Science | WebHostingGeeks.com: Klein poliedre

Source: http://keithbriggs.info/klein-polyhedra.html

Документ без названия

Eu lucrez în $R ^ 3_ hphantom {{3}}... (22,1)$ , şi în grilaj $} ^ {Z 3... (22.2)$ încorporat în ea. Luaţi în considerare trei avioane cu (nu neaparat unitate) normalele $alpha_i \; (i = 1,2,3)... (24,1)$ prin origine. Luaţi în considerare octant definit de $alpha_i ({bf} x)> 0... (26,1)$ . Acum, formularul convexă şi a punctelor de $} ^ {Z 3... (22.2)$ (excl. de origine) conţinute în acest octant. Aceasta este poliedru Klein a cubi formularul Klein poliedre sunt, de asemenea, cunoscute sub numele de Arnold vele sau voaluri ( voiles în limba franceză). Acestea au fost propuse peste 100 de ani în urmă de către Klein, dar au devenit doar de interes din nou, în ultimii 10 ani.

alfa (x) = alpha_1 (x) alpha_2 (x) alpha_3 (x)... (30,1)

alfa (x) = alpha_1 (x) alpha_2 (x) alpha_3 (x)... (30,1)

Pentru a vizualiza un poliedru Klein, vom lua o piesă finită în apropiere de plecare sau de aplatiza piesa de pe un avion pentru a produce imagini, cum ar fi în următoarea secţiune. Mai precis, pentru fiecare punct vertex x în convexă, lăsăm şi şi complot. Astfel, astfel încât prin reprezentarea grafică a două componente avem informaţii complete. (În câteva cazuri am parcelă de alte coordonate decât 1 şi 2, în scopul de a compara cu rezultatele publicate.) Acestea sunt unite prin linii drepte. Aceste linii ar fi curbate dacă acestea au fost proiecţiile adevărată a marginilor de convexă, dar imaginea este mai clară cu linii drepte. Puncte negre în cadrul chipurile sunt puncte de convexă şi care nu sunt puncte limită de o fata. Feţele sunt colorate în funcţie de tipul, într-o încercare de a face periodicitatea clar. Uneori, acest colorant poate merge prost de la margini.
$y = | alfa (x )|^{- 1 / 3 x}... (39,1)$
$z = ({| alpha_1 ({bf y })|},{| alpha_2 ({bf y })|},{| alpha_3 ({bf y })|})... (41.1)$
(Z_1, z_2)... (42,1) z_1 z_2 + + z_3 = 0... (43,1) z... (45,1)

Principalul punct de interes este faptul că modelele sunt periodice ddacă avionului sunt legate într-un domeniu complet reali număr cubi. Relaţia exactă este discutat în documentele de Lachaud şi Korkina referire de mai jos.

Obiectiv

Interesul meu principal a fost dezvoltarea de algoritmi pentru construirea aceste cifre. Există un algoritm în teza de J.-O. Moussafir face referire mai jos, dar eu nu-mi place atat de mult acest lucru, deoarece acesta funcţionează cu aproximări raţionale pentru avioane, si am fost interesat de avioane iraţionale. După o mulţime de experimente cu calcul exact convexă şi de seturi foarte mari de puncte cu coordonate integral, am gasit am avut cel mai bun succes cu coca programului de către Ken Clarkson.

Exemple

Unele dintre exemplele sunt luate din documentele în bibliografia de mai jos. Pentru fiecare exemplu, dau polinomului generator p... (71.1)

de câmp cubi si o matrice a cărei coloane dau coeficienţii a vectorilor normale. În unele cazuri, dau de asemenea, o (simetrice şi unimodular, dacă este posibil) integrantă matrice m a căror caracteristică este polinomul p... (71.1)

. În aceste cazuri, noi ştim că teorema lui Korkina (THM 3.5 de la pagina 135 din [Korkina 1995]) se aplică, astfel că modelul are două perioade.

Exemplu 0

Korkina MR97j: 11032 pagini 129ff ( MathSciNet de căutare )

$t_1 = (2), \; t_2 = (4 / 7), \; t_3 = (6 / 7)... (92,1)$
$8t ^ 3 +4 t ^ 2-4t-1, \; d = 49 = 7 ^ 2... (93,1)$

Exemplul 1

Parusnikov MR99f: 11083. Pagina 456
grafic: (2z_2-z_1-z_3, z_1-z_3)... (117.1)

(greşeală de tipar pe suport de hârtie?)

Radacini

de $x ^ 3 +2 x ^ 2-2x-2, \; d = 148... (123.2)$ (clasa a 3-extremale Davenport), , M = [0,1,1; 1,0,0, 1,0, -2]... (123.3)

Exemplul 2

Parusnikov MR96a: 11061 Pagina 999

$t_1 = (2 / 7), \; t_2 = (4 / 7), \; t_3 = (6 / 7)... (153.1)$
$8t ^ 3 +4 t ^ 2-4t-1, \; d = 49 = 7 ^ 2... (93,1)$

Exemplul 3

Parusnikov MR96a: 11061 Pagina 1002

$t_1 = 2 (7 / 9) \; t_2 = 2 (5 / 9) \; t_3 = 2 (/ 9)... (184.1)$
$T ^ 3-3T-1, \; d = 81 = 9 ^ 2, \; m = [-1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0]... (185.1)$

Exemplul 4

Parusnikov, poliedre Klein cu fete mari, pagina 6
reprezentate grafic: (2z_2-z_1-z_3, z_1-z_3)... (117.1)

Radacini de (clasa a 4-Davenport extremal) $x ^ 3 +9 x ^ 2 +6 x-1, \; d = 3969 = 63 ^ 2... (216.1)$

Exemplul 5

Aceasta este prima dintr-o serie de exemple (cu excepţia exemplu, 10) în cazul în care vom rula prin campurile complet reali cubi în ordinea discriminantului astfel cum sunt enumerate în apendicele B din Cohen carte e un curs de teorie de calcul numărul de algebrice, incepand cu discriminantului 169. Până la 961 discriminantului, o baza integral este întotdeauna dat de (1, x, x ^ 2)... (246.1)

, în cazul în care x... (246.2)

este o rădăcină a polinomului definire. Astfel, cu excepţia cazului nu se prevede altfel, de acum pe matricea este întotdeauna de aceeaşi formă ca acest exemplu.

Rădăcinile $x ^ 3-x ^ 2-4x-1, \; d = 13 ^ 2 = 169, \; m = [-1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 0]... ( 255.1)$

Exemplul 6

$x ^ 3-4x-1, \; d = 229... (284.1)$

Exemplul 7

$x ^ 3-5x-3, \; d = 257... (296.1)$

Exemplul 8

$x ^ 3 + x ^ 2-4x-2, \; d = 316, \; m = [0, 0, 1, 0, -2, 1, 1, 1, 1]... (308.1)$

Exemplul 9

$x ^ 3 + x ^ 2-4x-1, \; d = 321, \; m = [0, -1, 1, -1, 1, 0, 1, 0, -2]... (320.1)$

Exemplul 10

Parusnikov, poliedre lui Klein pentru formularul extremale cincea cubi, pagina 6.

$x ^ 3 +4 x ^ 2-25x-1, \; d = 8281 = 91 ^ 2... (333.1)$

Exemplul 11

$x ^ 3 + x ^ 2-6x-7, \; d = 361... (346.1)$

Exemplu 12

$x ^ 3-x ^ 2-5x-1, \; d = 404, \; m = [0, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, -1]... (357.1)$

Exemplul 13

$x ^ 3 + x ^ 2-5x-4, \; d = 469, \; m = [0, 2, 1, 2, 0, 0, 1, 0, -1]... (368.1)$

Exemplul 14

$x ^ 3-5x-1, \; d = 473, \; m = [-1, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 0, -1]... (379.1)$

Exemplul 15

$x ^ 3 + x ^ 2-5x-3, \; d = 564, \; m = [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, -2]... (390.1)$

Exemplul 16

$x ^ 3-3x ^ 2-7x +1, \; d = 568, \; m = [0, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2]... (404.1)$

Exemplu 17

$x ^ 3-6x ^ 2 +6 x +1, \; d = 621, \; m = [3, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1]... (415.1)$

Exemplul 18

$x ^ 3 + x ^ 2-16x-5, \; d = 697, \; m = [1,3,2; 3,0, -1, 2, -1, -2]... (427.1)$

Exemplul 19

$x ^ 3 + x ^ 2-7x-8, \; d = 733, \; m = [1,1, -2, 1,2, -2, -2, -2,3]... (439.1 )$

Exemplu 20

$x ^ 3 +3 x ^ 2-9x +1, \; d = 756, \; m = [0,1,0; 1, -4, -2, 0, -2,1]... (451.1)$

Exemplul 21

$x ^ 3-x ^ 2-6x-1, \; d = 761... (463.1)$

Exemplul 22

$x ^ 3 +2 x ^ 2-5x-1, \; d = 785, \; m = [2,3,2; 3, -1, -1, 2, -1, -1]... (475.1 )$

Exemplul 23

$x ^ 3-x ^ 2-7x-3, \; d = 788, \; m = [-2, -1,3, -1,0,1, 3,1,1]... (487.1)$

Exemplul 24

$x ^ 3-6x-1, \; d = 837, \; m = [1,2,1, 2, -1,0; 1,0,0]... (499.1)$

Exemplu 25

$x ^ 3 + x ^ 2-8x-10, \; d = 892... (511.1)$

Exemplul 26

$x ^ 3-7x-4, \; d = 940... (523.1)$

Link-uri

VI Arnold | AD Bruno | FC Klein | J.-O. Moussafir

Bibliografie

Unele sunt preprinturi de Institutul Keldysh al Academiei Ruse de Ştiinţe, Moscova.

[AO82]: H. Appelgate şi H. Onishi. Extinderea periodică a modulelor şi relaţia acesteia cu unităţi. J. Num. Th., 15:283-294, 1982.
[Arn98]: V. I. Arnold. Dimensionale superioare fracţiunile a continuat. Dinamica regulate şi haotic, 3:10-17, 1998. MR 2000h: 11012.
[BP94a]: A. D. Bryuno şi V. I. Parusnikov. Klein poliedre pentru forme de Davenport două cubi. Mat. Zametki, 56 (4) :9-27, 156, 1994.
[BP94b]: A. D. Bryuno şi V. I. Parusnikov. Polyhedrals Klein pentru două forme Davenport cubi. ia act de matematică, 56 (3-4) :9-27, 1994. 96a: 11061.
[BP97]: A. D. Bryuno şi V. I. Parusnikov. Comparaţie de generalizări diferite fracţiuni au continuat. ia act de matematică, 61:278-286, 1997. (A fost Keldysh Institutul de RAS, înainte de tipar 52 din 1994).
[Buc87]: J. Buchmann. La calculul de unităţi şi a numerelor de clasă de către o generalizare a algoritmului lui Lagrange. J. Teoria număr, 26:8-30, 1987.
[Coh78]: H. Cohn. Inel oficială de-un unghi solid cubi. J. Num. Th., 10:135-150, 1978.
[HP00]: U. Halbritter şi M. E. Pohst. Pe baze zăbrele cu proprietăţi speciale. J. de Theorie des Nombres de Bordeaux, 12:437-453, 2000.
[HW97]: M. Henk şi Weismantel R.. Bazele Hilbert de conuri şi aproximări simultană Diophantine şi ecuatii liniare Diophantine. Raportul tehnic SC 97-29, Konrad Zuse-Zentrum für-Informationstechnik Berlin, Berlin, 1997.
[HW01]: M. Henk şi Weismantel R.. Aproximări Diophantine şi puncte întreg de conuri. Raport tehnic, TU Wien, Wien, 2001. să apară în Combinatorica.
[Isl01]: Iman iSlim. Sur les uneşte et les polyèdres de Klein en Theorie des algébrique nombres. Teza de doctorat, Université de la Méditerranée Aix-Marseille II, Faculté des Sciences de Luminy, 2001.
[Kle95]: F. Klein. Über eine geometrische Auffassung der gewöhnliche Kettenbruchentwicklung. Nachr. GES. Wiss. Göttingen Math-Fiz. KL., 3:357-359, 1895.
[Kle96]: F. Klein. Sur une reprezentare géométrique du Développement fracţiune en continua ordinaire. Nouv. Ann. Math., 15 (3) :327-331, 1896. [Nu paginile 321-331 la fel de des citată].
[Kor94]: E. Korkina. La périodicité fracţiunile des continuă multidimensionelles. CR acad. Sci., 319:777-780, 1994. MR 95j: 11064.
[Kor95]: E. I. Korkina. Două-dimensional fracţiunile au continuat. Cea mai simplă exemple. Proc. Institutul de Matematică Steklov, 209:124-144, 1995. MR 97k: 11104.
[Kor96]: E. I. Korkina. Cel mai simplu 2-dimensionale fracţiune a continuat. J. Math. Sci., 82 (5) :3680-3685, 1996.
[KS]: M. L. Kontsevich şi Yu. M. Suhov. O nouă abordare a fracţiunile multidimensionale a continuat. Universitatea din Cambridge înainte de tipar, fără dată, c1998.
[KS99]: M. L. Kontsevich şi Yu. M. Suhov. Statistica de Klein poliedre şi multidimensională a continuat fracţiunile. Am. Math. Soc. Trans., 197:9-27, 1999.
[Lac93]: G. Lachaud. Polyèdre d'Arnol'd et voile d'un con simplicial:. Analogi du théorème de Lagrange CR acad. Sci. Paris, 317:711-716, 1993. 94 milioane: 11081.
[Lac98a]: G. Lachaud. Poligoane Klein şi diagrame geometrice. În matematică contemporană, volumul 210, paginile 365-372. 1998. MR 99A: 11086.
[Lac98b]: G. Lachaud. Vele şi Klein poliedre. În matematică contemporană, volumul 210, paginile 373-385. 1998. MR 98k: 11094.
[Mou00]: J.-O.. Moussafir Voiles et Polyèdres de Klein: geometrie, Algorithmes et Statistiques. Teza de doctorat, Université Paris 9 - Dauphine, 2000.
[Oka93]: R. Okazaki. La o determinare eficace de descompunere o Shintani a conului R n +. J. Math. De la Kyoto Univ., 33-4:1057-1070, 1993.
[Par95]: V. I. Parusnikov. Klein poliedre pentru a treia formă ternar cubi extremal (rusă). Raportul tehnic 137, Keldysh Institutul de RAS, Moscova, 1995.
[Par97]: V. I. Parusnikov. Klein poliedre cu feţe mari (rusă). Raportul tehnic 93, Keldysh Institutul de RAS, Moscova, 1997.
[Par98a]: V. I. Parusnikov. Klein poliedre pentru formulare completă se descompun. În K. Györy, Petho A., şi Sos. V., editori, teoria numerelor. Aspecte Diophantine, de calcul şi algebrice, procedurile de conferinţei internaţionale a avut loc la Eger, Ungaria 1996, Berlin, New York, 1998. Walter de Gruyter. MR 99f: 11083.
[Par98b]: V. I. Parusnikov. Klein poliedre pentru formularul extremale cincea cubi (rusă). Raportul tehnic 69, Keldysh Institutul de RAS, Moscova, 1998.
[Par99]: V. I. Parusnikov. Klein poliedre pentru formularul extremale saptea cubi (rusă). Raportul tehnic 79, Keldysh Institutul de RAS, Moscova, 1999.
[Par00]: V. I. Parusnikov. Klein poliedre pentru formularul extremale patra cubi (rusă). Matei. Zametki, 67 (1) :110-128, 2000. (A fost Keldysh Institutul de RAS, înainte de tipar 36 din 1998).
[PWZ82]: M. Pohst, P. Weiler, şi H. Zassenhaus. La calculul fundamentale eficientă a unităţilor de al II-lea. Math. Comp., 38:293-329, 1982.
[Shi76]: T. Shintani. La evaluare a funcţiilor zeta de domenii complet reali număr algebric la non-pozitiv întregi. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect IA, 24:393-417, 1976.
[Smi74]: H. J. S. Smith. Notă cu privire la fracţiunile continuat. Mesagerul de Matematica, 6:1-13, 1874.
[Suh00]: Yu. Suhov. Multi-dimensionale fracţiunile au continuat. webseminar 2000.
[Tsu83]: H. Tsuchihashi. Mai mare analogi dimensionale ale fracţiilor periodice a continuat şi singularităţi oscilante. Tohoku Math. J., 35:607-639, 1983.
[TV80]: E. Thomas şi A. T. Vasquez. La o rezoluţie de singularităţi oscilante şi descompunerea Shintani în domenii complet reali număr cubi. Math. Ann., 247:1-20, 1980.
[Zag77]: D. Zagier. Valeurs des fonctions zeta des corps quadratiques rolele aux entiers négatifs. Astérisque, 41-42:135-191, 1977.

Această pagină a fost modificată 26 septembrie 2005 (marţi) 09:52 de către Keith Briggs

Useful Info

Klein poliedre