Unele aplicaţii combinatoriale de curbe spacefilling
Source: http://www2.isye.gatech.edu/~jjb/mow/mow.html
Autor: John J. Bartholdi, III
O curba spacefilling este o aplicaţie continuă dintr-un spatiu mai mic-dimensional într-unul mai mare-dimensional. O curba celebru spacefilling este că, din cauza Sierpinski, care este format în mod repetat de copiere şi scădere un model simplu (tur complicat în figura 1).
O proprietate utilă a unei curbe spacefilling este faptul că tinde să viziteze toate punctele într-o regiune după ce a intrat în această regiune. Astfel, punctele care sunt apropiate în planul va tinde să fie apropiate în aparenţă de-a lungul curbei.
Aceasta constituie baza euristice, inventat de L. Platzman şi pe mine, pentru a produce un tur rezonabil de scurt n anumite locuri (Tour comis-voiajor aşa-numita Călătoriţi lui): Pur şi simplu le vizita în aceeaşi ordine ca nu curba spacefilling. De exemplu, un scurt tur de puncte marcate în citire este indicată de liniile verde, care leaga puncte în aceeaşi ordine ca apariţia lor pe curba spacefilling.
Euristică Curba spacefilling (SFC), are multe avantaje, dacă sunt dispuşi să accepte soluţii care sunt de aproximativ 25% mai mult decat optime (de aşteptat, pentru seturi punct aleatoriu). Aceste avantaje includ:
- Algoritmul SFC este rapid: Numai O (n log n), efortul de a construi un tur de n puncte şi numai O (log n), efortul de a actualiza soluţia prin adăugarea sau eliminarea de puncte.
- Euristică SFC nu are nevoie de distantele dintre punctele de explicite şi aşa nu este nevoie de a calcula sau măsura aceste, ca cele mai multe alte euristica trebuie.
- Algoritmul este parallelizable. (În comparaţie, algoritmul comparabile, cel mai apropiat vecin, este aparent nu parallelizable.)
- Durata de link-uri în turul SFC de puncte aleatorii este de aşteptat să fie mici şi de varianţă mici, astfel încât (1 / K)-lea a contului se opreşte pentru aproximativ (1 / K)-lea din timpul de călătorie. Aceasta înseamnă că un tur SFC poate fi uşor transformate în excursii pentru k vehiculele pur şi simplu prin compartimentarea cale SFC în k segmente.
Euristic curba spacefilling a fost folosit în multe aplicaţii, inclusiv:
- Pentru a construi un sistem de dirijare pentru mese-on-role în Fulton County (Atlanta, GA), care oferă sute de mese de zi cu zi a acestor. Prea bolnavi sau vechi la magazin pentru ei înşişi Am construit acest lucru din două fişiere carte Rolodex.
- Pentru traseul de livrare de sânge a Crucii Rosii americane în spitalele din zona metropolitană Atlanta.
- Pentru a viza un laser spaţiale pentru Iniative Strategice a Apărării (cunoscut sub numele de "Star Wars", program). Această cerere a fost comunicată de către oamenii de ştiinţă de la noi Systems TRW, un contractant SDI, care a ales euristice curba spacefilling peste alternative pentru ca a fost bine analizat, parallelizable, şi ar putea rula pe un computer care a fost boostable pe orbita.
- Pentru a controla un stilou-plotter pentru elaborarea de hărţi. (M. Iri şi co-lucrătorilor de la Universitatea din Tokyo, a arătat modul în care aceasta ar putea fi utilizate pentru a reduce timpul de desen pentru hărţile rutiere mari de rutare pen-ul eficient. Ei au dat un exemplu în care timpul de desen a fost redus de la zece ore la o jumătate de o oră.)
Ideea de rutare de spacefilling curba a fost ulterior inclus în sistemul ARC / Info informaţii geografice, CAPS Logistica Toolkit de sisteme de Baan, şi a altor sisteme comerciale de gestionare 2-dimensionale de date.
Un rezumat al ideilor, minus detaliile tehnice, dar cu indicatori la literatura de specialitate tehnice, pot fi găsite în clasa mea note Un sistem de dirijare bazat pe spacefilling curbe [format pdf, 22 pagini]. Pentru a însoţi această este un tabel de indici Sierpinski a punctelor de o grila de 100 x 100 [format pdf, 22 pagini], cu care aveţi posibilitatea să configuraţi propriul sistem de rutare într-o după-amiază. Detalii tehnice despre performanţa algoritmului, impreuna cu citatele la lucrările conexe, pot fi găsite în "curbe Spacefilling şi problema plan comis-voiajor", cu LK Platzman, în Jurnalul Oficial al Asociatiei pentru Tehnica de calculare 36 (4):719-737 (1989).
Figura 2: Un tur de TSP 15112 orase din Germania. Acest tur a fost indusă de curba Sierpinski spacefilling în mai puţin de o secundă şi este de aproximativ 1 / 3 din nou, atâta timp cât mai scurt posibil.
"Calculul a fost efectuat pe o reţea de 110 procesoare situate la Rice University şi de la Princeton University timp de calculator totală utilizată în calcul a fost 22.6 ani, scalate la un Compaq Alpha EV6 procesor care rulează la 500 MHz.. Turul optimă are o lungime 1573084 în unităţile folosite în TSPLIB, acest lucru se traduce într-o călătorie de aproximativ 66000 km prin Germania ".
Pentru comparaţie, Pavel a folosit Goldsman euristice curba spacefilling pentru a rezolva aceeaşi instanţă. Soluţia noastră a fost de aproximativ 34% mai mult (Figura 2). La un îndelete 600 km de călătorie pe zi, acest lucru înseamnă că timpul de conducere total ar fi de aproximativ 147 zile fata de 110 zile. Dar de calcul noastre au luat mai puţin de o secundă pe un laptop ieftin. Deci, aici este compromisul: Folositi euristică noastre şi veţi obţine un traseu imediat, dar trebuie să vă de călătorie pentru o lună suplimentară. Alternativ, configuraţi o reţea de 110 procesoare şi a petrecut două luni pentru a calcula cea mai scurtă rută - pentru a salva o lună de conducere.
Bill Nulty, Paul Goldsman, şi am extins unele dintre aceste idei în mai multe direcţii:
- "Cauta robustă multidimensionale cu Spacefilling Curbe" de J. Bartholdi şi Nulty W., Proceedings of the Simpozionului internaţional cu privire la a şasea de manipulare de date spaţiale, Edinburgh, Scotia, septembrie 1994.
- Indexarea continuă a subdiviziunilor ierarhice ale globului de către J. Bartholdi şi Goldsman P. (2000). Acest lucru a apărut într-o formă uşor revizuite în Int. J. Information Science geografica 15 (6):489-522 (2001).
- Vertex-etichetare algoritmi pentru curba Hilbert spacefilling de J. Bartholdi şi Goldsman P. (2000). Acest lucru a apărut într-o formă uşor revizuite în Software - practici şi de experienţă 31:395-408 (2000).
Figura 3: Toate punctele de o reţea neregulate triangulat pot fi indexate în mod continuu de către găsirea unei căi Hamiltonianului sau circuitul de triunghiuri şi umplere, fiecare cu o curba corespunzător orientate spre spacefilling.