Koub senp ak sifas
Source: http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/geometry/simple.html
Nou te wè koub yo pi senp (liy) ak sifas (plan) nan paj anvan-an. Pwochen liy ak avyon, gen konik ak sifas ki kwadrik. Malgre ke konik ak sifas ki gen kwadrik te alantou pou sou 2000 an, yo toujou rete objè yo ki pi popilè nan anpil konsepsyon òdinatè asiste ak sistèm modèl. Nou pral diskite sou konik, kwadrik sifas ak Tori sou paj sa a sèlman. Konsilte kalkil ou ak / oswa liv jeyometri ta dwe pran anpil itil. Liv lineyè aljèb ou ta dwe tou kouvri kèk nan sijè sa yo ak yon apwòch modèn.
Chif sa yo ki montre ou twa diferan fason pou koupe Yon kòn ak yon plan. Seksyon sa konik, de goch a dwat, se yon elips, yon ipèbòl ak yon parabòl.
Koub
Ti sèk
Pi senp ki pa lineyè koub la se enkontèstableman sèk la. Yon sèk ki gen sant (A, B) ak reyon r gen yon ekwasyon jan sa a:(x - yon) 2+ (x - b) 2 = r 2Si sant la se orijin la, se ekwasyon ki anwo a te senplifye
x 2+ y 2 = r 2Ekwasyon ki anwo a yo ap refere yo kòm enplisit fòm la nan sèk la. Fòm lan paramètrik yon sèk se
x = R kosinis (T) y = R peche (T)Sa a se fòm nan paramètrik yon sèk ki gen sant se pa orijin nan:
x = yon+ R kosinis (T) y = b+ r peche (T)Fòm ki anwo la a paramètrik itilize fonksyon trigonometrik. Nou pral diskite sou yon fòm paramètrik yon sèk san fonksyon trigonometrik pita.
Konik nan fòm nòmal
Yon jeneralizasyon dirèk nan sèk la se sa yo rele koub yo konik oswa tou senpleman konik. Moun peyi Lagrès te konnen osijè de konik trè byen. An reyalite, Apollonius nan lavil Pèj (262 - 200 BC) te ekri yon liv de komèsan plizyè sou konik. Konik yo koub yo entèseksyon nan yon plan ak yon kòn sikilè (sètadi, yon kòn ki gen baz se yon ti sèk, epi ki gen aks se pèpandikilè ak baz la ak nan sant la nan sèk la baz).Gen twa kalite moun ki pa bonjan konik: elips, ipèrbol ak parabol. Elips ak ipèrbol yo rele santral konik paske yo gen yon sant simetri, pandan y ap parabol yo ki pa-santral.
Fòm nan nòmal la nan yon elips se ekwasyon swivan an, enplisit:
Aks yo nan sa a elips yo se x yo - epi y -aks, yon ak B yo se longè yo aks, ak yon nan pi gwo pati nan yon ak B se gran aks la pandan y ap pi piti a se yon sèl aks la minè. Li pa difisil wè ke yon elips nan fòm sa a gen fòm ki anba la a paramètrik:
x = yon kosinis (T) y = b peche (T)
Fòm nòmal nan yon ipèbòl se ekwasyon swivan an, enplisit:
Definisyon an nan aks pi gwo ak aks minè yo ki idantik ak sa yo ki an elips. X -aks la entèsekte koub la nan de pwen (yon, 0) ak (- yon, 0) ak, y aks- a pa entèsekte koub la nan tout. Yon fòm posib paramètrik nan pi wo a ipèbòl la se sa ki annapre yo:
x = yon segonn (T) y = b tan (T)
Sant lan nan yon elips ak ipèbòl, nan fòm nòmal, se orijin kowòdone a ak koub la se simetrik sou sant li yo ak rach li yo.
Fòm nòmal nan yon parabòl se ekwasyon swivan an, enplisit:
Nan fòm sa a nòmal, pou nenpòt ki pwen (x, y) sou yon parabòl, valè y dwe pozitif ak ouvèti sa a parabòl se monte. Aks la parabòl sa a se y aks- a. Li se entèseksyon sonje ke fòm nan nòmal nan yon parabòl se deja yon fòm paramètrik. Oswa, si ou vle, ou kapab ekri l 'nan sa ki annapre yo:
x = T
y = T 2 / (4 P)
Konik nan Fòm Jeneral
Konik yo se degre de koub paske fòm ki pi jeneral yo se ki anba la a degre de enplisit polinomyal:
Nan polinòm ki anwo a, Koefisyan yo nan XY, x ak y se 2 B, 2, D ak 2 E, respektivman. Sa a polinòm gen sis Koefisyan, sepandan, divize l ak yon koyefisyan ki pa zewo ta redwi sis a senk. Kidonk, an jeneral, senk kondisyon ka inikman detèmine yon konik. Nan aljèb lineyè, ou petèt te aprann fason an diminye polinòm ki pi wo a nan yon fòm nòmal lè l sèvi avèk eigenvalues ak eigenvectors.
Souvan, nou sèlman vle konnen ki tip koub yon polinòm jeneral dezyèm degre. Nan ka sa a, toutotan ekwasyon an dezyèm degre reprezante yon konik olye de entèseksyon oswa liy paralèl, li kapab fasilman pou fè l 'jan sa a:
- Si B 2 < Yon * C, ekwasyon jeneral la reprezante yon elips.
- SI B 2 = Yon * C, ekwasyon jeneral la reprezante yon parabòl.
- Si B 2 > Yon * C, ekwasyon jeneral la reprezante yon ipèbòl.
Konik nan Fòm Matris
Youn nan bagay bèl nan konik se ki ka fòm jeneral li dwe reekri konpakt lè l sèvi avèk matris. Premye, chak pwen x = (x, y) ap konsidere kòm yon vektè kolòn ki gen twazyèm eleman se 1 yo e pakonsekan tradwir la se yon vektè ranje, ekri tankou x T = [x, y, 1]. Apre sa, Koefisyan yo sis nan polinòm la an jeneral dezyèm degre yo itilize konstwi yon twa-pa-twa simetrik matris jan sa a:
Se pa difisil a verifye ke polinòm la an jeneral dezyèm degre vin
Kounye a ki sa w te aprann ki soti nan aljèb lineyè kapab aplike a fòm sa a matris.
Sifas
Sifas ki kwadrik nan fòm nòmal
Sifas kwadrik, oswa kwadrik pou kout, konpoze de kalite sa yo diferan: ellipsoids, hyperboloids nan yon sèl fèy, hyperboloids de dra, paraboloids elliptic, ak paraboloids ipèrboloid. Sa yo se fòm nòmal yo nan fòm enplisit ak fòm yo:| Elipsoid |  |
 |
| Ipèrboloid nan Youn nan Fèy |  |
 |
| Ipèrboloid de Dra |  |
 |
| Elliptic paraboloid |  |
 |
| Hyperbolic paraboloid |  |
 |
Sa yo senk sifas kwadrik yo nòmalman refere yo kòm klase kat kwadrik. Gen de kalite nan twa ran kwadrik: kòn ak silend. Silend gen twa subtypes: silend elliptic, silend Hyperbolic ak silend parabolik menm jan yo montre anba a:
| Kòn |  |
 |
| Elliptic Cylinder |  |
 |
| Hyperbolic Cylinder |  |
 |
| Parabolik Cylinder |  |
 |
Sifas ki kwadrik nan Fòm Jeneral
Fòm la an jeneral nan sifas kwadrik se sa ki annapre yo:
Li te gen dis Koefisyan, men, kòm mansyone nan diskisyon an nan konik, divize ekwasyon an ak youn nan ki pa-zewo Koefisyan li yo redui kantite moun ki Koefisyan a nèf. Tanpri konnen byen eksepte pou Koefisyan yo pou x 2, y 2 ak Z 2 ak tèm nan konstan, tout Koefisyan gen yon miltiplikatè nan 2.
Ou ta ka vle poze yon kesyon: Eske li posib pou devlope yon algorithm pou klase kwadrik yo jis tankou nou te fè sa pou konik? Plis jisteman, si yon jeneral dezyèm polinòm degre bay yo, nou ta ka di kalite li (sètadi, elipsoid, ipèrboloid nan yon sèl fèy, elliptic paraboloid, elatriye) pa senpleman gade nan Koefisyan yo? Repons lan se toujou yon "wi", men algorithm nan kalkil se byen konplèks. Se konsa, mwen ta pito sote sa a algoritm. Sepandan, ou ka toujou itilize eigenvalues ak eigenvectors yo rezoud pwoblèm sa a.
Sifas ki kwadrik nan Fòm Matris
Ka ekwasyon an nan yon jeneral kwadrik tou dwe mete nan fòm matris:
kote (x, y, z) se kowòdone a nan yon pwen. Fòm sa a tradui polinòm la an jeneral dezyèm nan yon kwadrik nan fòm nan matris sa yo:
Note ke li se egzakteman ki idantik ak sa yo ki an yon konik. Se poutèt sa, matris ede pote konik ak kwadrik nan yon fòm ki idantik.
Apre konnen fòm nan matris nan kwadrik, nou ap kapab diskite sou siyifikasyon an nan ran kat ak ran twa kwadrik. Konsidere simetrik matris K a ki gen Koefisyan yo nan yon polinòm jeneral dezyèm degre. Ran an pou yon matris se nimewo a ki pa-zewo eigenvalues. Kidonk, ran kat kwadrik moun sa yo ki kwadrik ki gen matris K yo nan ran kat. Li se fasil a wè (ki soti nan fòm nòmal yo) ki ellipsoids, hyperboloids ak paraboloids yo ran kat kwadrik, ak kòn ak silend yo ran twa kwadrik. Si yon jeneral faktè dezyèm polinòm degre nan pwodwi de degre yon polinòm distenk (sètadi, avyon), K ap gen ran de.
Tori nan Fòm Nòmal
Ka Yon torus ap pwodwi pa wotasyon yon sèk, minè sèk la, sou yon liy, aks a wotasyon oswa aks wotasyon. Ti sèk ki gen sant Botwe li a sou yon lòt sèk, gwo sèk la. Reyon yo ki gen ti sèk yo pi gwo ak minè refere yo kòm reyon an gwo ak reyon minè, deziye pa R ak r, respektivman.Si aks wotasyon a se Z aks- la ak ti sèk ki pi gwo manti sou XY avyon an -, ekwasyon an torus a te pwodwi se sa ki annapre yo:
Si R pi gran pase R, rezilta a se yon torus souvan wè jan yo montre nan mitan figi a yo.
SI R ki egal a r, lè sa a tout ti sèk k ap deplase yo tanjant aks wotasyon a nan orijin nan kowòdone jan yo montre nan figi dwat la. Si R gen mwens pase R, tout ti sèk deplase kwaze aks wotasyon a nan de pwen distenk ak torus a te pwodwi pral gen yon oliv tankou fòm nan enteryè a nan torus la jan yo montre nan figi a gòch.