Tendinţe actuale în ştiinţă

Tendinţe actuale în ştiinţă

platină jubileu speciale

Geometria algebrica în India

MS Narasimhan

Departamentul de Matematica, Institutul Indian de Ştiinţă, Bangalore 560 012, India

şi

Centrul TIFR pentru Matematică aplicabile, PB Nr 6503, Sharda Nagar, Bangalore 560 065, India

e-mail: narasim@math.tifrbng.res.in

1. Introducere

Acest articol va fi, în principal în cauză cu dezvoltarea de geometrie algebrică, în India, în a doua jumătate a secolului al XX-lea.

Geometria algebrica este un domeniu central al matematicii, cu legături foarte strânse cu alte domenii importante cum ar fi teoria numerelor şi analiză complexă, şi, de asemenea, cu fizica matematica. Pe parcursul perioadei luate în considerare fac obiectul a fost revoluţionată prin introducerea de noi concepte şi tehnici de Grothendieck şi altele; acest progres a fost un rol esenţial în rezolvarea problemelor restante şi celebru nu doar in geometria algebrica, ci şi în domenii conexe cum ar fi teoria numerelor.

Matematicienii din India au adus contributii influente şi extinse la geometria algebrica, prin iniţierea de noi domenii, oferind descoperiri importante în curs de dezvoltare şi tehnici utile. În scopul de a da o idee despre domeniul de aplicare şi profunzimea contribuţiilor din India, voi descrie în principal, unor lucrări în cadrul a patru teme cu care eu sunt familiar: problema modulele de legături vector (şi legate de teoria geometrică invariant), lucrările de CP Ramanujam, Frobenius divizat soiurile şi cicluri algebrice.

Matematicienii indieni au fost introduse în 1950 pentru a geometriei algebrice moderne prin prelegeri la TIFR de Laurent Schwartz pe varietăţi complexe analitice, precum şi prin lucrările de Kodaira, Spencer şi Serre.

2. Pachete Vector şi moduli

Ca răspuns la o întrebare de Serre, dacă fiecare pachet vectorial pe spatiul afin este trivial (echivalent, indiferent dacă fiecare modul proiectiv peste un inel polinom peste un câmp este gratuită), CS Seshadri s-au dovedit în 1958 că fascicule vector pe plan afin sunt triviale. Cazul general, a fost decontată de către D Quillen şi Suslin AA aproximativ 15 ani mai târziu, nu la mult timp după MP Murthy şi J Towber soluţionat cazul tridimensional.

În 1965, MS Narasimhan şi Seshadri s-au dovedit fundamentale privind rezultatul fascicule stabile vector pe o suprafaţă compactă Riemann la reprezentări unitare a grupului (orbifold) fundamentale ale suprafeţei. Acest rezultat a sărbătorit şi influent a servit ca model pentru o mare cantitate de literatură conectare geometria algebrica, geometrie diferentiala si topologie şi a fost generalizat în direcţii diferite. Seshadri (care a construit mai devreme varietate Picard de o varietate complet şi s-au dovedit de proprietate universală a acesteia), construit, de asemenea, spaţiile de moduli de fascicule vectoriale pe curbe. De asemenea, el a introdus şi studiat noţiunea de pachete parabolice.

Pornind de la anilor şaizeci, Narasimhan şi S Ramanan a întreprins un studiu detaliat şi profundă a spaţiului modulele de fascicule vectoriale pe curbe. Acest lucru (care a relevat, de asemenea, conexiuni surprinzătoare între geometria algebrică clasică şi modulele de fascicule de vector pe curbe) au atras o mare atenţie din matematicieni şi fizicieni. Ei au introdus noţiunea de corespondenţă între spaţiile Hecke moduli de fascicule vector şi acest lucru a deveni un instrument de bază în studiul de aceste spaţii. Prin intermediul corespondenţei Hecke, au construit un desingularisation explicită a spaţiului modulelor de fascicule vector de rangul 2 cu determinantul trivială şi a demonstrat că numărul de parametri deformare a spaţiului moduli (cu determinant fixe) este aceeaşi ca cea a curbei, atunci când rangul şi gradul de pachet sunt coprime.

G Harder şi Narasimhan utilizate ipoteze Weil pentru a calcula numerele Betti a acestor spaţii. În această lucrare a fost introdus ceea ce este acum cunoscut sub numele de filtration.This Harder-Narasimhan filtrare şi analogii ei s-au dovedit a fi extrem de util în mai multe contexte algebrice de geometrie şi aritmetică, şi mai recent, în algebra comutativa.

Seshadri a lucrat, de asemenea, asupra teoriei geometrice invariante, iniţial motivat prin conectarea acestuia cu probleme de moduli. Folosind tehnici de nivel mondial geometrice, el a demonstrat conjectura lui Mumford (ca o reprezentare liniară a unui grup reductiv este geometric reductiv), în cazul 'stabilă = semi-stabil ". În această lucrare el a dovedit, de asemenea, un criteriu foarte util pentru amploarea un pachet linie, acum cunoscut sub numele de criteriul Seshadri lui, duce la literatura de specialitate recente cu privire la "constante Seshadri". Presupunere Mumford a fost dovedit de către W Haboush; recent Seshadri a dat o dovadă de această teoremă geometrică.

Ramanan şi A Ramanathan făcut un studiu incisiv dintre steagurile de instabilitate care apar în teoria geometrică invariante. Ei au folosit aceasta pentru a da o dovadă algebrică a semistability de fascicule obţinut din pachetele semistable prin extinderea grupurilor de structură în zero, caracteristic. În cazul în care caracteristică a câmpului este pozitiv, metoda lor permite să analizeze semistability de pachet extins.

Tema generală a fascicule vectoriale pe curbe joacă un rol important în activitatea de Lafforgue L pe conjectura Langlands pentru câmpurile funcţia şi activitatea de G Laumon şi Ngo pe BC "lema fundamentale".

Muncă de pionierat la TIFR pe teoria moduli a fost urmată în mai multe direcţii de un număr de tineri matematicieni. Ramanathan a iniţiat studiul de fascicule principal pe curbe. Într-o serie de lucrări motivate de fizica teoretica, J Drezet, TR Ramadas, Ramanathan şi S Kumar (împreună cu Narasimhan) a facut un studiu detaliat de fascicule linie şi a sistemelor liniare cu privire la aceste spaţii moduli. Bhosle studiat spaţiile moduli de fascicule pe curbe hyperelliptic, şi curbe cu singularitati. N Nitsure construit spaţiul modulele de fascicule Higgs pe curbe ca o varietate algebrică şi a demonstrat că harta Hitchin este corectă, el a studiat, de asemenea, spaţiile de moduli D-module.

Într-o altă direcţie, VB Mehta şi Ramanathan s-au dovedit teorema restricţie foarte util pentru pachete semistable.

3. Lucru din PC Ramanujam

Un rezultat important al Ramanujam, obţinut în 1972, este teorema lui dispare: Dacă X este suprafata neteda proiectiv (peste C) şi alinebundle L pe X, care este FEN şi mare; atunci H ^L (X, L ^-1 ) = 0 pentru i = 2. ("nef'means (L • C ) este non-negativ pentru toate curbele conţinute în X, şi "mare" înseamnă că numărul de auto-intersecţie (L • L) este strict pozitiv).

Acest rezultat a fost generalizat la dimensiuni mai mari de Y Kawamata şi Viehweg E şi joacă un rol foarte important în geometria de soiuri de dimensionale superioare, în cazul în care acesta este unul dintre instrumentele importante utilizate în programul de modelul minimal.

Un alt celebru teoremă a Ramanujam oferă o caracterizare topologică a planului de afine ca un soi algebrică: Fie X o suprafaţă netedă complex de afine, care este contractibil şi este pur şi simplu conectat la infinit; atunci X este izomorf cu planul de complex ca un soi algebrică.

4. Frobenius divizare

Fie X o varietate de peste un câmp algebric închis de caracteristice pozitive şi F endomorphism Frobenius de X. În cazul în care harta canonică de fascicole

Ox - F*Ox

este o incluziune împărţită, spunem că X este împărţit Frobenius. Această noţiune a fost introdusă de către Mehta şi Ramanathan în 1985. Motivul pentru importanţa sa este că, dacă X este împărţit Frobenius şi L este un pachet amplu pe X, atunci toate cohomologies mai mare de L pe X sa dispara. Mehta şi Ramanathan a demonstrat că G / P în cazul în care, G este semi-simplu si P este un subgrup parabolica, este divizat Frobenius (ca, de asemenea, toate soiurile Schubert în G / P) şi folosite pentru a demonstra teoreme această dispariţie pentru fascicule de linie privind soiurile de pavilion şi rezultate pe sistemele liniare cu privire la aceste soiuri în caracteristice pozitive. Ramanan Ramanathan şi s-au dovedit că soiurile Schubert sunt aritmetic normale.

5. Abeliene soiuri

Ramanan studiat amploarea foarte amplu de fascicule pe suprafete abeliene cu aplicatii la pachet Horrocks-Mumford. Nori Narasimhan şi s-au dovedit că există doar finit multe curbe netede proiectiv având un anumit soi abeliene cum Jacobian, arătând că numărul de orbitele grupului automorfisme de un soi abeliene pe set de polarizare principal este finit.

MV Nori a arătat că grupul Griffiths (de cicluri de homologically banale algebrice modulo algebrice echivalenţei) a unei Jacobian generic de dimensiune> 3 nu este finit generat. Tehnica lui, de a folosi operatorii Hecke pentru a construi noi cicluri a fost utilizată de multe altele pentru a da alte exemple de generare infinit.

Într-o direcţie diferită, Mehta şi V Srinivas a arătat că, în caracteristici pozitive, un soi ordinare cu o tangenta banal pachet are un grad finită care acoperă spaţiul care este un obişnuit soi abelian.

6. Cicluri algebrice

Au fost contribuţii interesant indian la teoria ciclurilor algebrice. Rezultatul Nori pe grupe de Griffiths a fost menţionat anterior. De lucru al Murthy, N Kumar Mohan, şi mai târziu SM Bhatwadekar, geometrie legate de afine la ciclurile algebrice. KH Paranjape calculat grupuri Chow a intersecţiilor generală completă a multidegree scăzut. Srinivas si colaboratorii sai au studiat cicluri pe soiuri singular într-un mod sistematic.

7. Alte subiecte

Aici vom discuta pe scurt câteva alte subiecte, reprezentand locul de muncă în care geometria algebrica nu a fost luată în considerare în secţiunile anterioare.

O serie de lucrari importante, prin Seshadri în colaborare cu V Lakshmibai, Musili C, şi alţii, este teoria monomials standard, care a început cu un obiectiv de a oferi caracteristice fără descrieri de inele de coordonate omogene de spaţii omogene pentru grupuri clasice, şi în cele din urmă a devenit o tehnică importantă în teoria reprezentare.

Matematicieni mai multe indiene au făcut, de asemenea, contribuţii fundamentale în domeniul geometriei algebrice afine, inspirat de teorema lui Ramanujam caracterizează planul complex afine, pe de o parte, şi de lucrarea timpurie a lui Seshadri pe problema Serre, pe de altă parte. Aceasta include activitatea de Murthy, Mohan Kumar, Nori, R Parimala, Bhatwadekar, RV Gurjar, AR Shastry şi multe altele. Subiectele luate în considerare includ studiul de topologia lor, precum şi lor algebro-geometrice aspecte, cum ar fi încorporarea întrebări, proprietatea intersecţie completă, definirea ecuaţii, şi studiu legat de fascicule vectoriale (proiecţie-tive module), eventual dotat cu structuri suplimentare. Unele din acest suprapune cu teoria Lie şi grupuri algebrice, care este discutat într-un alt articol. Un rezultat influent amintim aici este o dovadă Nori de o generalizare mai mare parte a conjectura Zariski cu privire la grup fundamental de a completa o curbă nodale în plan proiectiv.