenea, ne spune cât de multe curbe foarte uşor să o curbă plată de orice descriere, dar dacă ne întrebăm cât de multe dintre aceste inflexiuni sunt reale şi cât de multe vor fi pur fictive în imposibilitatea de a răspunde. Matematician este enervant in trei dimensiuni spaţiale, pentru că nu a tăiat toate perechile de linii, şi apoi descoperă în avantajul său folosind quaternions, care reprezintă un fel de patru-dimensionale continuum, pentru a evita această excepţie. Tocmai pentru că excepţiile împiedica atât lor de lucru, aproape fiecare relatie care se decid să lucreze matematica este tipul de conexiune, de exemplu, relaţii în care pentru toate relatum este acelaşi număr de corelaţie şi pentru toate correlatum aceeaşi Numărul de povesteşte.
Printre caracteristicile minor, dar foarte izbitoare, matematică pot include nuditate şi natura scheletului de propunerile lor, dificultatea de specific, complicaţie şi tensiunea de raţionamentul lor, acurateţea perfectă a rezultatelor lor, universalitatea lor larg, infailibilitatea sale practice. Este usor sa vorbesti cu orice exactitatea generală, dar cu condiţia de a părăsi creanţei să spună anumite lucruri. De asemenea, este mai uşor să spui anumite lucruri, dar cu condiţia ca acestea sunt suficient de vagi. Este foarte dificil sa fie destul de precise şi destul de în timp ce vorbesc despre un subiect care este foarte special. Dar lucrul remarcabil este de a colecta, la fel ca matematica, acurateţea perfectă şi practica infailibilitatea universal, fără restricţii. Pe de altă parte, este greu să vedem că toate aceste caracteristici ale matematicii sunt consecinţele inevitabile ale studiului naturii sale ipotetic de adevăr.
Este dificil de a decide între cele două definiţii de matematică, care este definit prin metoda sa de a obţine consecinţe necesare, şi cea definită prin scopul său şi de obiect, ca studiul de scenarii. Primul sau nu pare să efectueze deducerea a consecinţelor unor ipoteze singurul subiect de matematica ca atare. Dar este incontestabil faptul că geniile au fost consacrate de construcţie anterioare şi simpla unor astfel de ipoteze generale, cum ar fi domeniul numărul imaginar şi ideea legate de suprafaţă Riemann, măsurarea nu este euclidian, numere perfecte, fluid f. şi aşa mai departe. Deja lucrarile de constructie simpla ipoteza special, de problemele speciale şi specifice necesită întotdeauna bunul simţ şi cunoştinţe, şi, uneori, o mare putere intelectuală, ca şi în cazul algebrei booleene de logică. Vom exclude acest tip de muncă în domeniul matematicii? Poate că răspunsul ar putea fi faptul că, în primul rând, indiferent de exerciţiu intelectual necesar să se aplice matematica la o problemă care nu a ridicat în formă matematică, nu incercati, desigur, gândire pură matematică, şi, pe de altă parte, că Simpla creare a unei ipoteze poate fi o bucată mare de poezie sau de geniu creator, dar nu se poate spune a fi ştiinţifică, în măsura în care se produce că creaţia nu este nici adevărat, nici fals şi, prin urmare, nu de cunoştinţe. Acest răspuns sugerează observaţie în continuare că, dacă matematica este studiul de situaţii de natură strict imaginare, poeţii trebuie să fie marilor matematicieni, în special a celor care scriu compoziţii de argumente complicate şi intrigant. Poate că nu răspunde, fără îndoială evident că studiul de situaţii imaginare înţeleagă studio de ceea ce este adevărat de ei, respinge în totalitate de opoziţie. Articolul Matematica din a noua editie a Encyclopaedia Britannica 6 matematică prezintă ca fiind formată în studiul de o anumită clasă de ipoteze, şi anume cele care sunt exacte, şi aşa mai departe., aşa cum se arată în detaliu în text. Acest articol este foarte vrednică de consideraţie.
Matematician şi filozof Richard Dedekind 7 susţine că matematica este o ramură a logicii. Acest lucru nu este definiţia de tatăl meu, ceea ce înseamnă că nu matematica este ştiinţa de a obţine concluziile necesare, care ar fi o definiţie a logicii deductive, dar ştiinţa obţine concluziile necesare. Evident, pot atesta că în calitate de martor, el a avut această distincţie. La momentul care a produs o astfel de definiţie, el, ca un matematician, şi eu, ca o logică discuţii, a avut loc zilnic despre un subiect larg, care ne interesează atât, şi am atât a atras atenţia asupra opoziţiei cu privire la motivele interesábamos ne atât pe baza propunerilor aceeaşi. Logica nu este interesat în mod deosebit această ipoteză sau care sau consecinţele acestuia, cu excepţia cazului în măsura în care acestea faca lumina cu privire la natura de motivare. Matematician este intens interesaţi şi de metode eficiente de motivare, luând în considerare extinderea eventualei sale la noile probleme, dar qua matematician, nu deranjez pentru a analiza în detaliu metoda în care părţi din corecţia este acceptată lucru. Diferite aspecte, care să ia algebra logicii pentru cele două profesii este instructivă în această privinţă. Problema matematică a ceea ce valoare este faptul că în timp ce se calculează algebră. Poate fi aplicat pentru a dezlega o problemă complicată? Va produce un rezultat rapid la distanţă? Logician nu este interesat de acest algebră are astfel de caracter. Prin contrast, cel mai mare număr de etape diferite logic că algebra de inferenţă logică este rupt pentru el o superioritate faţă de alte pietre care se mişcă mai repede la o concluzie. Întrebat ce logica este că această algebră a analiza un argument pentru a pasi sale cele mai de bază. Deci, ceea ce pentru una dintre aceste două profesionisti este un merit de algebră a logicii este un defect la alţii. O Studiile ştiinţa de a trage concluzii, ştiinţa alte trage concluziile necesare.
Dar, în realitate, diferenţa dintre cele două ştiinţe este mult mai important decât doi termeni diferiţi. Matematica este pur ipotetic, dar nu produce propuneri condiţionată. Logică, cu toate acestea, este categorică în declaraţiile sale. Desigur că nu este pur şi simplu, sau chiar în primul rând, o simpla descoperire a ceea ce există, ca metafizica. Logica este o ştiinţă normativ. Deci, el are un caracter remarcabil matematic, cel puţin în parte metodic, deoarece analizează problema de cum să ajungă la un capăt cu mijloace date. Dar, cel mult, aceasta înseamnă că logica trebuie să solicite asistenţa de matematică, că logica matematică este o sucursală. Ceea ce este adevărat din orice ştiinţă. Există o logică matematică, deoarece există o optica matematică şi economie matematice. Logica matematică este logica formala. Logicii formale este dezvoltat, după cum doriţi, este matematica. Dar logica nu este formală în nici un fel toate logică, chiar şi partea sa principală. Este chiar discutabil dacă aceasta ar trebui să fie considerate ca făcând parte din logica în sine. Logica trebuie să definească scopul său, şi-l face să se bazeze mai mult pe etica sau filosofia a obiectivelor de matematica la metodice sale. Curând înţelege de ce şi cum un savant etica ar putea fi tentate să facă ştiinţa lor, o ramură de logica, astfel cum sa întâmplat aproape la Socrate. Dar această soluţie nu este mai adevărat decât celălalt. Logica depinde de matematică, chiar mai intim dependenta de etica, dar interesul lor specific se referă la adevăruri care nu sunt incluse într-unul sau altul. Există două personaje de matematică pe care nu le-am menţionat până în prezent, deoarece acestea nu sunt singuri lor caracteristici. Unul dintre ei, care nu trebuie să ne reţină, este faptul că matematica se distinge de toate celelalte ştiinţe, dar de etică, nu faptul de a avea nevoie de ajutor de ea. Toate celelalte ştiinţă, chiar şi logică, în special o logică este în stadiu incipient în pericol de a se evapora în nimic, degenerate, după cum spun germanii, membrana arahnoida [?], Filigran de materie care sunt vise. Matematică pură nu are nici o astfel de pericol, pentru că este exact ceea ce ea trebuie să fie.
Caracterul-şi de un interes special pentru noi acum, este faptul că matematica, împreună numai cu etica si logica, nu are nevoie să apeleze la acesta din urmă. Alte Fără îndoială că mulţi un cititor pentru a citi acest protest. Matematica poate spune, este în primul rând o ştiinţă a raţionamentului. Şi este de fapt o ştiinţă care urmează să fie bine. Dar, în acelaşi fel în care vorbesc nu este necesar să se cunoască teoria de formare a vocalelor, deci nu este necesar să se aibă teoria argument motivate. Este clar că ar exista niciodată altfel putut să dezvolte ştiinţa logicii. Mai multe acceptabil ar fi o altă obiecţie, şi anume faptul că ştiinţa nu are nevoie de logică, ci pur si simplu capacitatea noastră naturală de a raţiona. Dacă este făcută de către logica că a făcut cea mai mare parte a tratatelor în trecut şi fac încă multe cărţi în engleză şi franceză, şi anume, logica formală şi prezentat în primul rând ca o artă a motivat, apoi, în opinia mea, faptul că obiecţie este mai mult decât justificată, pentru că logica este ea însăşi un obstacol major în raţionamentul corect. Dar, din scopul nostru prezent să ia în considerare această obiecţie în detaliu. Conţinutul mă cu a spune că fără nici o îndoială abilitatea noastră de a Motivul este destul de naturale, în sensul că nu există suficient pentru telegrafie fără fir care omenirea a existat. Aceasta este, în aceste condiţii, telegraful fără fir venea într-o zi. Dar acest fapt nu a împiedicat necesitatea de a studia natura de energie electrică pentru telegraf. În mod similar, în cazul în care studiul de energie electrică au avut hotărîre efectuate fără o atenţie deosebită la matematică, idei matematice ştim acum sunt necesare pentru studiu ar fi produs la un moment sau altul. Faraday, de fapt le-am fără nici o cultură matematică. Ar fi fost mult mai ieftin pentru a întârzia studiul de energie electrică, pentru a studia matematica în sine şi apoi se aplică de energie electrică, care este calea luată de Maxwell. În mod similar, diverse dificultăţi logice care apar în cadrul tuturor ştiinţelor, cu excepţia matematică, etică şi logică, fără îndoială vor fi rezolvate mai devreme sau mai târziu, dar nu face nici un studiu special de logică. Dar ar fi mult mai ieftin să faci înainte de un studiu sistematic al logicii. Şi dacă cineva întreabă ce aceste dificultăţi logice care apar în ştiinţe, este că aţi citit istoria acestor supraveghere cu suficiente. Care a fost controversa faimoase de pe măsurarea forţei, dar o dificultate logică? Ce controversa dintre catastrofală şi uniformitariană, dar o întrebare despre dacă o concluzie dat nu este încă pe anumite premise sau Acceptăm? [...] Dar vă întreb dacă matematica, logica şi etica nu au întâmpinat dificultăţi similare. Sunt ei cu adevărat consolidate într-un mod definitiv doctrinele de logica? Este istoria eticii mai mult decât povestea unei controverse? Nu au comis erori de logica matematica? Voi raspunde la aceasta, în primul rând, în ceea ce priveşte logica, nu autorii au doar logică comună, astfel cum se prevede prin oamenii eminenţi a Maudsley psihiatru creier subdezvoltat, nu doar în general, au lipsit de calificare esenţială pentru acest studiu, formare şi anume matematice, dar, de asemenea, motivul principal pentru care logica nu este bine stabilit este acela că există multe opinii diferite cu privire la scopul real al acestei ştiinţe. Şi aceasta nu este o dificultate logică, dar etic, în scopul ştiinţei este etică. În al doilea rând, este adevărat că etica pură a fost şi trebuie să fie întotdeauna un teatru de discuţii, pe motiv că studiul lor este dezvoltarea treptată a unei identificare clară de la o concluzie satisfăcătoare. Fără îndoială, aceasta este o ştiinţă de subtilitate, dar ceea ce într-adevăr creează şi rezolvă problema de etica nu este logica, dar dezvoltarea a idealului. În al treilea rând, în matematică există erori de raţionament, si au supravietuit chiar milenii, fără a fi criticat. Dar cauza nu este pur şi simplu observat. În niciun moment în istoria ştiinţei nu a reuşit să primească răspuns prompt şi în unanimitate, o dată ridicat, întrebări cu privire la o concluzie dacă este sau nu este dat încă matematic sediul dat. Chiar şi excepţii aparente sunt putine, si acelea puţine se datorează faptului că până în a doua jumătate a secolului trecut, matematicieni nu au reuşit să identifice cu precizie ceea ce este matematică şi pământul pe care este străină de ştiinţă lor. Poate că cel mai apropiat lucru de o excepţie de la această discuţie a fost cu privire la utilizarea de serii divergente. Şi în acest caz, niciuna dintre părţi nu a avut suficiente motive matematică pură pentru a acoperi toate terenurile în litigiu, motivele au fost, de asemenea, natura disponibile extramathematical şi, ca în cazul în care acest lucru nu ar fi de ajuns, au fost folosite pentru a ocupa destul de vag. După cum sa dovedit, ştim, că seria divergente sunt extrem de utile 8.
Încurajat de acest fapt şi pe baza unui concluzia că nu era suficient să spun că matematica, multi matematicieni vechi a luat utilizarea de serii divergente dincolo de raţiune. Disputa despre matematicieni noi discuta despre perioada de valabilitate a unui tip de deducţie, care nu a fost un matematician. Fără îndoială, o logică coerentă (care nu a fost dezvoltat până în prezent) au arătat în mod clar că deducţie matematică, care nu a fost consecvent. Dar cred că acesta este singurul exemplu de o parte considerabilă a lumii matematice care doresc să se bazeze pe raţionament extramathematical. Afirm că raţionamentul este atât de adevărat matematică superioară la probe se poate la orice doctrină de logică corectă, fără acest raţionament, recursul a logicii matematice ar obscure numai situaţia. Dimpotrivă, dificultăţile care pot apărea în ceea ce priveşte raţionamentul necesare pentru a fi soluţionate prin obişnuit prin reducere la intrebari matematice. Şi, aşa cum vom vedea în mod clar, este logica pe care trebuie să se bazeze pe aceste dictează matematicieni.
Traducere Manuel paracliserului (1974)
Ia act de
1. "Algebra liniara asociative" (1870), sec. 1, în American Journal of Mathematics, vol.. 4, 1881. (N. de CP)
2. Aşa cum citim în Diadochus Proclus, 485 d. C (Commentarii in primum Euclidis Elementorum Librum, pars Prologi anterior, c. 12), poate părea că pitagoreicii înţeles matematica ca un răspuns la întrebările "Cât de mulţi?" şi "Cât de mult?". (N. de CSP.)
3. Eu nu regret să se fi înregistrat trecerea de Ammonius la care mă refer. Este probabil una dintre fragmente editate de Brandis. Nota mea scrisă de mână îmi dă motive care arată că aceasta a fost părerea lui.
4. 510 C până la sfârşitul anului, dar în Legile ideea este desăvârşită. (N. de CP)
5. Desigur, din momentul în recunoaştem că este o colecţie de o abstracţiune, trebuie să recunoaştem, de asemenea, că chiar şi o perceptie este o abstractizare sau reprezintă o abstracţie, cu excepţia cazului în chestiune nu are piese. Deci, devine dificil să se susţină că toate abstracţiile sunt ficţiuni.
6. De George Chrystal. (N. de CP)
7. A fost sind und die Zahlen sollen WS; Vorwort (1888). (N. de CP)
8. Dar ar fi corect să se presupună că fiecare cititor ştie. Există, desigur, seria divergente astfel extravagante care nu pot fi orice utilizare a acestora. Dar este normal ca pot fi folosite în nici un fel, deşi o serie de divergente este de la început, în cazurile în care aceleaşi informaţii care nu poate obţine prin alte mijloace mai confortabil. Motivul, sau motiv-pentru aceasta este că majoritatea din seria, chiar divergente abordarea într-un fel o serie geometrică, cel puţin pentru o succesiune considerabil de termeni. Log serie (1+ x) = x - 1/2x 2+ 1/3x 3 - 1/4x 4+ etc nu pot fi utilizate în mod rezonabil pentru a găsi logaritmul natural al 3, care este 1'0986, ca termenii eveniment ar fi 2 - 2+ 8 / 3-4+ 32 / 5 - 32 / 3+, etc Dar folosirea cazul uzual de a înlocui aceşti ultimi doi termeni care urmează să fie utilizate, M şi N, de exemplu, prin expresia M / (1 - N / M), succesiunea de primele şase valori este 0'667, 1'143, 1'128, 1'067, care prevede o anumită abordare de valoare. Media dintre cele două valori, care este ceea ce ar fi nici un calcul profesional (în cazul în care utilizează această serie) ar fi 1'098 nu, o aproximare rău. Mai mult decât atât, calculul ar putea folosi în practică seria log 3 = 1+ 1 / 12+ 1 / 80+ 1 / 448+ şi aşa mai departe., Termeni, folosite în mod corect, da valoarea corespunzătoare a patru locaţii.