Platonician tilings de Riemann suprafeţelor

Source: http://westy31.home.xs4all.nl/Geometry/Geometry.html

Introducere
Urăsc lipirea carton. Şi totuşi, casa mea este plina de poliedre, pop-up cărţi şi concepte de ambalare. De fapt, eu nu urăsc cu adevărat lipire, dar întotdeauna am prea puţin timp de lucru prea idei, şi de a fi în mijlocul de o mizerie lipicioasă este o modalitate de a fi amintit de acest lucru. Trebuie să fie ceva bun despre toate acestea.

Această pagină este despre unele din lucrurile pe care le-am învăţat de-a lungul drumului, şi care nu sunt deja acoperite în site-uri web prea multe alte. Un tema centrală, care pare a fi conectat la toate de acesta în mai multe moduri neaşteptate este: "Platonic tilings de suprafete Riemann", noul titlu al acestei pagini. (Tilings sunt, de asemenea, adesea numite tessellations, ceva să ia în considerare atunci când căutaţi pe Web)

Un număr de subiecţi toate vin împreună aici:

- Poliedre

- Complex funcţii

- Grupa Teoria

- Suprafete Riemann

- Faza Terenuri Flow

- Tilings hiperbolic

- Transformări Mobius

- Grupul Modular

- Ambalaje Circle

- Embeddings izometrice

Va trebui să vorbim despre toate acestea, şi se vedea imaginea de ansamblu la sfârşitul anului. Avem o mulţime de fotografii destul de pe drum.

Această poveste ar trebui să înceapă cu poliedre. Dar există deja multe site-uri frumoase de pe acest web, aţi putea începe aici: Pavilionul de Polyhedriality

Dacă doriţi să aflaţi despre geometria dimensiunilor mai mari, şi relaţia acesteia cu universul, acesta este locul cel mai potrivit:

John Baez

Cool animaţii:

Greg Egan

Tony Smith

Alte chestii de mine:

Pagina principală

Cu toate acestea, recent am facut niste poze raytraced poliedre mine. Faceţi clic aici pentru mai multe.



Simetrii?

Următoare trebuie să ne uităm la simetriile din planul complex.

Am putea încerca functii complexe, şi a vedea dacă acestea generează simetrie.

De exemplu, hai sa incercam: f (z) = z 2 + c

Repetări a acestei funcţii produce modele frumoase: Fractalii! Cartografiere în primul rând că vine în minte pare să ducă la un subiect total diferit. Dar, deoarece se dovedesc în cele din urmă fractali referitoare la tilings, a verifica afară de imaginile de mai jos.

Placi generate de harta Z-> Z 2



(Click pentru marire)

Placi generate de hărţi Z-> Z 2 - 0.1 şi z> z 2 + -0.1 0.75i

(Imaginea Extra pentru motive legate de motoare de căutare)

Imaginile arată regiuni din planul complex descris ca dale colorate. Funcţii complexe trimite fiecare din aceste piese la o piesă de aceeaşi culoare, în aşa fel încât fiecare punct din planul complex este acoperit exact asiguraţi-vă că once.To dale nu se suprapun sau de a părăsi lacune, avem nevoie pentru a alege un foarte ţiglă specifice, ca punct de plecare, numita regiune fundamentală. (Regiunea fundamentale nu este unic) În caz de fractali de mai sus, algoritmul de placare utilizări cartografiere invers: Fiecare pixel este invers iterate până la itera sale sfârşeşte într-o regiune fundamental. Apoi este dat culoarea de care parte a regiunii fundamentale. Din motive artistice, ne-am despartit din regiune fundamentale până în 8 părţi cu 8 culori diferite. Dar 2 parti ar fi lucrat prea: Unul din interiorul setului Julia, unul pe exterior.

Dar există o subtilitate aici: funcţii complexe utilizate nu este o hartă de 1 la1: inversului pătratului complex, complex rădăcină pătrată, este de 2-evaluate. Deci iteraţii ale acestei hărţi nu formează un grup. Concret, aceasta înseamnă că harta inverse pentru fiecare tigla duce la 2 placi in loc de 1.

Într-o pagină separată, mă uit la repetare fracţionată a fractalilor. Se arată că hărţile fractala generatoare pot fi făcute într-un grup prin alegerea unui adecvat suprafaţă Riemann pentru a le teren pe. Ne vom uita mai intai la tilings care corespund grupurilor de simetrie, şi ne întoarcem la fractali mai târziu.

Transformări Mobius

Pentru a se califica ca un grup, o funcţie complexă trebuie să fie o singură valoare şi inversabile. Funcţiile numai că sunt OK, se dovedesc a fi cele cunoscute sub numele deMobius transformări :

Z-> (az + b) / (cz + d)

Primul lor multe proprietăţi surprinzător este faptul că transformările Mobius sunt o reprezentare a grupului de 2X2 matrici

(a b)

(c d)

Dar, un subgrup de acest lucru este SU (2), care este strâns legată de rotaţii 3-dimensionale, după cum ştim din mecanica cuantică. Şi 3 rotaţii dimensionale au ca subgrupuri frumos, pe care noi stiu ca cele 5 solide platonice: tetraedrul, cubul, octoedrul dodecaedru şi icosaedru. Click aici pentru a este un frumos film de animaţie privind transformările Mobius.

Deci, pentru a obţine primul nostru grup finit de transformări din planul complex, luăm Platonics, vezi reprezentanţele lor în termeni de SU (2) matrici, şi să se întoarcă în aceste transformări Mobius.

Acest lucru ne permite să facem poze:

Tigla tetraedrice şi placare cubi / octaedrici

Mai jos este o imagine a modului în care o Tigla cu privire la planul complex este transformat într-o Tigla din sfera Riemann, printr-o proiecţie stereographic. O proiectie stereographic poate fi gândit ca efect al o lumină asupra polului Nord stralucitoare printr-o sferă transparentă semi pe un plan. În cazul în care planul este planul complex, atunci sfera este sfera Riemann. Acesta este un mod de a defini sfera Riemann. Lucru se răcească despre sfera Riemann este faptul că infinitul devine un singur punct: Polul Nord. Este o compactificarea din planul complex. Pe sfera Riemann, simetria platoniciană a tilings eliptică este mai vizibilă în mod clar.

proiecţie Stereo, sfera Riemann şi o placare cubi.

(imagine Extra pentru motive legate de motoare de căutare)

Există un frumos film pe Youtube despre transformă Mobius şi proiecţiile stereographic. Dacă aveţi în vedere o linie dreaptă ca un cerc cu raza de infinit, atunci imaginile pot fi considerate de a fi construită în întregime cu cercuri. Transformări Mobius transforma cercuri în cercuri. Patch-uri colorate pot fi, de asemenea, văzută ca poligoane. Dacă te uiţi atent, veţi observa că toate unghiurile la care sucursala marginile din nodurile sunt frumos 360 / n. Acest lucru nu este atât de evident iniţial, deoarece marginile sunt curbate. Uită-te la poligoanele format de liniile roşii. În Tigla tetraedrice, linii roşii Demark poligon cu 3 laturi (triunghiuri), si 3 dintre ele se întâlnesc în fiecare nod, la fel ca într-un tetraedru ordinară. Deşi sunt diferite în formă, unghiurile sunt toate la fel. De fapt, diferenţele de formă sunt cauzate de alegerea noastră de coordonate nu, prin orice asimetrie interne. albastru linii Demark dual al placare roşu. În cazul în care tilings roşu sunt p-gons şi liniile albastre sunt q-gons putem descrie Tigla folosind simbolul Schlaefli (p, q). În acest articol, vom folosi o uşoară variaţie pe simbolul Schlaefli, şi a scrie (p, q, 2). Patch-uri colorate de placare (p, q, 2) au unghiuri (π/ P, π / q, π / 2). Deci, cele de mai sus sunt 2 exemple (3,3,2) si (4,3,2).
unghiurilor unui triunghi in spatiu plat adăuga întotdeauna până la 180 de grade, aşa că, dacă (1 / p +1 / q +1 / 2) = 1, avem o Tigla de spaţiu plat. Aceasta se numeşte o parabolica Tigla. În cazul în care (1 / p +1 / q +1 / 2) <1, placare se numeste eliptic, şi dacă (1 / p +1 / q +1 / 2)> 1, placare se numeste hiperbolic.
Notă: În tilings eliptic, considerăm infinit ca un singur punct, aşa că suntem în vigoare privind sfera Riemann. Deci, toate patch-urile colorate sunt triunghiuri, de asemenea, cei care ies in evidenta din imagine spre infinit.
O proprietate ultima înainte de imaginile următoare: Toate liniile sunt geodezice în spaţiile lor respective curbate.

Tigla dodecahedral / icosahedral (5,3,2), fagure de miere (6,3,2) şi tablă de şah (4,4,2).

(imagine Extra pentru motive legate de motoare de căutare)

Fagure de miere este parabolica (plat). Mai jos se află tilings eliptice (2,3,2) şi (2,2,2) si (2,1,2). Acestea pot fi, de asemenea, privite ca solide platonice, dar noi nu recunoaştem întotdeauna o 2-gon ("digon) ca un poligon.

(2,3,2), (2,2,2) şi (2,1, 2) tilings

Puteţi alege orice pereche de patch-uri adiacente verde / alb, ca o regiune fundamentală a grupului: Toate punctele de pe planul complex sunt o imagine unica a unui punct din regiune fundamentale. Acest lucru este, de fapt, cum am face aceste poze. Mi dau seama de jumătate din o regiune fundamentale, culoare verde, şi apoi transformarea acesteia într-o mulţime de copii, folosind 2 generatoare a grupului, până când am să acopere întreaga avionul. "O mulţime" de copii? Suma de copii este, desigur, exact egal cu ordinul de grup. Fiecare tigla, de asemenea, corespunde la o piesă pe un solid platonic, prin proiecţia stereographic aşa cum este ilustrat de grafica mai devreme. grupuri

Wallpaper Exista

17 "grupuri Wallpaper", sau simetrii ale planului euclidian. Acestea sunt toate subgrupurile de tilings (6,3,2) si (4,4,2) am descris deja. Un mod de a descrie subgrupuri, este de a folosi coloranţi pe "mamă" Tigla. Contăm 2 piese ca "la fel", în cazul în care atât forma şi culoarea lor sunt aceleaşi. Prin pictura modele pe placare mamă, putem obţine o placare care nu mai este invariant în cadrul grupului de simetrie original, dar încă mai este în conformitate cu un subgrup. Domeniul fundamental pentru aceste subgrupuri va fi o ţiglă care constă dintr-o serie de domenii fundamentale de placare mamă. Mai jos, cele 17 posibilităţile sunt listate. Acestea sunt descrise în carte frumos Simetrii de Interese. Această carte ar trebui să fi cu siguranta pe raft dumneavoastră dacă vă place această pagină web. Clasificarea se face prin notaţia orbifold.

Domenii fundamentale sunt prezentate în negru. Reţineţi că domeniul fundamental nu este unic, pentru fiecare caz am fi putut ales un altul, sau într-adevăr, un alt model cu clasa de simetrie aceeaşi.

* 422 422 4 * 2 2222
2 * 22

* 2222 22 * 22X * X

XX

** O * 333

* 632 632 3 * 3 333


Tilings hiperbolic
Până acum, am descris doar Platonics într-un mod necunoscut. Dar acum vom face un truc, care este usor cu transformări Mobius, dar dificil fara. Toate imaginile sunt realizate până în prezent cu 2 generatoare care sunt ciclice cu scopul de p. p = 3 oferă tetraedru, p = 4 cub, p = 5, dodecaedrul, si p = 6 formă de fagure. şi vă permite să nu uitaţi puţin p = 2. Cele 2 generatoare au proprietatea că produsul lor are ordinul 3, referitoare la faptul că acestea au Schlaefli simbol (p, 3,2)
Dar, pentru p> 6, viaţa devine un pic cam greu in spatiu ordinară, pentru că un vârf de 3 heptagons nu-i Nu vă în formă în 360 de grade. De aceea nu există nici un solid platonic cu heptagons. Dar, cu transformări Mobius, se poate merge mai departe!
Luăm 2 generatoare ciclice de ordine 7, alese astfel ca produsul lor este de ordinul 3. Noi facem apoi acelaşi truc, şi să obţină următoarele imagini: (A doua este cu p = 8)

(7,3,2) si (8,3,2) tilings hiperbolic.

Tilings hiperbolic au gresie infinit de multe. O proprietate intrigant este faptul că niciodată nostru 2 generatoare hartă din discul pe care o vedem in ultimele 2 poze. Acest disc este numit discul Poincarre. Ea are toate tipurile de proprietăţi, dar l-am obţine gratuit prin iterarea doar 2 transformări Mobius. Am putea, de asemenea, în afara tigla de pe hard, dar avem nevoie de o a doua regiune, fundamental, un loc in afara in interiorul discului Poincarre.

Deci, ce am ajuns până acum? Ne-am cunoscut bine platoniciană poliedre ca tilings, tilings plane şi tilings hiperbolic cu gresie lor infinit de multe. Deci, există mai mult? Da! Lectură Coxeters carte "polytopes Complexul regulat", am ajuns să înţeleg că fiecare grup care este prezentat de 2 generatoare, corespunde unei Tigla de o suprafaţă Riemann. Pentru a vedea aceasta vom folosi un mod foarte frumos de a construi o "Graficul Cayley" de un grup arbitrar prezentate de 2 generatoare. Aceasta metoda este folosita de Coxeter pentru placare fagure, şi el remarcă faptul că acesta poate fi utilizat pentru alte tilings prea. Un grafic Cayley prezinta structura unui grup prin prezentarea elementelor sale ca nodurile, şi folosind margini de culoare săgeata pentru a reprezenta elemente care sunt mapate pe fiecare alte generatoare. Fiecare are un generator de culoare separate. Un lucru pe care il poti face cu un grafic Cayley, este citit de cum să obţineţi de la un element la altul generatoare folosind. Trage doar o cale, şi se citeşte de la generatoarele de fiecare margine. Şir care rezultă din generatoare se numeşte un "cuvânt". Toate cuvintele pot fi vizualizate folosind Graficul Cayley. Să presupunem că avem 2 generatoare ciclice A p = B q = 1. Fie C = (AB) -1, astfel încât ABC = 1. C este, de asemenea, ciclic, C r = 1.Putem construi acum un plan Graficul Cayley, cum ar fi cea de mai jos, care este pentru grupul tetraedrice, pentru care A 3 = B 3 = C 2 = 1. Numim C un generator, deşi aceasta este, de fapt depinde de A şi B.

Un plan Graficul Cayley a grupului tetraedrice. Similar "2-dimensional" graficele Cayley pot fi construite pentru toate tilings. Aceste grafice Cayley sunt ele însele un Tigla (p, q, r). Imaginea din dreapta ilustrează modul în care puteţi reconstrui placare tetraedrice din Cayley-Graficul: Este dual de placare (p, q, r).

Graficul de mai sus Cayley are urmatoarele proprietati:

-Fiecare nod are 6 marginile conectat. O săgeată din fiecare culoare frunze de fiecare nod o dată şi să ajungă o dată acolo.

-Sagetile etichetate O includă o p-gon, în acest caz, p = 3

-Sagetile etichetate B anexeze un Q-gon, în acest caz, q = 3

- Sagetile etichetate C anexeze un R-gon, în acest caz, r = 2, un "digon", care a degenerat într-o săgeată bidirecţională. Dar săgeţi roşii bidirecţional ar fi putut fi, de asemenea, poligoane, în cazul în care R> 2.

- Gons p, q şi r nu sunt adiacente, dar au întotdeauna un triunghi alb între ele. Triunghiuri alb codifica ceea ce priveşte ABC = 1, astfel cum poate fi citit de la Graficul Cayley.

- In general, putem construi un "plan" Graficul Cayley, care are placare lui Arhimede (p, 3, q, 3, r,. 3)

În general, un plan Graficul Cayley construite în acest mod este arhimedian, dar în cazul grupului tetraedrice placare este platoniciană, pentru că "cârn tetraedrului":. se întâmplă să coincidă cu icosaedrul, cu cele 12 noduri Cayley Graficul în sine este deja un Tigla arhimedian, dar. de la el putem construi o Tigla platoniciană corespunzătoare grupul în cauză. Pentru fiecare nod al Graficul Cayley este tocmai un element de grup. În jurul valorii de fiecare element există o p-gon, q-Gon şi un r-Gon, separate de 3 triunghiuri. Conectaţi un punct în p-Gon, q-Gon şi un r-gon, pentru a forma un triunghi în jurul valorii de elementul de grup. Acest triunghi este o regiune fundamental pentru o placarea care are grupul în cauză ca grup simetria sa. Imaginea din dreapta prezinta rezultatul. Deci, acum putem merge pentru a afla mai multe tilings, călătorind prin grup-şi caută teren pentru grupuri prezentate de 2 generatoare. Mai jos este o Tigla mai puţin evidente, de grup, prezentate de către producători: 1=A5 =B4=(AB)3

Tigla cu grupul de simetrie prezentate până la 1 = A 5 = B 4 = (AB)3

(Această imagine a fost creat folosind "qt4Tess" programul freeware. Este un pic mai uşor de utilizat, apoi software-ul meu propriu).

Acest tigla nu are un simbol Schlaefli, deoarece triunghiurile nu fac p-gons sau q-gons. Acest lucru ar fi fost cazul dacă unul dintre generatoare noastre au avut perioadei de 2. Dar, dacă vom scrie o "obişnuită" Schlaefli simbolul (p, q) ca (p, q, 2), am putea scrie una ca aceasta (5,4,3). (Sau, am couls folosi notaţia orbifold, şi să scrie 543, sau 543 / 543 *)

Dar, aşteptaţi. Am învăţat că toate grupurile de simplu poate fi generat de 2 generator de! Dar asta înseamnă că toate grupurile finite simplu sunt tesslations de suprafete Riemann !

Modular grup
Multe grupuri sunt grupuri coeficient de grup modulare. Acesta este un grup incredibil de rece, care este important în teoria numerelor. Poate că proprietatea mea favorită din grupul modular este că eu pot genera cu 2 transformări Mobius:

A : Z-> Z +1 (o traducere)

B : Z-> -1 / z (inversiune în cercul unitate)

Această proprietate permite ne pentru a face o imagine a acesteia, utilizând acelaşi software pe care am făcut deja pentru alte imagini:

Grupul modulare.

Matrici de grup modulare sunt compuse din 4 numere naturale:

determinant este 1.

intersecţiile de placare modulare cu reale Axa sunt exact toate numerele raţionale ! Am luat din cartea " lui Indra Pearls ". Aceasta carte este destul de legată de această pagină de web, aşa că, dacă vă place această pagină, este posibil să doriţi să-l citiţi.

În plus, există o structură care se referă matrice de un triunghi în modular la număr raţional este se află pe vârful axa reală.

Mai jos este o imagine a prezentului. relaţie de un triunghi cu vârfurile {a / b, c / d, litera (a + b) / (c + d)} pentru a matrici că hartă sale sub-triunghiuri pentru domeniul fundamental.

Reţineţi că vârful de mijloc este o funcţie de 2 noduri exterioare. Folosind această relaţie, puteţi construi copac Brocot Stern, un sistem care listeaza fiecare număr raţional exact o dată:

(Wikipedia imagine): partea din Stern Arborele Brocot

Reţineţi că, infinit, în formă de 1 / 0 este de asemenea folosit ca o fracţie.

pupa copac brocot oferă o corespondenţă unu-la-1 între rationals şi siruri de caractere binare. În cazul în care stânga este '0 'şi dreptul este '1', atunci poate reprezenta orice raţionale de instrucţiunea de conducere pentru a ajunge la aceasta în copac Brocot Stern. De exemplu, numărul 3 / 4 ar fi '011 ', în timp ce 4 ar fi '111'. Există odiscuţie despre acest lucru "cafe categoria n" web log.

Există o relaţie interesantă cu raportul de aur, " cel mai mare numar irratrional ". Acest lucru ar avea "adresa Farey '1010101010101.....' după cum se arată mai josraportul

de aur a Farey adresa '1010101010101.....'

Ai fracţiunile compus din cifre consequetive lui Fibonacci, F (n +1) / F (n), care appraoches raportului de Aur ca n-> inf.

Alt mod plăcut de numerele raţionale sunt ascunse în interiorul placare modular este prin cercurile For. Toate tilings de pe aceasta pagina au, de asemenea, un cerc de ambalare : Un cerc pot fi plasate în fiecare poligon, astfel încât cercul atinge doar cercurile pe toate poligoane vecine. Dacă faceţi acest lucru pentru placare modulare, te cercuri Ford. Din nou, fiecare număr raţional are exact un cerc Ford.

razele de "sarut" cercuri sunt legate printr-o formulă magică numită " sarutul precis ".

cercurile Ford. Each număr raţional are un cerc asociat cu ea, şi cercurile forma o garnitura Appolonian, cu tot felul de proprietăţi speciale.

Acum, să vedem cum sunt tilings alte fracţii al lui grup modulare. O Tigla câtul este un Tigla sub-mamă care generează Tigla (fără suprapuneri) în cazul în transformat de către toate elementele unui subgrup de simetrie-mamă.

În cazul în care subgrup este un "subgrup normal" (adică invariant sub conjugare), apoi placare coeficientul este platoniciană.

Există o modalitate uşoară de a obţine de la grupuri mai mici modular de grup: Doar înlocui numere întregi în transformarea prin numere întregi modulo n (Aceste grupuri sunt grupuri raportul dintre subgrupuri formate de matrici congruent cu identitatea modulo. n ). Se pare că aceste grupuri sunt foarte interesante.

Subgrup generat de doar inversiune este izomorf cu (2,1,2) Tigla (triunghi roşu, N = 2)

modulo 2 caz este izomorf cu (2,3,2) Tigla (triunghiuri portocaliu inclus, N = 6)

modulo 3 caz este izomorf cu placare tetraedrice (triunghiurile galbene inclus, N = 12)

modulo 4 caz este izomorf cu placare cubi (triunghiuri verzi inclus, N = 24)

modulo 5 caz este izomorf cu placare icosahedral (m-am oprit aici desen, N = 60)

Primele grupuri coeficient format din grupul modular.

Subtilings de placare modulare nu arata mai mult ca imediat solide platonice. Pentru a ilustra care să facă legătura, am facut imaginile de mai jos. Acestea arată "hiperbolic" versiuni ale platonice solide; Fiecare triunghi (p, 3,2) într-o "obişnuită" platonice înlocuieşte printr-o hiperbolic (∞, 3,2) triunghi, în versiunea hiperbolic. Toate triunghiuri în tessellation modulare sunt, de asemenea, (∞, 3,2) triunghiuri, aşa că avem o cartografiere CONFORMAL din tessellation modular pentru a Platonics hiperbolice. Nodurile la zero unghi întâlni în "cuspizi". Pentru a păstra imaginea finit, am folosit un unghi de π / 36 în loc de zero. numărul de triunghiuri este acelaşi, şi grupurile care transformă triunghiurile în fiecare alte sunt izomorfe. Pentru a trece de la hiperbolic platoniciană la versiunea plate sau sferice, putem folosi fluxul Ricci, tehnica folosită pentru a demonstra conjectura Poincarre. fluxului Ricci pare ca lucrurile grele, dar discret fluxul Ricci se schimbă pur şi simplu dimensiunile triunghiului în triangulaţie, astfel încât locale curbură "curge" la o valoare prescrisă.

hiperbolic, sferice şi plane tetraedrului.
triunghiuri hiperbolic sunt π / 2, π / 3, şi π / ∞ (aproximate prin π / 36).
triunghiuri sferice sunt π / 2, π / 3, π / 3.
plat sferice sunt π / 2, π / 6, π / 3.

Faceţi clic aici pentru fişier VMRL


Hiperbolic, sferice şi plane Cube.
triunghiuri hiperbolic sunt π / 2, π / 3, şi π / ∞ (aproximate prin π / 36).
triunghiuri sferice sunt π / 2, π / 3, π / 4.
triunghiuri Planar sunt π / 2, π / 4, π / 4.
Faceţi clic aici pentru fişier VMRL

Click aici pentru VMRL fişier
(imagine Extra pentru motive legate de motoare de căutare)
hiperbolic, sferice şi plane Dodecadron.
triunghiuri hiperbolic sunt π / 2, π / 3, şi π / ∞ (aproximate prin π / 36).
triunghiuri sferice sunt π / 2, π / 3, π / 5.
triunghiuri plane sunt π / 2, 2 π / 5, π / 5.


cerc de ambalaj pentru hiperbolice dodecaedrul, prestate cu POVray, folosind margele sticloase.


Platonics meu hiperbolic au curbură constantă Gaussian negativ pretutindeni, cu excepţia la cuspizi, în cazul în care curbura este infinit pozitiv. În acest sens, tău sunt mai frumos decât cei de la site-ul mathworld.Pentru mai multe despre constant curbură negativ Gaussian, faceţi clic aici.

Un model de carton a sferice dodecaedrul:


modele de tencuială de mai jos sunt făcute de Walther von Dyck, un matematician secolul 19 germani, care a descoperit, de asemenea, tesselation Dyck a quartic lui Fermat.

Ele sunt dintr-o galerie foto de Groningen universitar.

Până în prezent, până la modulo 5, coeficienţilor de tilings modulare sunt izomorfe cu bine-cunoscuta platonică poliedre. Numărul de triunghiuri este acelaşi, şi grupurile care transformă triunghiurile în fiecare alte sunt izomorfe.
Dar dacă vom merge modulo 6, ceva nou se întâmplă: Un Tigla (2,3,6), dar nu fagure infinit. De data aceasta, placare este finit. Din caracteristica Euler ştim că avem un tor. Astfel, vom obţine o reţetă pentru a face o placare platoniciană pe o suprafaţă Riemann de genul finit.
Mergând mai departe, coeficientul următor este o Tigla (2,3,7). Multe yeas mai devreme, Felix Klein a fost faci asta, şi că este modul în care el a descoperit "lui Klein quartic":. Un gen 3 suprafaţă de teracotă cu 24 de heptagons

Din nou, aceasta nu este atât de uşor de vizualizat izomorfism. Pentru a facilita acest lucru, am făcut animaţie de mai jos.
Am generat o felie de Gamma (7), prin utilizarea reflecţii în părţile laterale ale triunghiuri. Apoi am rândul său, încet triunghiuri (∞, 3, 2) in (7,3,2), triunghiuri, dar păstrează aceeaşi topologie, deoarece acesta rămâne generate de reflexiile pe laturile triunghiului.

Animation de un coeficient de placare modulare transformându-se în o tigla (7,3,2).
(imagine Extra pentru motive legate de motoare de căutare)
Şapte dintre felii în animaţie sub forma poligonului fundamentale ale quartic Klein. Dacă vom ţine evidenţa numerelor raţionale la nodurile, avem, de asemenea, instrucţiunile corecte de lipire pentru efectuarea poligon într-o buna gen 3 obiect.

poligon fundamentale pentru Klein quartic

H. A. Verrill are un frumos on-line applet Java care calculează pe domenii fundamentale Γ (grupul modular), Γ 0 şi Γ 1 alineatul (2 versiuni modificate ale grupului de modulare). Folosind acest applet, am făcut un tabel pentru p = 1 la p = 11. n este ordinul grupului, c este numărul de cuspelor, iar g este genul.

Fracţii modulo 4 privind placare cubi.

Aici este un link frumos să explice relaţia dintre grupul de modulare a dovada de Fermats teoremei trecu.

Tilings cu doar un generator

Până în prezent, toate tilings discutat avut 2 generatoare. Dar o placare cu un singur generator de asemenea, este posibil. Mai jos este un exemplu

Spiralled Tigla cu un generator singur.

Tigla are 2 puncte fixe. Dacă începe din orice punct, şi repeta transformarea Mobius, va ajunge intr-unul din punctele fixe, punct fix atractiv. Alt punct fix este attrator de transformare inversă, pe care am putea numi punctul fix resping. Puteţi să vă gândiţi de această placare ca pornind de la un domeniu fundamental în formă de un mic patrat lângă punctul fix de respingere, pas cu pas în jurul valorii de din ce în ce lărgirea spirale în jurul valorii de punct, până când începe orbiteaza punct fix atractiv. Dale apoi spirala spre punctul fix atractiv.

Interesant, aceste tilings un generator sunt legate de soluţii exacte pentru cea mai simpla ecuatie diferentiala non-linear:

dz / dt = Az 2 + Bz + C (eq.1)

Aceasta este o generalizare de ecuatii diferentiale Logistic, sau Malthus-Verhulst ecuaţia:

dz / dt = r * z (1-z)

cui exact soluţia este:

z = 1 / (expt (-r * t) +1)

Se pare că soluţia la ecuaţia generalizate (1) este:

z = (a * expt (r * t) + b) / (c * expt (r * t) + d) (eq.2)

cu:

A = R / K

B = R (1-2 * z - ∞/ K)

C = RZ - ∞ (1 + z - ∞ / K)

a = (K + Z - ∞ ) * (z 0 -z - ∞ ),

b =-z - ∞ (z 0 -z - ∞ -K)

c = (z 0 -z - ∞ ),

d = - (z 0 -z - ∞ -K)

Z - ∞ este valoarea pentru t =- ∞

z 0 este valoarea pentru t = 0

Pentru t = ∞, valoarea devine z = (K + Z - ∞ ) Reţineţi că soluţia (2) este o transformare Mobius!

Suprafeţe Riemann
Înainte de a mergem mai departe, trebuie să privim bucată următorul nostru de puzzle: suprafete Riemann. Functii complexe sunt un pic cam greu pentru a vizualiza, pentru că avem 2 componente, care sunt o funcţie de 2 componente, astfel încât avem nevoie de 4 dimensiuni. Vom folosi culoarea ca un ajutor de vizualizare. Să presupunem că ne-cod culoare numere complexe, folosind luminozitatea ca o măsură de mărime, iar raportul roşu / verde / albastru ca o etapă. Harta de identitate va arata ceva ca în imaginea din stânga de mai jos:

harta cu coduri de culori complexe ale Z (identitatea) şi z 2.

Imaginea din dreapta de mai sus este de z 2. Fiecare culoare are loc acum de două ori, în faza sa înjumătăţit periodicitatea acestuia.

Dacă facem o imagine a lui z 1 / 2, avem de a alege pe care ne-o dorim rădăcină pătrată, deoarece acolo sunt 2. Permite remiză ambele:

2 lame de z harta 1 / 2

2 lame a funcţiei z 1 / 2 fiecare conţine doar jumătate din culori, si fiecare contine o discontinuitate în colorare.

Riemann a avut ideea de frumos, a fost să ia individuale Lame de funcţii multi, si lipici-le împreună într-o singură suprafaţă în aşa fel, că discontinuitatea în culori este de asemenea eliminat. În acest caz, am tăiat de-a lungul axei reale pozitive, şi de lipici folosind înapoi culorile ca un ghid. Acest lucru poate fi realizat numai printr-o auto-intersecţie în spaţiul 3D, dar spaţiul 3D e de rahat oricum. Suprafete Riemann se dovedesc a avea proprietati incredibile.

Reţineţi că există puncte în care lame diferite au aceeaşi valoare. Acestea sunt numite puncte de ramură. În exemplul de mai sus, există un punct de filiala de la origine.

O suprafaţă puţin mai complexă este aceea de a quartic lui Fermat. Funcţii complexe pentru acest lucru este (-1-z 4 ) 1 / 4. Ea are 4 lame si 4 puncte sucursală.

prima din 4 lame de suprafaţă Riemann a quartic lui Fermat.

Înainte de a se deplasează pe cu suprafeţe Riemann, vreau să menţionez un alt mod de a descrie lor.

Analogie între parcelele de fluxul de fază şi câmpuri electrice şi magnetice
Dacă parcelele de fluxul de fază vă aminteşte de câmpuri magnetice, aceasta se datorează faptului că corespondenţa este exacta. Câmpuri electrice, câmpuri magnetice, fluxurile de potenţial, fluxurile de conducţie termică, sunt toate soluţiile pentru a ecuatia lui Laplace. Părţile reală şi imaginară a unei funcţii complexe îndeplinesc, de asemenea, ecuatia lui Laplace. Întrucât
Log ( z ) = Log (| z |) + Etapa I ( z )
ştim că logaritmul amploarea satisface ecuatia lui Laplace. Folosind logaritmul amploarea loc de magnitudine în sine are unele consecinte interesante. În primul rând, zerouri au o logaritmul de-infinit, astfel încât acestea să devină "negative" sau poli "de Sud", cu poli complex corespunzător "pozitiv" sau poli "Nord".
În al doilea rând, "taxa" de un pol este, la fel ca în Teorema Gauss, egal cu numărul de linii de câmp care provin de la ea. Ea nu se schimba în cazul în care funcţia este înmulţită cu o constantă. (Constantă adaugă doar o valoare cu logaritmul amploarea.) Această acum arată o cu adevărat : taxele sunt discrete! In natura, faptul că sarcinile electrice vin in multipli de taxa elementare pare misterios, dar pentru funcţii complexe, aceasta este o consecinţă necesară din faptul că polii şi este zero, au scopul de întreg!

Fluxul complot Faza a functiei Riemann Zeta. Această funcţie a celebra în mod egal distanţate de la zero de la z = 0, -2, -4,..., şi neregulate distanţate la zero pe "linia critic" IM (z) = 1 / 2. Ipoteza Riemann, care este adesea citat ca problema deschisa de sus a matematicii, este faptul că acestea sunt numai de la zero.

Notă: am aflat că oamenii au folosit parcele oarecum similare cu faza de parcele flux numit "parcele de fază". Există un articol expozitivă on-line pe ele aici. Autorii menţionează că parcelele fază au fost "redescoperit" de mai multe ori.

Cu toate acestea, de fază fluxul parcele sunt uşor diferite. Cea mai importantă proprietate o suprafaţă Riemann este sa genul. Genul de o suprafaţă este numărul său de "găuri". Un tor de exemplu, are genul 1, o sferă are 0 genul. Într-un fel, chestii pe această pagină este despre generalizarea tilings platoniciană la suprafeţele de genul superior. Există o relaţie renumit, numit formula lui Euler, care se referă Faces (F), Muchii (E) şi noduri (V) a unui Tigla la genul (g) cu o suprafaţă:

F - E + V = 2 - 2g

F - E + V se numeşte caracteristica Euler a suprafeţei. Acesta vă permite să găsiţi cele genul unei suprafeţe dat o Tigla, şi a impune restricţii pe care tilings sunt posibile. De exemplu, putem dovedi că o minge de fotbal trebuie să aibă 12 pentagoane.

Formula pentru caracteristicile Euler nu atât de greu de dovedit. Doar începe cu un caz particular, sa zicem un cub. Pentru un cub, avem F = 6, E = 12, V = 8, şi g = 0, astfel încât acesta îndeplineşte formula lui Euler. Acum, orice ai face la suprafata, aceasta nu se va schimba rezultatul formulei. De exemplu, dacă aţi împărţi un avantaj in 2 margini, vă creşte E la E 1, dar, de asemenea, V-V +1. Dacă interconectare 2 noduri, va creşte de top E E+1 o, dar, de asemenea, F F+1.

Dacă luăm N disjuncte genul 0 suprafeţe, caracteristica Euler va fi 2N.

Acum, vom începe lipire-le împreună.

Să presupunem că lipirea implică întotdeauna 2 fete identice pe 2 suprafeţe distincte. Procesul de lipire distruge aceste 2 fete, şi distruge o buclă care merge o runda se confruntă. Bucla este format din n noduri şi n margini, aşa că avem pentru fiecare operaţiune de clei:

Adeziv 2 fete: F-> F-2, (VE) rămâne constantă,

caracteristică Euler -> caracteristică Euler -2

Deci, de fiecare dată când am lipici, am va reduce caracteristica Euler cu 2.

Asa cum am continua lipirea suprafeţe disjuncte, vom reduce caracteristica Euler cu 2 pentru fiecare operaţiune de lipici, până când ne-am întors la Euler caracteristica 2, cu toate suprafeţele conectate într-un singur gen 0 obiect. Deci, Până în prezent, am lipite împreună suprafeţe disjuncte. Dar am putea, de asemenea, o parte adeziv de o suprafaţă de sine. Vom reduce caracteristica Euler cu 2.Dar, în acelaşi timp, vom avea creştere genul său! Un alt mod de a defini genul este numărul maxim de bucle închise puteti taia prin suprafaţă, fără a lăsa să se destrame. Această definiţie funcţionează pentru reţelele de discrete, precum şi suprafeţe continue, şi se referă la inversa de "lipire", că am vorbit despre.

Funcţiile Automorphic

Platoniciană tilings sunt pe cale de simetrie, şi funcţii complexe înşişi au pot avea simetrie. Ceea ce avem nevoie sa intelegem cum este simetria de o suprafaţă Riemann este legată de ecuaţiile reală a definirii suprafeţei. Unele dintre imaginile anterior de suprafeţe Riemann, cum ar fi cea a lui z 2, arată deja unele simetrie. Această funcţie este simetrică în cadrul grupului de Mobius transformări {Z,-Z}.

Funcţii care sunt simetrice în cadrul unui grup de transformări Mobius (G) sunt numite funcţii automorphic. Mai exact, pentru orice z, o funcţie automorphic (f) a:

f (G (z)) = f (z)

Haideţi să construim o funcţie automorphic, în acest caz, unul pentru placare (2,3,2). O modalitate de a face acest lucru este de a pune poli şi zero pe nodurile de placare. În acest caz, am pus stalpi de ordinul 3 la nodurile de la ± i, şi zero este de ordinul 2 la 0, ± √ (3).

f (z) = z 2 (z 2 -3) 2 / (zi) 3 (z + i) 3.

Funcţia automorphic rezultat este prezentat mai jos.

funcţia Automorphic asociate cu placare (2,3,2). La dreapta este fluxul de faza de complot.

Un lucru frumos este faptul că orice funcţie a unei funcţii automorphic este, de asemenea, o funcţie automorphic. Putem folosi acest lucru pentru a construi o "hiper-automorphic" funcţia, prin care nu folosesc f (z), dar f (f (z)), f (f (f (z))) etc. Acest lucru produce funcţiile ce este nu numai automorphic, dar fiecare piesă este în sine este divizată în plăci automorphically mai mici. Ne fractali automorphic, după cum se arată mai jos

funcţia automorphic, reiterată de 3 ori şi, respectiv, de 20 de ori. În imaginea din dreapta, se pare pentru a vedea Mandelbrot-ca structuri

Putem găsi expresii explicite pentru transformările în care fractali automorphic sunt invariante. Dacă G este un grup de transformări Mobius pentru funcţia originală (f), atunci f n este invariant în baza unui set transformări (F), care este pur şi simplu o conjugare a G de f n : F = f n- G f n Reţineţi că elementele de F sunt în general funcţii multi-evaluate. Deci, F nu este un grup. Dar valuedness multi-de fapt, generate de toate sub-divizarea suplimentar dale. De fapt, un set Julia regulat, cum ar fi unul pentru f: Z-> Z 2 -0.1 + 0.75i discutat mai devreme, poate fi văzută ca o automorphic fractale, deoarece harta este o funcţie automorphic pentru grupul de Mobius transformări {Z,-z}.Mai jos este o imagine de f 8 (z).

8 ori reiterat funcţia Automorphic Z-> Z 2 -0.1 + 0.75i funcţia set

Julia are un pol infinit la infinit, pentru a echilibrat de infinit de multe zero, 1 care se află pe Julia.

set automorphic o funcţie de care este foarte important este faptul că din grupul modular: j-invariant. Acesta are de 3 ori la zero privind ordinul 3 noduri, si stalpi pentru infinit pe cuspizi la axa reală. La ordinul 2 vârfuri, valoarea este egală cu o. Mai jos este o imagine, împrumutat de la wikipedia.

(Wikipedia imagine:) funcţia Automorphic pentru grupul de modulare: j-invariant

Teren Faza fluxul de j-invariant.

Modele hiperbolice Să ne uităm la unele modele de suprafeţe hyperbolic de teracotă. Aşa cum am spus, caracteristica Euler impune restricţii de tilings posibile ale unui suprafaţă. Dacă luăm în considerare tilings de Schlaefli simbolul (p, 3), obţinem următoarele posibilităţi:

Table of (p,3) tilings that have the correct Euler characteristic.
Genus: 0 1 2 3 4
----------------------------------------
p=3 3 0 <-
p=3 4 0 <-Tetrahedron
p=4 6 0 <-cube
p=5 12 0 <-dodecahedron
p=6 ∞ 0/0 <-honeycombed
p=7 0 12 24 36
p=8 0 6 12 24
p=9 0 4 8 12
p=10 0 3 6 9
p=12 0 2 4 8
p=14 3
p=18 0 1 2 3

Table of (p,4) tilings that have the correct Euler characteristic.
Genus: 0 1 2 3 4
----------------------------------------
p=2 4 0
p=3 8 0 <-octahedron
p=4 ∞ 0/0 <-checkerboard
p=5 0 8 16 24
p=6 0 4 8 12
p=7 0 8
p=8 0 2 4 6
p=9 0 4 8 12
p=10 0 4
p=12 0 1 2 3

roşu intrările au proprietatea suplimentare pe care suprafaţa coeficientul p-ciclu are, de asemenea, caracteristica Euler a unei sfere Riemann, verde intrările că de un tor.

Este destul de uşor de ţiglă un tor într-un mod platonic. Poti sa o faci cu un număr pătrat de pătrate, de exemplu. Aici este unul cu 4 hexagoane. Hexagoane au fost îndoite, astfel încât acestea nu sunt atât de uşor de recunoscut.

Aceasta cifra nu arata un pic plictisitoare, recunosc.

O figură oarecum mai frumoasa este de placare "Fermats quartic", cu 12 octogoane. Toate octogoane sunt echivalente, şi, de asemenea, sunt îndoite într-un mod identic. Această cifră a genul 3. Ea are simetrie tetraedrice. Îmi dau seama acum că nu este platoniciană. Mai am de a face placare platonician cu 12 octogoane de genul 3, care este cunoscut pentru a exista.

dublă de această formă este o formă formată dintr-un icosaedru interior şi un exterior icosaedrul, conectate prin 4 găuri triunghiulare:

O Tigla platonice a unui 2 genul obiect cu 6 octogoane. (Pliat peste gauri):

dublu de aceasta este un octogon interioare si exterioare, conectate prin 3 fante pe margini disjuncte 3:

O Tigla platonice a unui gen 2 Suprafaţă cu 8 pentagon:

In sci.physics.research ştiri, am au fost dezbaterea unui Tigla heptagonal a unui gen 3 obiect, pe care o numim "Klein Quartic". Un rezumat al discuţiei se află pe pagina lui John Baez lui, aici.

A fost această discuţie, care a declanşat o multime de interesul meu privind acest subiect. Înainte de a încerca să înţeleagă suprafeţe Riemann şi transformări Mobius, am incercat sa adeziv împreună Quartic această Klein.

Construcţie mai întâi cu heptagons este o Tigla din invelisul exterior al unui gen 3 obiect, folosind 12 identice heptagons regulat încreţită.

Toate heptagons sunt crescut în în acelaşi mod.

Puteţi utiliza această cifră pentru a construi suprafete mai mari gen, prin interconectarea găurile din această cifră cu alte gauri de aceeaşi cifră sau cu gauri de alte copii de aceeaşi cifră.

Dacă luaţi 2 exemplare din ea, şi interconectarea se termină în vrac, aveti acces la 24 heptagons, cu 3 heptagons Reuniunea de la fiecare din cele 56 noduri. Aşa că m-am gândit "Aha, quartic Klein!". Dar nu. Puteţi călători în jurul valorii de margini, merge la stânga-dreapta-stanga-dreapta, (LRLR) etc, după un timp, va ajunge în acelaşi loc. Aceasta este ceea ce eu numesc "simetrie de conducere de instrucţiuni". Quartic lui Klein are proprietatea

(LR) 4 = 1.

Pentru toate punctele. Această cifră nu. Am avut o mulţime de dificultate încercarea de a de a construi pe suprafaţa corectă, până când am citit o parte din articol original, Felix Klein. Klein sugerează că figura lui ar trebui să aibă simetrie octaedrice, şi că cele 6 nodurile de octaedru sunt de la infinit. La infinit, heptagons se alăture cu heptagons diametral opuse. Deoarece suprafaţa are puncte de infinit, este probabil justificată, nu pentru a încerca şi lipici împreună heptagons la laturile opuse ale octaedru. Acest lucru face viaţa mult mai uşoară! Suprafaţa rezultată este prezentată mai jos.

Iată cum să deformeze suprafata octaedrică deschide într-unul tetraedrice închis:

Poate că ar trebui să renunţe la matematică şi să înceapă o brutărie,...

Ideea de a nu lipirea site-uri vizavi deschide o nouă posibilitate: ceea ce dacă l-am lipici la o copie a virusului. Astfel, vom obţine un grilaj infinit, cunoscut ca un poliedru infinit. O pagină web de pe acestea este aici. infinita poliedre au toate nodurile identice, la fel ca "obişnuite" poliedre. Suprafaţa lor a curbură negativ (adică este hiperbolic). O celula unitate de ele lipite la sine este închis din nou o suprafaţă Riemann.Unele infinit poliedre au proprietatea ca toate fetele sunt plane. De exemplu, (3,3,3,3,3,3,3) este un poliedru cu feţe plane infinit, care arată ca icosahedra legate de octoedre. Este dublu de o suprafata (7,3), dar nu quartic lui Klein: Este dual al modelului de carton tetraedrice (7,3) de suprafaţă. Poliedru infinit, care este dual al Quartic Klein este o structura (3,3,3,3,3,3,3), format prin interconectarea fiecare faţă pătrată de cuburi cârn cu antiprisms pătrat.

Privind la modele heptagon noastre, aceasta poate fi menţionat că acestea pot fi formate prin luarea un poliedru construit din triunghiuri, şi în locul triunghiuri cu 3 heptagons (Aceste 3 heptagons au aceeaşi culoare în imagini). Această idee poate fi prelungit: Putem so facem la un icosaedru, după cum se arată mai jos.

Cifra icosahedral are 60 heptagons, şi prin aderarea la gauri primim un gen 6 suprafaţă. Dar putem merge chiar mai departe, deoarece suprafetele sunt formate (7,3), astfel încât ei pot fi considerate ca fiind compusă din triunghiuri. De exemplu, cifra icosahedral ar conduce la o cifră cu 420 heptagons, producând un gen 36 de suprafaţă. Suprafetele platonic de teracotă (7,3) modele se numesc suprafeţe Hurwitz. Acestea au proprietatea de construcţii pe care le deţin numărul maxim de simetrie pentru o suprafaţă cu un gen dat, şi anume 84 (g-1).Acest lucru rezultă din faptul că (7,3,2) triunghiuri sunt cele mai mici (k, l, m), triunghiuri hiperbolic.

Grupul Monster este, de asemenea, o suprafaţă Hurwitz.

O metodă alternativă de a încorpora tilings în 3 spaţiu tridimensional este de a permite intersecţii. Am folosit pentru a displace intersectii, până când am văzut munca de Roelofs Rinus.
Rinus Roelofs a realizat sculpturi rece, care poate fi văzut ca tilings platoniciană a suprafeţelor Riemann. Pentru a schimba drawback de intersecţii într-o funcţie artistică, se mişcă uşor depărtate şi se confruntă cu reduceri găuri în ele. Mai jos este un exemplu (ales pentru a ilustra în mod clar care să facă legătura cu suprafete gresie Riemann)

O sculptură a lui Rinus Roelofs, care poate fi privit ca un Tigla (6,3).

Poti sa te uiti la această sculptură ca un tetraedru interior şi un exterior tetraedru. Dar fiecare margine se alatura o fata din interior cu o fata din exterior. Se pare că marginea de fiecare "gaura", formează un nod!

Caracteristică Euler a unui interior exterior plus un poliedru este de 2 * 2 = 4. După ce identificaţi nodurile de poliedre interioare şi exterioare, caracteristica Euler devine

Euler = 2 straturi * - noduri * (straturi-1)

În tabelul de mai jos, Am calculat pentru diferite combinaţii pentru genul (numărul de reuniuni se confruntă la un vârf trebuie să fie impar)

straturi 2 3 4

tetraedru 1 2 3

cub 3 6 9

dodecaedrul 9 18 27

icosaedrul 5 10 15

Pe Roelofs lui Rinus site-ul web are poze de poate de aceste, şi a unora dintre ele a făcut modele fizice. Un mod obişnuit de pentru a vorbi despre genul de o suprafaţă Riemann este numărul de "Holes" În aceste suprafeţe, nu văd în cazul în care sunt găuri.. Dar "oficial" defintion a genului este "numărul maxim de butaşi de-a lungul curbelor închis simplu.. fără a face galeriei de rezultate deconectat "Deci trebuie să existe un mod de a reduce tetrahedroin dubla, care are genul 1, de-a lungul-un circuit inchis, fără a lăsa să se destrame Aceasta pare într-adevăr să fie cazul: Puteţi face prin tăierea tetraedru-a lungul unui poligon Petrie.

Suprafeţele prin Roelofs Rinus amintesc de suprafete Seifert : O suprafaţă delimitată de către un nod este, probabil, există o relaţie, dar nu am eliminat mintea mea de pe acest încă.

Tilings suprafeţelor de curbură constantă negativ Gaussian
poliedre platoniciană sunt tilings din sfera: suprafaţa numai completă de curbură pozitive constante. Suma unghiurilor al reuniunii se confruntă la fiecare nod este mai mică de 360 de grade de un număr numit deficitul unghiulară : În cazul în care deficitul unghiular este zero, atunci suprafaţa nu este (intrinsec), curbat la acel punct. Acum, permiteţi-ne calcula deficitul total unghiular al fiecărui poliedru platonician:

Tetraedron: 4 X (360-4X60) = 720

octoedrului: 6 x (360-4X60) = 720

Cube: 8 X (360-3X90) = 720

icosaedrul: 2 X (360-5X60) = 720

Dodecadron: 20 x (360-3X108) = 720

Coincidenţă?

nr, sa teorema Gauss-Bonnet la locul de muncă! teorema Gauss-Bonnet se referă curbura total o suprafaţă, care este integrat pe curbura suprafaţă, cu topologia acesteia. Aceasta afirmă că curbura total o suprafaţă este egală cu 2π ori caracteristica lui Euler. Doar pentru a verifica quartic lui Klein:

Klein: 56 x (360-3X180X5 / 7) =-4X360

Puterea acestei teoreme este că funcţionează indiferent de modul în care ne deformează suprafaţă, sau pentru a adăuga plăci suplimentare:. Suma a deficitelor unghiulare rămâne aceeaşi
OK, deci acest lucru înseamnă că hiperbolică tilings ţiglă pe o suprafaţă de curbură negative. Dar ar fi frumos dacă această suprafaţă a avut constant curbură negativ, la fel ca sfera are curbură constantă pozitivă. Cauta pentru o astfel de suprafaţă, vom rula rapid într-o descurajare teoremă din cauza Hilbert : Nu există nici o suprafaţă complet regulate de curbură negativă constantă în 3 dimensiuni. Cu toate acestea, în timp ce citesc unele lucruri fascinante pe Ambalaje Circle, nu am putut ajuta gândire trebuie să existe o suprafaţă cu curbura constanta negativ, care pot fi generate folosind algoritmi de cerc de ambalare. Mai ales, aşa-numita Schwarz suprafaţă P privit suspicios ca mi carton suprafaţă octaedrice Klein.
În acest moment, trebuie să menţionez că suprafaţa Schwarz are curbura medie constantă, dar nu constantă Gaussian curbură. Putem aproximative suprafaţă la nivel local în coordonatele corespunzătoare (x, y), astfel cum:

z = ax 2 +b y 2.

(x şi y nu sunt neapărat ortogonale, în acest caz)

Apoi curbură medie este (a + b), în timp ce Gauss curbura este un b*a.

Faptul acesta are onoarea de a fi numit "Egregium Theorema" a lui Gauss.curbura medie este important, deoarece o suprafaţă de zero curbură medie, numit suprafaţă minimă, este o proprietate de bule de sapun (dacă acestea nu sunt sub presiune ca într-un balon sferic). Multe dintre fotografii sunt suprafeţe minime pe web. Reţineţi că curbură medie zero, este compatibil cu curbura negativa Gaussian. Gaussian curbură este, de asemenea, numit curbură intrinsecă, deoarece aceasta poate fi determinată în mod complet independent de spaţiul în care suprafaţa este încorporat inch Trebuie doar sa stii deficitele unghiulară la fiecare punct, în timp ce pentru curburilor extrinseci, trebuie să cunoaşteţi coordonatele punctului in 3D, sau orice spaţiu care vă aflaţi.

Aşa că am stabilit să deformeze suprafata Schwarz folosind cercul meu de ambalare algoritm. Într-o pagină separată, voi vorbi despre acest algoritmi. Dar aici, voi merge direct la rezultatele finale, prima imagine este de mai jos:

Pentru a vizualiza acest interactiv în 3D, folosind VRML, faceţi clic aici.

(figura Extra pentru motive legate de motoare de căutare)

Imaginea arată cum o (6,4) Tigla hiperbolică acoperă o suprafaţă decurbură constantă Gaussian! În plus, suprafaţa poate fi folosit în mod evident ca o celulă elementară în mod infinit de poliedre. În acest caz, (4,6), infinit poliedru, precum şi este dublă (6,4) infinit poliedru, poate fi văzută ca o Tigla de o suprafaţă formată din unităţi cum se vede mai sus. Note: Suprafaţa are 8 hexagoane congruente hiperbolice, care au unghiuri de 90 grade la colţurile lor. cifră poate fi, de asemenea, văzută ca 12 pătrate hiperbolic hexagoane sunt împărţite în 12 congruente (π / 4, π / 6, π / 2) triunghiuri. nodurile din triunghiuri mici sunt centre de cercurile de ambalare cerc. La fiecare din nodurile, deficitul unghiulare, ponderată în funcţie de zona de cerc de ambalare, este acelaşi. Dacă vă tăiaţi oricare dintre cele 96 triunghiuri hiperbolic, ai putea lipici-l exact pe partea de sus a oricărei alte, deoarece acestea sunt congruents hiperbolic.

Cercul de ambalare din fiecare din cele 96 triunghiuri hiperbolic este acelaşi: ele au aceleaşi ca razele soluţie.

Un model de carton:

Deoarece suma unghiurilor de la fiecare nod este mai mare de 360 de grade, am avut a utiliza un model zig-zag de triunghiuri, astfel încât fiecare nod este la o reducere-line, după cum se arată mai jos.

Aici este suprafata construita, cu o tesselation pătrat. Aceasta se bazează un cerc de ambalare cu cercuri orthoganlly intersectează.

O reţea de aceste obiecte legate între ele:

de suprafaţă are proprietatea remarcabil că "găurile" din Lattice sunt congruent cu zăbrele!

se proprietate de auto-completare apare deoarece este complementul de asemenea, gresie de exact aceleaşi triunghiuri hiperbolic. Proprietatea de auto-complementaritate este, de asemenea, prezent în strâns legate de suprafaţă Schwarz, şi în (4,6), infinit poliedru şi (6,4) poliedru infinit. Aceste 4 suprafeţe fac parte dintr-o familie care poate fi deformat în mod continuu într-un altul, mentinand in acelasi timp de sine-complementaritate, un pic ca de sine complementare Desene Escher.

(Wikipedia imagine) Un "fagure bitruncated cubi", sau (6,4) infinit poliedru, parte din familia de auto-complementare.

Totuşi, o altă suprafaţă interesante legate, o suprafaţă dublă a hotărât, de asemenea, complementare de sine:

Am văzut această suprafaţă pe Tadeusz Dorozinski site-ul lui. Am decis sa fac un model rapid şi murdar din şir şi bastoane.

Fiecare plasture rombic în model este un paraboloid hiperbolic, care este o suprafaţă curbe care pot fi realizate din 2 seturi de linii drepte. N-am făcut toate de-al doilea (verde), instituit, deoarece acest lucru ar fi destul de un pic de lucru.

O modalitate de a vedea că complementaritatea sine fabrică, este faptul că atât suprafaţa de primar şi de suprafaţă complementare sunt generate de aceeaşi simetrie, plus un triunghi delimitate de axă, precum şi oglinzile.Orice triunghi delimitate de axă, precum şi oglinzile va produce o auto suprafaţă complementare. Mai jos este o imagine a avionului reflecţie şi axa de rotaţie.

familie de auto-complementare de toate suprafeţele împărtăşesc acelaşi grup de simetrie. Acest grup de simetrie pot fi generate de avioane reflecţie 2, şi o rotaţie de 180 de grade. Avioane de reflecţie şi axa de rotaţie înconjoară un domeniu fundamental al grupului de simetrie (rosu / galben gresie)

Aici este o redare a cercului de ambalare corespunzătoare, fiecare cerc reprezentat de o sferă.

Pentru a ajunge mai sus în VRML, faceţi clic aici.

(figura Extra pentru motive legate de motoare de căutare)

Deci, ce sa întâmplat cu teorema lui Hilbert? Nu este această suprafaţă ar trebui sa fie imposibil?! Ei bine, centre de hexagoane sunt un pic dificil. Ele sunt ceea ce eu numesc "puncte ripple". Dacă ne potrivim din nou un plan euclidian la aceste puncte, avem la nivel local (în prezent în coordonate polare)

z = AR 2 cos (3 * theta)

Un model ondulate de wavenumber 3 în jurul valorii de origine.

pe orice linie prin origine, ne-am

d 2 z / DS 2 = 2a.

Deci, într-un sens, z coordonate este o funcţie netedă de (x, y). Cu toate acestea, nu putem găsi o bună aproximare a pentru forma:

z = ax 2 + prin 2.

Deci, nu avem o formulă pentru curbură extrinseci cu privire la aceste puncte. În timp ce, desigur, curbură intrinsecă este perfect bine definit de a deficitului unghiulare. Deoarece punctele de unda nu au nici o curbură extrinseci, ele nu sunt "obişnuite" în sensul de teorema lui Hilbert. Deci, Hilbert a avut dreptate, dar putem face încă suprafeţe foarte frumos de curbură constantă negativ Gaussian, dacă vom permite "puncte ripple".

Dintr-o reacţie de la Dan Asimov, am învăţat să teorema încorporarea Nash Kuiper. Acest Theo
rem afirmă că există C 1 embeddings izometrice a planului de hiperbolice ca o suprafata complet în 3-spaţiu. (Teorema lui Hilbert este de aproximativ C 2 embeddings izometrice). "Izometrice" lungimi mijloace sunt conservate, C 2 înseamnă de două ori derivabile.
I-am supus-am găsit este şa Monkey. Aceasta este aproape ca un punct de undă, cu excepţia faptului că toate curbură merge la zero în "punctul de şa Monkey". Algoritmul de ambalare cerc adaptează dimensiunea fiecărui cerc, astfel încât deficitul unghiulară a triunghiurilor formate prin conectarea cercul de vecinii săi este egală cu o valoare prescrisă. Raze Algoritmul rezultate, din care un set de lungimi margine urmează: un avantaj are o lungime egală cu suma de razele de nodurile se conecteaza. De la marginea lungimi, avem nevoie să reconstituie suprafata, folosind un alt algoritm. Acest algoritm foloseşte două "forţe" proporţională cu lungimea marginea de eroare pentru a muta coordonatele vârful în direcţia cea bună. Aceasta produce uneori suprafeţe mototolită, cum ar fi de mai jos:

Aceste suprafeţe au mototolite curbură corect intrinsecă, dar curbura extrinseci este o mizerie. Pentru a evita deformează, se adaugă o forţă care încearcă să păstreze unghiuri faţă minim. această forţă trebuie să fie relaxat la zero ca progresul iteraţii, astfel cum acestea nu ar trebui să perturbe soluţia la cercul de ambalare.

Mai jos este o parte a versiunii constanta curbura Gauss a Schwarz D-Suprafata:

D-Schwarz este suprafaţă, cum ar fi P-suprafaţă, o suprafaţă minimă triplu periodice. Aşa cum am aflat de la o discuţie cu Stephen Hyde, puteţi lua un hexagon hiperbolic din P-Schwarz suprafaţă, şi-l deformeze isometrically (egalitate îndoiţi modelul de hârtie), astfel încât cele 6 părţi acordă până la 6 marginile drepte ale unui cub. I''ll acest site să fie mai mult de această curând,

Când am început să fac ambalaje cerc, scopul meu a fost la ţiglă pe o suprafaţă de curbură negativă constantă cu 24 heptagons. Deci, aici este:

Pentru a vizualiza acest interactiv în 3D, folosind VRML, faceţi clic aici.

Aici este o redare a cercului de ambalare:

Dacă vă tăiaţi oricare dintre cele 336 de triunghiuri hiperbolic, ai putea lipici-l exact pe partea de sus de oricare alta, pentru că acestea sunt congruents hiperbolic.Cercul de ambalare din fiecare din cele 336 de triunghiuri hiperbolic este acelaşi: ele au aceleaşi ca razele soluţie. Acelaşi lucru este valabil pentru cele 24 de heptagons, iar acestea nu au nici măcar să fie îndoit: Ei, de asemenea, identice în extrinseci un sens.

Relaţia dintre N-dimensionale Grile si tilings

Tilings poate părea varianta simpla a analogilor lor dimensionale superioare, N-dimensionale paravane. Dar există un mod surprinzător, în care tilings descriu de fapt structuri de dimensiuni 3 şi mai mare! Avem un indiciu al prezentei deja, atunci când am discutat că toate grupurile finite simplu sunt tessellations de suprafete Riemann:. Aşa că, dacă un spaţiu mai mare dimensiune a unui grup de simetrie, trebuie să fie, de asemenea, legate de o Tigla
O modalitate de a vedea paravane într-o suprafaţă Tigla este prin observaţia că reflecţiile consecutive în cercuri care nu se intersectează sunt traduceri. Ca un exemplu, proiect (6,4), Tigla privind sfera Riemann, stralucind de o lumina imaginar de la centru prin intermediul suprafeţei de translucid, aşa cum se arată mai jos.

Proiecţia Schwarz P-pe suprafaţă în sfera Riemann.

Înainte, am proiect modelul pe sfera Riemann nostru de proiectare stereographic de obicei pe planul. Ne-am ceva de genul octoedrul redus: 8 hexagoane, cu 6 patrate, dar pătrate sunt "gauri". Asiguraţi aceste gauri in cercuri, cercuri şi de a folosi ca reflectoare. În 3D, aceste reflecţii sunt doar cele care generează traduceri din Lattice Schwarz_P. În 2D, reflecţii sunt din nou inversiuni cerc. În imaginea de mai jos, cercurile obţinute sunt generatoare de culoare neagră.

(6,4) Tigla, cu linii negre reprezentând reflecţii care să genereze traduceri. Limitele triunghi care sunt de culoare verde (de exemplu, nu albastru sau rosu) sunt cercuri, la fel ca curbele roşu, albastru şi negru, dar ele nu corespund inversiuni cerc reale în planul complex. Dacă ar fi fost, ne-ar fi obţinut discul de obicei gresie Poincarre cu (6,4,2), triunghiuri.

Aşa că am făcut figură, arată de fapt un grilaj întreg infinit 3D, în 2D! De fapt, placare este o acoperire multiplu de Lattice 3D. În placare, de exemplu, UP-STANGA este conduce la o piesa diferita de STANGA-UP, în timp ce în reteaua de 3D, aceste placi coincid, altă remarcă despre figura de mai sus este faptul că arată diferit de cea obişnuită (6,4) Tigla a discului Poincarre. Dacă a genera un Tigla de reflecţii în laturile unui (π / 2, π / 4, π triunghi / 6), veţi obţine întotdeauna discul Poincarre. Dar în imaginea de mai sus, n-am folosi reflecţii în linii verzi, numai în linii roşii, negre şi albastre. În acest sens, este un "grup patrulaterul": Acesta este generat de reflexiile pe laturile de patrulatere, fiecare cu o linie verde graniţă ca o diagonală a patrulaterului. Cred că acest lucru Tigla este izomorf cu (2,4,6 ) triunghi de grup. Dar mai arată în mod clar relaţia cu zăbrele 3D.

Stephen Hyde are unele frumos la articolele line pe site-ul său care exploatează să facă legătura între tilings 2D şi 3D, paravane să ajute la înţelegerea acestuia din urmă. Grile ca acestea sunt o temă de cercetare activă în chimie. Un alt fapt interesant am învăţat de la articole de Stephen Hyde lui, este că există suprafeţe într-chimie, care de fapt, încearcă să reducă la minimum variaţiile în curbură gaussiană (privind unele valoarea medie), mai degrabă decât curbura medie.

" perlele lui Indra " modele sunt, de asemenea, legate de latex: Ele sunt generate de 2 perechi de inversiuni cerc, astfel încât acestea să descriu paravane 2D.

Am încercat a face o gresie grilaj isometrically cu (7,3).

Am incercat sa cuplul modelului un pic, astfel încât se conecteaza pentru a construi un poliedrice infinit "zeolit" structura. Acest lucru nu pare să lucreze fără crumpling.

Cifrele Klein Quartic nu se potrivesc destul de într-un grilaj.

Integrarea izometrice a planului de hiperbolice.

Jucând cu ambalaje cerc, m-am întrebat dacă aş putea face de fapt, o integrarea izometrice a planului de hiperbolice. Randări numai eu ştiu că sunt pe linia sunt aceste modele crosetate.
Începeţi cu o Tigla (5,4). Dacă încercaţi lipirea acest Tigla cu pentagon, vă găsiţi rapid că modelul tinde să mai şi mai ghemuiesc într-un mod aparent necontrolată. Pentru a crea o anumită ordine, am venit cu un model de pliere. Împărţiţi pentagon (excl. "elementul central"), în 2 tipuri, pe care le culoare roşu şi verde. Roşu şi verde, pentagon sunt îndoite aşa cum se arată în fotografia de mai jos, care sunt (din motive de lipire), bazat pe o versiune arhimedian (5,4,4,4). Fiecare pentagon verde are, apoi 3 "copii" în direcţia radială pasivă ( R ), 2 verde şi unul roşu. Pentagon roşii au 5 copii, 3 verde si 2 rosii. Acest model poate repeta la nesfârsit, rezultând un model ondulat, cu tot mai wavenumber tangent cu creşterea R. Un model de carton este prezentat mai jos.

Fotografii ale unui model pentru o pliere integrarea izometrice a planului de hiperbolice. Numai inele concentrice de primul pentagon sunt construite.

Înainte, am lăsat pierde cercul de ambalare algoritmul pe acest model de pliere. Algoritmul începe cu o soluţie pentru un cerc de ambalare care are constant negativ curbură Gaussian. Acest ambalaj este doar un set de raze şi o topologie de conexiune. Următorul algoritm încearcă să încorporaţi de ambalare, prin adaptarea coordonatele de vârfuri, astfel încât fiecare latură este suma razelor asociate cu cele 2 noduri se conecteaza. Mai jos este rezultatul.

Acordarea unei integrarea izometrice a planului de hiperbolice, bazat pe un model similar de sine pliere a placare (5,4). Numai inele concentrice de primul pentagon sunt construite.

Inel suplimentar de pentagon (click pentru marire)

Nu ştiu sigur că imaginea este de fapt o încorporarea C1 izometric, dar se pare rece oricum. Autor Mai jos este o "carn" versiune a suprafeţei Klein. (7,3,3,3) M-am gândit pentru o vreme că se poate construi un i nfinite skew poliedru. Dar, din păcate, triunghiuri se dovedesc a fi nu tocmai echilateral. Cu toate acestea, eu nu simt ca a şterge imaginea doar încă:

Când am fost în vacanţă, am avut unele heptagons cu mine pentru a construi quartic Klein. Vincent Lokin mi sa alăturat în lupta mea. El a tăiat până anvelope motocicleta lui (care a fost scurgeri), şi a început curajos semănat piesele împreună. În acel moment, am avut nici o idee ce quartic Klein ar trebui să arate, aşa că am gândit că poate dacă ne unim doar totul impreuna, din cauciuc flexibil ar mucegai lucrurile în mod corect. Din păcate, aceasta este destul de dificil. Mai jos este "al nostru

Zen şi arta de geometrie Motociclete "Vincent sugerat. Numele de" 24-7 ". (El este un bancher, aşa că îi place de 24 de ore 7 zile pe economie pe săptămână.)

Cu vederea din spate, comportamentul de cauciuc, probabil, nu este de ajutor pentru găsirea unui suprafaţă hiperbolic. lucru este, suprafeţele eliptic încearcă să reducă la minimum zona maximizând în acelaşi timp volumul închis Ştim cu toţii cum ceva devine vs când îl umfle.. Dar suprafeţe hiperbolice au "prea mult" de suprafaţă. realizări Majoritatea 3D de pe această pagină au zero, de volum; hârtia este îndoită astfel încât partea din spate atinge partea din spate a o altă parte a suprafeţei suprafeţe hiperbolice încercaţi pentru a maximiza zona.

Dar se poate face: Eveline sequin a reuşit să însămânţare o pilotă Quartic!

În cele din urmă, o animaţie de o transformare Mobius Poţi. faţa locului 2 puncte fixe?