Back to site
Since 2004, our University project has become the Internet's most widespread web hosting directory. Here we like to talk a lot about web development, networking and server security. It is, after all, our expertise. To make things better we've launched this science section with the free access to educational resources and important scientific material translated to different languages.

Introducere în analiza de suprafaţă oscilante

Source: http://www.aetheling.com/models/cusp/Intro.htm

Loren Cobb, PhD.

Aetheling Consultants
417 Eisenhower Drive, CO 80027 Louisville

Răspunsul vârf de suprafaţă model

O "suprafaţă oscilante" este un model de răspuns statistic suprafaţă, bazat pe modelul de vârf teoriei catastrofei. Probabil cel mai bun mod de a introduce Suprafata Analiza vârf este să-l compara cu regresie liniară multiplă. Ca şi în regresie, nu este o variabilă dependentă ( Y ) şi un număr arbitrar de variabile independente ( X 1, X 2, X 3, etc). Modelul de regresie liniară descrie o suprafaţă de răspuns foarte simplu, una care este plat în toate direcţiile:


Figura 1: suprafaţă plană de răspuns utilizate în regresia liniară multiplă.

Ecuaţia pentru modelul de regresie liniar, care descrie efectul variabilelor independente pe Y, arată astfel:

Y = b 0 + b 1 X 1 +... B + v X v + U.
Ecuaţia 1

În această ecuaţie variabilă aleatoare U se presupune a fi distribuit în mod normal cu medie zero. Astfel, suprafaţa de răspuns a Y este plat în toate direcţiile, şi panta de Y cu privire la X i este coeficientul liniar de regresie b i.

Modelul de regresie descrisă mai sus a v 2 grade de libertate (una pentru fiecare din coeficienţii de regresie liniară, plus unul pentru varianţa de U ). Pentru scopul nostru aici, acest model va fi denumit în continuare modelul liniar, ceea ce înseamnă că Y este o funcţie liniară de variabile independente X i. (Această utilizare a termenului "modelul liniar" diferă de utilizare statistice obişnuite, în ceea ce înseamnă că Y este o funcţie liniară a fiecăruia dintre parametrii ). Analiza suprafaţă vârf de fapt, incepe cu modelul liniar: primul pas este estimarea coeficienţilor regresiei liniare. Modelul liniar este standard, faţă de care modelul de catastrofa va fi comparat, astfel, este, din punct de vedere statistic, ipoteza nula.


Figura 2: Suprafata cuspida Canonical.

Modelul catastrofă culmea este o suprafaţă care conţine un răspuns încreţi buna, ca în figura 2. Pentru a obţine această sumă de flexibilitate, este necesar să se introducă 2v 2 grade suplimentare de libertate ale modelului. Acest lucru este realizat prin definirea trei "factori de control," fiecare un scalar-evaluate în funcţie de vectorul X = ( X 1,..., X v ) de variabile independente:

A ( X ) = A 0 + A 1 X 1 +... + O v X v
Ecuaţie 2.1
B ( X ) = B 0 + B 1 X 1 +... B + v X v
Ecuaţie 2.2
C ( X ) = C 0 + C 1 X 1 +... + C v X v
Ecuaţie 2.3

Aceşti factori determină valorile prezis de Y în acest sens: valorile de prezis Y dat X sunt valorile Y care satisfac această ecuaţie:
0 = A ( X ) + B ( X ) [ Y - C ( X )] - D [ Y - C ( X )] 3.
Ecuaţia 3

Această ecuaţie de predicţie este un polinom cubi în Y, ceea ce înseamnă că pentru fiecare valoare a lui X, există unul sau trei valori prognozate de Y, aşa cum se vede în figura 2.

Efectele individuale ale factorilor A şi B pe Y poate fi văzută în figurile 3a şi 3b. Pentru simplitate, se presupune că în aceste cifre C = 0 şi D = 1. Reţineţi că panourile în aceste cifre reprezintă felii tăiate vertical prin suprafaţa vârf canonice (Figura 2). Figura 3a exponate felii, care sunt paralele cu axa A din Figura 2, în timp ce feliile de descris în figura 3b sunt paralele cu axa B.


Figura 3a: Efectul A pe Y, cu B = (-5,0, -2,5, 0.0, 2.5, 5.0).

Efectele individuale ale factorilor A şi B sunt reprezentate în figurile 3a şi 3b ca în cazul în care acestea au fost independente, dar în funcţie de ipotezele modelului atât A şi B depind de X. Cu toate acestea, o discuţie detaliată a efectului fiecărei componente a X în Y trebuie să fie amânată până mai târziu.


Figura 3b: Efectul B pe Y, cu A = (-3,0, -1.5, 0.0, 1.5, 3.0).

Conform terminologiei utilizate în general în literatura de specialitate privind teoria catastrofei, A şi B sunt aşa-numitele "normală" şi "divizarea" factori, respectiv, (termenul de "normal" este folosit pur şi simplu pentru că acest factor este perpendiculară, adică normală, la împărţirea factor în reprezentarea canonică a spaţiului de control). Vă recomandăm evitarea această terminologie din două motive: (a) pentru a preveni confuzia cu distribuţia normală, şi (b) pentru a sublinia faptul că modelul statistic nu este la fel de flexibil ca modelul topologic. În această lucrare, A, B, şi C va fi numit de asimetrie, bifurcare, şi factorii de liniară, respectiv.

Cei familiarizaţi cu literatura de specialitate cu privire la cererile de teoriei catastrofei pot întreba despre C factorul linear şi D coeficientul în ecuaţia anterioară, deoarece acestea nu sunt de obicei observate la ecuatiile care definesc modelul canonic catastrofa oscilante. Ecuaţia obişnuită pentru suprafaţa cuspid canonice, care, în termeni de variabile noastre ar fi scris ca

0 = a + cu - y 3,
Ecuaţie 4

nu reprezintă relaţia dintre variabilele de control iniţial şi variabilă originale comportamentale, astfel cum acestea ar fi putut fi măsurat în laborator. În schimb, variabilele a, b,, şi y sunt derivate din originalele de către un anumit tip de transformare (cunoscut ca un diffeomorphism fibră de conservare). Această transformare neliniare lin şi invertibly reglează sistemul de coordonate, astfel încât forma de meciuri originale suprafaţă de răspuns Figura 2 în apropierea punctului de catastrofa cuspida (a = b = y = 0). În acest sens raportul original, care nu poate fi exprimat şi ca un polinom, la toate, devine un + de-y 3 = 0 în termeni de variabile transformat. Variabila y canonice este o funcţie atât de variabile comportamentale originală şi variabilele originale de control, în timp ce variabilele canonice de control a şi b sunt fiecare funcţiile la toate variabilele de control iniţial. Acest tip de dependenta functionala este reflectată în ecuaţia 2, cu restricţia că aceste funcţii sunt transformari afine, nu, diffeomorphisms. Aceasta este diferenţa principală dintre modelul statistic, care foloseşte Ecuaţia 3, şi modelul topologice. O altă diferenţă este aceea că modelul de vârf topologic prevede că v = 2, în timp ce modelul statistic locuri de nici o restricţie privind v.

Modelul catastrofă statistică definită de ecuaţia 3 poate fi văzută ca o generalizare a modelului de regresie (ecuaţia 1): cele doua modele coincid dacă (1) A = 0, (2) B = 1/Var [ U ], şi (3 ) D = 0. Atunci când aceste condiţii sunt îndeplinite coeficienţii C i C sunt aceleaşi ca şi coeficienţii b i de Ecuaţia 1. De fapt, acestea sunt valorile iniţiale utilizate de metoda de probabilitatea maximă atunci când începe sa iterative de căutare pentru cel mai bun montaj coeficienţii pentru modelul catastrofă.

Modelul statistice bazate pe ecuatia 3 este, la fel ca modelul de regresie descrise de Ecuaţia 1, un model static aleatoare. Este util să ne amintim că modelul catastrofă static este legat, într-adevăr şi de derivate de la, un model dinamic. (Deterministe) catastrofă dinamic model de vârf este descrisă de o ecuaţie diferenţială:

dy / dt = a (x) + b (x) [y (t) - c (x)] - d [y (t) - c (x)] 3.
Ecuaţie 5

În această formulare a, b, şi c sunt scalare-evaluate funcţii ale vectorului x, iar d este un scalar. Pentru fiecare valoare a lui X acestui sistem dinamic are unul sau trei echilibre. Acestea sunt valorile lui y pentru care dy / dt = 0. Astfel, echilibre de sistem dinamic corespund exact cu valorile prognozate ale sistemului static. Unul ar putea folosi teoria ecuatiilor stochastice diferenţa să obţină de la 5 Ecuaţie un model statistice adecvate pentru analiza neliniară serii de timp, dar că este un subiect de cercetare care este inadecvat aici (a se vedea Cobb & Zacks, 1988).Abordarea luăm aici, se presupune că o serie de timp nu este disponibil, şi că datele să ia forma unui esantion aleatoriu de statistic independente replica a sistemului, a observat la un moment unic în timp. Astfel, suntem în considerare cazul statice aleatoriu. Pentru a finaliza caietul de sarcini a modelului statistic, rămâne să se precizeze funcţia de densitate de probabilitate pentru variabile aleatoare în ecuaţia 3.

Estimarea parametrilor

Analiza de suprafaţă oscilante foloseşte metoda de probabilitatea maximă pentru a estima parametrii din Ecuaţii 2 şi 3. Valorile X se presupune a fi stabilită experimental sau măsurat fără erori. Condiţionată de densitate de probabilitate pentru funcţia Y dat X se presupune a fi densitatea tip N3 în tipologia dată în [Cobb, Koppstein, şi Chen, 1983]. Acest PDF are nici un mod sau două moduri separate printr-un antimode. Aceste moduri şi antimodes sunt tocmai soluţiile ecuaţiei 3. Prin urmare, previziunile făcute de către modelul de vârf sunt valorile modale ale densităţii condiţionată de Y dat X. antimode este un "antiprediction" - ". Nu sunt susceptibile de a fi văzut" o valoare care este identificat în mod specific ca

Diferenţele şi asemănările între regresie liniară şi analiză vârf de suprafaţă sunt în valoare de examinare atentă. PDF condiţionată de Y | X în regresia liniară este normal, adică de tip N1 (o exponenţială a unui pătratice), în timp ce PDF-condiţionată de Y | X în vârf de analiză de suprafaţă este de tip N3 (o exponenţială a unui quartic). Valorile prezis în regresie liniară sunt mijloacele de densitate condiţionate, care se întâmplă să fie, de asemenea, moduri, în timp ce în analiza de suprafaţă oscilante valorile prezis sunt moduri (şi densităţi sunt frecvent bimodale, obţinându-se două preziceri). În sfârşit, în regresie liniară formulele pentru varianţa de eşantionare a estimatorilor sunt cunoscute cu exactitate, în timp ce în analiza de suprafaţă oscilante formulele corespunzătoare sunt aproximative.

Figura 4a: PDF tip N3 pentru modelul catastrofă oscilante,
cu B = 4, C = 0, D = 1, şi A = (1, 0.5, 0, -. 5, -1).

Figura 4b: PDF tip N3 pentru modelul catastrofă oscilante,
cu A = 0, C = 0, D = 1, şi B = (-2, -1, 0, 1, 2).

Suprafata vârf program de analiză începe cu coeficienţii estimată de modelul de regresie liniară, şi iterează spre vectorul parametru care maximizează probabilitatea modelului oscilante, având în vedere datele observate. Sistemul iterativ este o modificare Newton-Raphson (NR) metoda.În cazul în care prima iteraţie foarte produce o scădere a funcţiei de verosimilitate, programul se opreşte imediat cu un mesaj care indică faptul că modelul liniar este de preferat pentru orice model de vârf (aceasta este un eveniment comun). După convergenţă de succes la un vector parametru care maximizează funcţia de probabilitatea, coeficienţii estimată a fiecărui factor sunt tipărite. Dacă 20 iteratii au fost efectuate fără convergenţă, programul afiseaza rezultatele din ultima repetare, dar aceste rezultate ar trebui să fie utilizate în scopuri de diagnosticare numai.

Efectul a lui A pe Y este aproape liniară atunci când B este negativ (ca în panoul din extrema stângă a 3a figura, de exemplu). Astfel, în cazul în care distribuţiile empirice condiţionată de Y | X sunt în mod clar unimodale există un grad mare de similitudine între efectele A şi C. Când se întâmplă acest lucru, estimatorii pentru coeficientii de aceşti factori pot fi corelată (acest lucru se produce în principal, în seturi de date conţinând observaţiile care foarte puţine în zona de bimodale). Cu alte cuvinte, încrederea în comun pentru regiunea perechi (A i, C i ) din aceşti coeficienţi estimate sunt foarte eliptice. A declarat într-un alt mod, atunci când se întâmplă acest lucru, înseamnă că A i poate fi crescut şi C i a scăzut, sau invers, cu un efect foarte mic asupra funcţiei de verosimilitate. Pentru a ajuta utilizatorul în diagnosticarea aceasta conditie, programul imprimă matrice de corelare estimat între estimatorii pentru aceşti coeficienţi. Corelatii mai mare decât aproximativ 0,9 indică faptul că aceste regiuni de încredere sunt foarte eliptice. Dacă se opreşte NR algoritmul înainte de convergenţă (care ar putea întâmpla, de exemplu, în cazul în care numărul de iteraţii ajunge la valoarea cutoff de 20), atunci această matrice nu poate fi estimată, şi va conţine numai zerouri.

Testarea modelului

Parametrul estimări raportate de program de analiză vârf de suprafaţă sunt utile pentru generarea de previziuni, aşa cum este descris în următoarea secţiune, dar valorile lor indica nimic despre semnificaţia statistică a acestora. Prin urmare, programul de rapoarte, de asemenea, o creştere de aproximativ t statistica pentru fiecare coeficient, cu N-3v-3 grade de libertate. Acestea pot fi interpretate în mod obişnuit: o magnitudine în exces faţă de valoarea critică indică faptul că coeficientul este semnificativ diferită de zero, la nivel de semnificaţie specificat (amintiţi-vă că aceste t-statistici sunt doar aproximative). Desigur, aceste statistici pot fi, de asemenea, interpretat greşit în modul obişnuit prea. De exemplu, este o greşeală să acorde atenţie la oricare dintre aceste valori cu excepţia cazului în modelul general a trecut toate testele sale de acceptabilitate. Ne întoarcem acum la aceste teste mai generale.

Nu există nici un singur test definitiv statistice de acceptabilitate a unui model de catastrofă. O parte din dificultate provine din faptul că un model de catastrofă oferă, în general, mai mult de o valoare a prezis pentru Y dat X. Acest lucru face dificil de a găsi o definiţie maleabil pentru eroarea de predicţie, fără de care toate măsurile de bunătatea-fit, care se bazează pe conceptul de eroare de predicţie (de exemplu, eroarea medie squared) sunt aproape inutile. O altă parte din dificultate rezultă din faptul că modelul statistic nu este liniară în parametrii săi. Şi, în sfârşit, desigur, aceasta este stiintific nesănătoase la bază vreo declaraţie definitive privind analiza a unui set unic de date, indiferent de ce statisticile arată sale. Confirmarea trebuie să fie întotdeauna căutate în replicarea independent a rezultatelor. În ciuda acestor dificultăţi şi limitări cu toate acestea, există o varietate de moduri în care un model de catastrofă pot fi testate prin mijloace statistice.

Analiza de suprafaţă vârf oferă trei teste separate, pentru a ajuta utilizatorul în evaluarea acceptabilitatea generală a modelului de vârf catastrofă. Pentru a confirma un model de vârf toate cele trei teste ar trebui să fie adoptată.

Primul test se bazează pe o comparaţie a riscului de model de vârf, cu probabilitatea de modelul liniar. Statistica de încercare este asimptotic chi-pătrat distribuite, ceea ce înseamnă că, în dimensiunea eşantionului creşte de distribuţie a statistica de încercare converge la distribuţia chi-pătrat. Grade de libertate pentru această statistică chi-pătrat este diferenţa în grade de libertate pentru cele două modele fiind comparat, de exemplu 2V +2. Valori suficient de mare din acest statistice indică faptul că modelul de vârf are un risc semnificativ mai mare decât modelul liniar.

Chiar daca primul test arată că ecuaţia 3 este superioară Ecuaţie 1, modelul corect nu poate fi încă catastrofă modelul de vârf. Acest lucru se poate întâmpla în cazul în care estimarea pentru D nu este semnificativ diferită de zero, care trebuie să fie pentru partea dreaptă a ecuaţiei 3 să fie un polinom cubi in Y. Dacă D au fost zero, ecuaţia de predicţie pentru Y -ar mai dori acest lucru:

Y = C ( X ) - A ( X ) / B ( X )

Aceasta poate fi o relatie interesanta, dar nu este în mod clar un model de catastrofa, din moment ce pentru fiecare valoare a lui X nu este tocmai o valoare de Y (cu excepţia cazului în B ( X ) = 0, caz în care Y este nedefinit). Al doilea test de adecvare a modelului vârf este, prin urmare, o comparaţie de D cu zero. După cum se dovedeşte, D trebuie să fie pozitiv pentru un PDF de tip N3 care urmează să fie definite la toate. Astfel, testul corespunzător este un unul-coada test t, calculat folosind eroarea aproximative standard de D. grade de libertate pentru acest test este mărimea eşantionului mai puţin de grade de libertate rămase ale modelului de vârf după D a fost stabilit la zero, adică N-3v-3.

Chiar dacă modelul trece atât a testelor precedente, se poate întâmpla ca coeficienţii numai a factorilor A şi B, care sunt semnificativ diferite de zero sunt A 0 şi B 0. Atunci când se întâmplă acest lucru este corect să spunem că PDF-ul Y este de tip într-adevăr, N3, dar că nu variabilele de control au fost constatate, care pot provoca această densitate pentru a comuta între bimodale şi unimodale. În acest caz, suprafaţa de răspuns este plat, iar coeficienţii de C determina panta acesteia. În cazul în care PDF-ul este bimodale, atunci există două suprafeţe paralele de răspuns.

În sfârşit, se poate întâmpla ca ambele teste de mai sus poate duce la rezultate pozitive pentru modelul de vârf, ceea ce înseamnă că polinomul cubi în ecuaţia 3 se potriveşte destul de bine, cel puţin într-un sens tehnic, dar nici una dintre valorile observate pentru X se află în bimodale zona! În acest caz, locul unde se află zona bimodale este cunoscut doar prin extrapolarea de la datele furnizate. Deoarece extrapolare este notorie irelevante, în activitatea statistică, este rezonabil să se impună ca unele observaţii de X se află în zona bimodale, în timp ce altele se află în afara. Pentru a ajuta utilizatorul în perceperea distribuţia estimată a datelor în planul calibrat prin asimetria şi de factorii de bifurcatie, suprafata oscilante program de analiză prezinta această distribuţie 2-dimensionale, cu zona de bimodale evidenţiat. Ca o regulă de degetul mare, este de dorit să aibă cel puţin 10% din observaţiile se încadrează în zona de bimodale. Aceasta constituie al treilea test.

Pentru a rezuma, catastrofa modelul de vârf poate fi spus pentru a descrie relaţia dintre o variabilă dependentă Y şi şi vector X de variabile independente în cazul în care toate aceste trei condiţii deţin:

  1. Testul chi-pătrat arată că probabilitatea a modelului vârf este semnificativ mai mare decât cea a modelului liniar.
  2. Coeficientul pentru termen cubi şi cel puţin unul dintre coeficienţii de asimetrie şi de factorii de bifurcare sunt semnificativ diferite de zero.
  3. Cel puţin 10% din punctele de date se încadrează în zona de bimodale a modelului estimat.

Efectuarea Predictii

În literatura de specialitate privind aplicaţiile teoriei catastrofei există două modalităţi distincte de calcularea valorilor prezis de la un model de catastrofă. În Convenţia de la Maxwell valoarea prezis este valoarea cel mai probabil, şi anume poziţia de cel mai înalt mod al funcţiei densităţii de probabilitate. În Convenţia de la un mod Delay este, de asemenea, valoarea de prezis, dar aceasta nu este neapărat cel mai înalt. În schimb, valoarea prezisa este modul care se află pe aceeaşi parte a antimode ca valoarea observată a variabilei de stare Y. Astfel, convenţia întârziere utilizările ca valoarea sa a prezis punctul de echilibru spre care sistem echivalent dinamic s-ar fi mutat. Aceasta este convenţie cel mai frecvent adoptate în aplicaţiile teoriei catastrofei, dar există situaţii în care convenţia Maxwell este corespunzătoare.

Suprafata vârf program de analiză calculează predicţiile făcute în cadrul fiecărei convenţii pentru fiecare origine, şi din aceste ea derivă o serie de statistici şi grafice pentru a ajuta utilizatorul în evaluarea calităţii predicţiile făcute sub fiecare convenţie, după cum urmează:

1 - (variaţia de eroare) / var [ Y ],
în care erorile sunt bazate pe previziuni de regula întârziere. Deşi este similară cu multiple-R 2 de analiză de regresie, există câteva diferenţe importante, care sunt discutate mai jos.

În regresie liniară multiplă estimările obţinute prin minimizarea erorii medie Predictii squared coincid cu cele obţinute prin maximizarea funcţiei de verosimilitate. În Analiza de suprafaţă cuspida acest lucru nu este cazul, şi, prin urmare, estimările maxime probabilitatea de a maximiza nici Delay-R 2, nici Maxwell-R 2. În plus, niciuna dintre aceste statistici este chiar guarranteed să fie pozitiv! Valorile negative apar atunci cand modelul de vârf se potriveşte atât de mizerabil ca variaţia de eroare mai mare, de fapt, variaţia de Y.

Utilizatorii programului de analiză vârf de suprafaţă sunt îndemnate să încerce analiza date aleatoare, de diferite tipuri pentru a afla mai multe despre cum funcţionează programul. Un astfel de exerciţiu, de exemplu, este de a crea un set de date care sunt uniform distribuite aproximativ un trend liniar. În acest caz, analiza ar trebui să randament pantele corect în factorul linear şi o constantă bifurcare pozitiv, indicând un model cu două linii paralele de predicţie. Experimentarea de acest fel va conduce, de asemenea, acasă, importanţa de a avea un eşantion suficient de mare.

Un experiment deosebit de interesant, cu program de analiză vârf de suprafaţă poate fi efectuată prin generarea de date care se încadrează exact pe suprafaţa cuspida canonice (adică exact care satisfac ecuatia 3, cu C = 0). Una ar putea crede că analiza ar trebui să reproducă coeficienţii corect cu nici o eroare, dar acest lucru nu este ceea ce se întâmplă. Amintiti-va ca numai 3 Ecuaţie descrie modelul determinist, şi face nicio declaraţie cu privire la distribuţia condiţionată a variabilei aleatoare Y. Pe de altă parte, metoda probabilitatea face ipoteza de asemenea, că această distribuţie condiţionată are o formă specifică, exemple de care sunt reprezentate în Figura 4. Observaţi că în figura 4a, de exemplu, înălţimea relativă a două moduri de modificări foarte rapid ca asimetria creşte factor. În cazul în care distribuţia condiţionată de Ydin setul de fabricat de date nu se comportă în mod similar, atunci programul de suprafaţă vârf nu vor renunţa la estimări corecte. De fapt, metoda de probabilitatea maximă va găsi coeficienţii care reproduce cel mai bine distribuţia empirică condiţionată de Y, deoarece aceasta este de aproximativ ceea ce înseamnă pentru a maximiza probabilitatea unui model.

Fiecare dintre variabilele componente ale X contribuie la fiecare dintre factorii A, B, şi C, precum şi efectul fiecărui factor pe Y depinde de valorile altor factori. Astfel, este greu de a vizualiza şi de a înţelege efectul a oricărei variabile date. Din acest motiv, suprafata vârf program de analiză afişează un grafic de efectul pe care fiecare dintre variabilele independente ar avea pe Y dacă orice alte variabile au fost stabilite la valoarea medie. Fiecare Graficul prezinta solutii pentru ecuatia polinomului cubi

0 = (A 0 + A i X i ) + (B 0 + B i X i ) [ Y - (C 0 + C i X i )] - D [ Y - (C 0 + C i X i )] 3

pentru un anumit i. Soluţiile sunt reprezentate grafic pentru | Y | <2,5 şi | X | <3.0, o regiune care include toate, dar o mica parte dintre valorile observate de X si Y. Astfel, chiar şi atunci când există trei soluţii grafic poate afişa numai unul sau doi, indicând faptul că alţii sunt mult în afara intervalului de valori observate frecvent.

Ca un exemplu de un astfel de grafic, Figura 5 prezintă modul în care C coeficientul în ecuaţia 6 poate afecta relaţia dintre X si Y.

0 = - X + 3 [ Y - C X ] - [ Y - C X ] 3.
Ecuaţie 6

Observaţi modul în care numărul şi amplasarea punctelor de catastrofe nu se poate schimba ca modificările C, chiar dacă Graficul în sine suferă deformare considerabile. Aceasta este o "fibre de conservare" transformare (aici transformarea este doar D -> Y -C X ).

Figura 5: Efectul de X pe Y în ecuaţia 4.2, pentru C = (-. 50, -. 25, 0.0, 0.25, 0.50).
Reţineţi că numărul şi amplasarea punctelor de catastrofa nu depinde C.

Programul Mesaje

Există mai multe condiţii care vor provoca Analiza vârf Suprafata program pentru a termina prematur. Dacă oricare din aceste condiţii apar atunci coeficienţii de tipărit nu trebuie să fie considerate corecte? ele sunt tipărite în scopuri de diagnosticare numai. În această secţiune diferitele condiţii anormale sunt descrise şi interpretate.

  1. Iteraţii oprit: coeficient cubi dispare. valoare de pornire a coeficientului pentru termenul cubi (D) este 0. În cazul în care primul (sau orice versiune ulterioară) iteraţie a căutare Newton-Raphson pentru coeficienţii optima randamentele o valoare negativă pentru D, apoi se opreşte programul cu acest mesaj deoarece D <0 este incompatibilă cu modelul stocastice. Concluzia am trage de la această condiţie este ca modelul liniar este corect.
  2. Iteraţii oprit: det (Hesse) este negativă. Matricea Hessian este matricea derivatelor două parţiale a funcţiei log-probabilitatea cu privire la parametrii modelului. În cazul în care estimarea parametru actual este aproape de un maxim local sau minim al funcţiei log-probabilitatea, determinant al Hesse va fi pozitiv. În cazul în care determinant este negativ forma funcţiei în vecinătatea estimarea parametrului actual seamănă cu o şa. Acest lucru indică faptul că metoda Newton-Raphson este foarte puţin probabil de a realiza convergenţa. Această condiţie pare să apară la metoda de estimare nu poate distinge cu uşurinţă între un model liniar, cu o N1 (normal) sau un N3 funcţie de densitate de probabilitate. În ambele cazuri există bimodality puţin sau deloc în date, astfel încât modelul de vârf nu oferă nimic special. Concluzia am trage de la această condiţie este ca modelul liniar este corect.
  3. Iteraţii oprit: probabilitatea nu este în creştere. Unele patologie, eventual numeric, afectează metoda Newton-Raphson. Nr concluzie poate fi credibil trase de la această condiţie, alta decât faptul că metoda nu a reuşit. Modelul vârf s-ar putea sau nu s-ar potrivi.
  4. Iteraţii oprit dupa 20 cu nr de convergenţă. Metoda Newton-Raphson nu a reuşit să conveargă după un număr rezonabil de iteraţii. Nr concluzie poate fi credibil trase de la această condiţie, alta decât faptul că metoda nu a reuşit. Modelul vârf s-ar putea sau nu s-ar potrivi.

Un Exemplu

Documentul de mai jos prezintă o mostră de program de analiză vârf de suprafaţă. Alte exemple pot fi găsite în Stewart & Peregoy (1983). Acest fişier este în format PDF, care necesită Adobe Acrobat Reader pentru a vizualiza.

Sample.pdf

Bibliografie

Cobb, L., Koppstein, P., şi Chen, NH, "Estimarea şi relaţii recursivitate momentul pentru distribuţiile multimodal exponenţială." Jurnalul Asociatiei Americane de Statistică, 78, 124-130, 1983.

Cobb, L., "Teoria Catastrofa statistice." În Enciclopedia de Ştiinţe statistic, Vol.. 8. Editat de către NL Johnson si S. Kotz. New York: Wiley-Interscience, 1988.

Cobb, L. şi Zacks, S., "Aplicatii ale teoriei catastrofei pentru modelarea statistica in stiintele biologice." Jurnalul Asociatiei Americane de Statistică, 80, 793-802, 1985.

Cobb, L. şi Zacks, S., "neliniare analiza seriilor de timp pentru sisteme dinamice de tip catastrofă." În Time Series neliniare şi procesarea semnalelor. Editat de către R. Mohler. New York: Springer-Verlag, 1988.

Stewart, IN, şi Peregoy, P., "modelarea teoriei catastrofei este psihologia." Psychological Bulletin, 94, 336-362.

Published (Last edited): 29-11-2012 , source: http://www.aetheling.com/models/cusp/Intro.htm