Dènye Teyorèm Fermat an

Source: http://www.mathematik.de/ger/information/forschungsprojekte/kramerfermat/kramerfermat.html

- Solisyon an nan yon ane 300 pwoblèm fin vye granmoun -

Jürg Kramer, Humboldt-Inivèsite

19.04.1996 Prezantasyon Urania Bèlen an,

Premye Entwodiksyon

Trennen sa a pale sou dènye devlopman yo sansasyonalis an koneksyon avèk konjekti a rapòte pa Fermat. Sa a konjekti eta ke pa gen okenn diferan de zewo nonm antye relatif yon, B, C ki satisfè ekwasyon an

Ase Si n a ekspozan ki pi konsekan pase de. Fermat te fè konjekti l 'sou ane a 1637 alantou li, se konsa plis pase 350 zan.

Pierre de Fermat te sou 20 Out 1601 nan sidwès vil la franse nan Beaumont de Lomagne fèt. Nan pou mande ki te pou papa l ', li pran kouri dèyè yon karyè legal ak te vin nan 1631 konsèy oswa parleman de Toulouse a nonmen. Fermat tou te sèvi kòm yon jij nan Toulouse. Li pa t 'gen lanbisyon, politik, ak olye li te konsakre tan amizman l' yo nan matematik, ki gen ladan nimewo teyori, ki te esansyèlman ki soti nan travay la nan Diophantus nan 3rd a Version, Arithmetica a, te kolekte kontribisyon. Se konsa, li te pase ki Fermat Claude Gaspar Bachet an 1621 ki fenk bay Arithmetica nan Diophantus etidye an detay ak nan vire wrote yon seri antye nan obsèvasyon sou kwen nan kopi pèsonèl li. Pifò nan sa yo obsèvasyon yo te trè preliminè yo, men yo tout te apre lanmò nan Fermat pwouve rigoureuse eksepte pou yon sèl la, nan entwodiksyon an ki sipozisyon, ki te rete prouve jouk 1995. Solisyon sa a devinèt dènye nou dwe Britanik la nan Princeton (New Jersey, USA) ansèyman matematisyen Andrew Wiles, ki te pou plis pase sèt ane, rechèch l 'sou pwoblèm sa a konsantre epi finalman rekonpans ak Richard Taylor ak yon prèv ke yo te konjekti Fermat an yo e nou ap nan pati an dezyèm nan konferans sa a kouvri l '. Pierre de Fermat te viv pou prèske trant yon lòt ane apre dekouvèt pi popilè l ', li devlope nan tan sa a bò kote tou kontribisyon enpòtan nan teyori nonb, teyori ak pwobabilite ak kalkil matematik diferans. Nan fen ane a 1664 Fermat te vin malad grav e li te mouri touswit apre sou 12 Januar 1665th

Dezyèm Kouman te vin atravè konjekti Fermat an?

Anvan nou reponn kesyon sa a, nou sonje teyorèm nan Pythagoras: Èske yon triyang dwat-Incline (figur 1) se yo bay nan de pati yo yon B, ak C ipoteniz la, lè sa a gen relasyon a apre Pythagoras

Sa yo bezwen kantite yo ki yon, B, C yo pa nesesèman yo dwe nonm antye; se a = 1 epi b = 2, C se se ipoteniz lan yo bay nan nimewo a irasyonèl, rasin kare pozitif pou 5 2.236 =....''

Estraòdiman, konvès la tou kenbe sa a pwopozisyon: Èske savwa yon, B, C ap twa pozitif chif reyèl, ekwasyon an (2) konfòme, se konsa nan yon triyang dwat-Incline a se youn ki gen longè segondè yo A, B, C, ki koresponn ak c ipoteniz la.

Gen kounye a rive kesyon an imedyatman, si wi ou non pozitif, natirèl nimewo A, B, C ki ekwasyon ki endike (2) rankontre. An reyalite, pifò nan nou egzanp lan a = 3, b = 4, c = 5 se li te ye, paske li se konsa

Pou Pythagoreans yo te moun tripl nonb antye ki pè (A, B, C) se patikilyèman venere paske yo koresponn ak pwopòsyon Harmony, tankou twa strings ak rapò fòm nan longè 3:4:5 yon triyad Harmony. Sa yo sa yo rele tripl Pitagò yo te pafwa, men menm Babilòn yo sou 1600 BC. li te ye, se konsa yo te kapab fè fasil konstwi ang dwat, ki rive bò kote yo nan peyi fè sondaj sou pou pi bon an.

Travay kòm deja mansyone nan Diophantus sou teyori nonb ki se kounye a kesyon an nan yon konstriksyon sistematik nan tripl Pitagò, akòz an patikilye nan kesyon an si wi ou non tripl gen anpil fini oswa enfiniman anpil sa yo. Sèvi ak lang nan fòmil aktyèl ka jwenn pwosedi a gen konsepsyon sa yo: Nou chwazi de pozitif nonm antye relatif M, N sa yo ki gen plis pouvwa pase m n, pa

kouche, kounye a nou jwenn yon nimewo Pitagò, paske ou pouvwa itilize fòmil la binòm

Rassasié. Depi youn nan m nan nonm antye yo, n nan sa a konstriksyon, apa de kondisyon an fasil rive vre m> n, ka chwazi nenpòt ki, ou kapab jwenn nan menm tan an ke li enfiniman yo diferan anpil tripl Pitagò.

Nan pasaj sa a soti nan etidye Diophantus nan travay Fermat an gen kounye a poze kesyon sa a, konbyen Lösungstripel (A, B, C) ki fòme ak nonm antye ki pozitif, paske li ta si nan ekwasyon an (2) ekspozan an 2 pa ekspozan n nan > 2 a se ranplase. Paske nan syans l 'li te vini ak konklizyon an ki anba sikonstans sa yo - nan kontra nan dosye a nan tripl Pitagò - pa yon sèl tripl tankou (A, B, C) yo. Fermat pran konesans sa a nan sa yo nòt nan pi popilè nan majinal kopi li nan Arithmetica ansanm:

Cubum otèm nan duo Cubos ot kwadrato kare nan duo kwadrato kwadwilatè BondSTRATOS et generaliter nullam Infinitum Potestates kare nan duo eiusdem nominis fas est dividere. Cuius Rei manifestasyon Mirabile detexi lisid. Hanc Marginis exiguitas ki pa caperet.

Tradiksyon Alman an nan nòt la Latin nan majinal li:

Li se enposib divize yon kib nan yon sòm de kib, yon pouvwa katriyèm an de pouvwa katriyèm, oswa nan nenpòt pouvwa jeneral ki pi wo pase de pisans nan degre a menm. M 'te fè sa a yon prèv se vre wi bèl bagay, men Marge a se twò etwat yo kenbe l'.

Third Peryòd la 1637-1980

Ki konsène yon prèv ke yo te konjekti Fermat a, yon sèl te kapab wè sèlman yon prèv ke yo te obsèvasyon Fermat an n se ekspozan an = 4. Fermat itilize isit la avèk siksè l ' metòd ki desandan enfini: Baze sou yon trip ipotetik (A, B, C) pozitif, chif natirèl ak pwopriyete a

li te konstwi yon lòt trip (a 1, b 1, c 1) pozitif, chif natirèl ak pwopriyete yo

Kontinye nan fason sa a, Fermat te kapab enfiniman tripl anpil nan pozitif, konstwi nimewo natirèl ki gen yon pati nan ekwasyon an (3) konfòme li avèk lòt men an, toujou piti, konsa dwe abitrèman piti. Akòz entegralite la ak pozitivite nan tripl yo konstwi, men sa a bay yon kontradiksyon.

Apre lanmò Fermat an nan 1665 Samyèl, pitit gason l erezman rekonèt enpòtans de dekouvèt yo nan matematik, papa l ', li te edited nan 1670 Diophantus Arithmetica ankò, men kounye a complétée pa obsèvasyon Fermat an (obsèvasyon). Way ki nan jenerasyon ki vin apre a Matematiko travay Fermat an sou teyori nimewo yo te disponib. Anpil nan obsèvasyon pa Fermat an rigoureuse pwouve yo te konplete nan sekans lan, ki gen ladan pa pi popilè matematisyen Euler a Leonhard (1707-1783). Li te tou te eseye men l 'nan konjekti Fermat an, men li plas,''sèlman yon prèv nan ka ekspozan n a = 3 Dapre lanmò Euler a te okòmansman yon kontribisyon enpòtan nan solisyon an nan konjekti Fermat an pa matematisyen Germain an Sophie (1776-1833), ki moun ki te fòse nan tan sa a, travay li yo anba psedonim a gason nan Monsieur Le Blanc pibliye. Nan lane 1825, lè sa a jere yo Adrien-Marie Legendre (1752-1833) ak - poukont li nan men l '- jenn Pyè Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) yon prèv nan konjekti Fermat an pou ekspozan n a = 5 Nan 1839 te swiv nan moun k'ap bwete Gabriel (1795-1870) n ak yon prèv pou ekspozan an = 7 Sansasyonalis te ane a 1847, menm jan tou de moun k'ap bwete Gabriel ak Augustin Louis Cauchy, pi popilè a (1789-1857) nan Akademi Syans franse a nan Paris depoze dokiman, nan ki te yon prèv konplè sou konjekti Fermat an te anonse. Sa yo te demanti reklamasyon an pa nimewo teorisyèn Kummer an Eduard Ernst (1810-1893), avèk èd nan envestigasyon l 'nan plas lapenn tou yo davans yon etap nan pi gwo nan rezoud pwoblèm nan Fermat: Li fann sipozisyon an n se ekspozan = l la, kote l ap yon nonm premye mwens pase 100 (ak eksepsyon de premye a 37,59,67) se.

Travay la mansyone nan seksyon an anvan konjekti Fermat an ki baze sou trè souvan sou rezilta rechèch pi jeneral, ki kontribye anpil nan devlopman nan teyori nimewo. Malgre ke, nan konmansman an nan syèk sa a kontinye rezoud pwoblèm nan, Fermat te travay nan 1908 e te tou bay-yo nan Prize la likwatif Wolfskehl vo 100,000 RM pa Sosyete an Royal nan Syans nan Göttingen, te sanble yo devlope teyori toujou la nan nimewo yo retire plis nan konjekti Fermat an. Se konsa, li rete jouk katreventèn yo byen bonè, sitou nan rafineman nan travay Kummer an ak - apre te gen teknoloji a òdinatè amelyore pi plis ak plis - nimerik pou chèk yo nan konjekti Fermat an, konsa pou egzanp, te nan 1976 pa SS Wagstaff li te ye ki konjekti Fermat an pou ekspozan premye ki gen mwens pase 125,000 la kòrèk.

4yèm Mond yo twa

Nan seksyon sa a nou prezante twa zòn nan teyori nimewo, tout moun ki sanble yo gen endepandan. Nou rele zòn sa yo yon ti tan, mond''. De nan sa yo, yo te worlds''has lontan yo te sijè a nan rechèch entans matematik yo, men yo te sanble yo ven ane de sa pa gen anyen fè ak konjekti Fermat an genyen. Nan seksyon ki anba la a, nou pral Lè sa a, yo montre kouman sa yo worlds''are konekte ak ki jan plon ki koresponn lan, bridges''to yon prèv nan konjekti Fermat an. Moun sa yo ki jwenn nan katreventèn yo nan mitan-an, yo jwenn prèv la nan konjekti Fermat an pa sanble yo jwenn ak devlopman sa yo ki gen rapò ki fèk parèt nan teyori nonb, nou dwe tan an nan Saarbrucken, kounye a anseye nan manje matematisyen Gerhard Frey.

A. Anti-Fermat lemonn. Nan mond sa-a gen yon premye egziste ' > 5 ak yon trip pozitif, chif natirèl (A, B, C) ki ekwasyon an an

se ase. San yo pa pèdi nan générales nou ka asime ke nimewo yo A, B, C yo se pèr relativman premye, se nesesèman Lè sa a, egzakteman youn nan nimewo ki A, B, C dwat.

Li pral finalman dwe jefò nou yo montre ke anti-Fermat-mond la pa ka egziste. Nan ka sa a, lè sa a gen Se poutèt sa pa gen okenn nonm antye ki pozitif A, B, C, ki ekwasyon ki (1 s) ak yon premye ekspozan = l satisfè> 5. Li se lè sa a fasil konvenki ke se vre anba sikonstans sa yo, konjekti Fermat an.

B. mond lan eliptik. mond sa a se te fè nan sa yo rele koub yo elliptic. Yon (plis pase rasyonèl nimewo K a defini) se yon koub E elliptic kouche nan X yo, Y koub avyon, ki pa ekwasyon an kib

E :  Y2 = X3+ X2+X+

(4)

ak Koefisyan nonb antye ki pè , , se defini, kote nou menm tou nou ekzije pou ke zewo yo twa nan polinòm an kib sou bò dwat yo pèr diferan.

Nan teyori nan koub aljebrik, li gen kounye a te pwouve yo dwe pratik yo konsidere se pa sèlman koub yo nan X la afin, plan Y, men tou, egzaminen plus nan plan an projèktif. Sa a tou senpleman vle di ke nou tou de se apre+ a ak - gen ansanm kouri branch yo nan koub la elliptic (figur 2) pa yon pwen nan tan lontan an enfini yo prezante. Se pou nou kounye a konsidere deformation kontinyèl nan E nan koub elliptic se kounye a konsidere yo dwe projèktif, nou jwenn sa ki annapre yo pou imaj la ki deja egziste nan de ti sèk:

3: imaj reyèl la nan yon koub elliptic lè yo ajoute pwen an nan Infinity: de ti sèk

Finalman, nou sonje ke mond reyèl la se yon seksyon nan mond lan konplèks, nou jwenn yon foto konplèks a E nan koub elliptic se yon sa yo rele torus (figur 4). Pi ba a, nou mete tèt nou anba yon koub elliptic anvan chak torus sa yo.

Yon pi enpòtan pou envaryabl la a E nan koub elliptic se li yo lidè Ne. Gwosè a Ne se defini jan sa a: Yon kòmanse soti nan ekwasyon an (4) ak chwazi yon abitrè premye p. Lè sa a, ou gade nan (4) kòm yon kongriyans modulo p sètadi,

Y2 = X3+X2+ X+   mod p. Pou prèske tout p nonb premie yo, ie, jiska yon nimewo fini, yo se zewo yo nan polinòm an kib sou bò dwat, kounye a kòm klas rezidi modulo p, konsidere yo dwe diferan de youn ak lòt nan pè. N e se kounye a pwodwi a nan nonb premie fini anpil eksepsyonèl, ki kowenside pou omwen de nan twa zewo yo tankou klas rezidi modulo p. Nou ajoute isit la remak la, nan yon fwa ki definisyon nou an N e se enkonplè, men isit la nou pa pral konplikasyon ou. Egzanp: koub elliptic leve natirèlman nan rezoud ansyen Kongruenzzahlproblems yo sou: Sa a se yon nonb antye ki pè mete pozitif F. Lè sa a, fouye pou yon triyang dwat ak kote yon c rationalzahligen, b epi ipoteniz se yon fason rasyonèl, se sa ki zòn nan nan triyang la F. Si tankou yon triyang dwat ki egziste, Lè sa a, F se Kongruenzzahl rele. Pou rezoud pwoblèm sa a, nou konsidere koub la elliptic E :  Y2 = X3 - F2X = X (X - F)(X+F). Gen kounye a yon pwen rasyonèl P = (x, y) sou sa a koub, sa vle di gen yon pè nan nonb rasyonèl (x, y) ak pwopriyete a y2 = x3 - F2x = x(x2 - F2), (5) ki tou x> R ak y> 0 se satisfè, Lè sa a, se triyang lan t'ap chache yo bay nan a = x2 - F2 y , B = 2Fx y , C = x2+F2 y . An reyalite, yon sèl chèk imedyatman apre ki yon 2+ b 2 = c 2 aplike, sa vle di gen yon triyang dwat-Incline, zòn nan nan triyang sa a se baz la nan ekwasyon (5 yo bay li), jan sa nesesè pa a·b 2 = x2 - F2 y • FX y = x(x2 - F2) y2 ° F = F. Avèk èd nan lyen sa a ant teyori a Kongruenzzahlproblem elliptic koub ak jan li vire soti ke nimewo ki F = 1,2,3 yo pa Kongruenzzahlen, men ke nimewo ki F = 5, respektivman. F = 6 Kongruenzzahlen yo, egzanp nan triyang ki apwopriye dwa-Incline yo bay nan ka sa yo pa a = 3/2, b = 20/3, c = 41/6,  resp.  a = 3, b = 4, c = 5. C. mond lan modilè. mond sa a se te fè nan sa yo rele koub yo modilè ak fòm modilè. Pou senplisite, nou dwe isit la kontni tèt nou ak sèlman modil la dekri sa yo koub epi sèlman allusion nan. Koub Modil yo se sèten arithmetic defini zòn ki fèmen ak oryante, epi yo paramètres pa nonm antye ki pozitif. Pou la pozitif, natirèl nimewo a N koub jeneralman asosye ak modil X 0 vle di (N), N se ensi nivo a yo nan koub la modilè X 0 (N) rele. Koub la modilè X 0 (N) Pouvwa dwe akòz senp klasifikasyon teyori oryantabl, zòn ki fèmen tankou yon esfè ki gen yon nimewo sèten g N nan manch oswa yon brètzèl ak g N entwodui twou (figur 5): Nimewo a g N se sèks la yo nan koub la modilè X 0 rele (N). Pou egzanp, si g N = 0, lè sa a koub la Modil se yon esfè, g se N = 1, Lè sa a, gen yon torus. Genus g N a se kalkile sitou lè l sèvi avèk fòmil la g = [N/12], kote [N/12] nonb antye ki pè nan pi gwo ki se pi piti pase N/12 vle di. 5th Pon yo ant twa mond yo Nan seksyon sa a nou pral montre ki jan premye anti-Fermat-mond lan kapab konekte ak mond lan eliptik, Lè sa a, nou pral bati yon pon ant mond lan elliptic ak modilè. Pon ki genyen ant A ak B. pon Sa a se akòz yon lide enjenyeu pa Gerhard Frey, ki moun ki konsa nan mitan katreventèn yo te trase konjekti Fermat an tounen nan sant la nan envestigasyon teyorik anpil. A dekri relasyon ki genyen ant anti-Fermat mond lan-yo ak mond lan eliptik, nou kontinye jan sa a: Nan Anti-Fermat mond lan-nou jwenn yon premye l > 5 ak pèr relativman premye, nonm antye ki pozitif A, B, C ki satisfè ekwasyon an a'+b' = c' . Satisfè Done sa yo, kounye a nou fè aranjman pou koub la elliptic nan kout, koub la Frey, Ea,b,c:  Y2 = X(X - al)(X+bl) = X3+(bl - al)X2 - (ab)lX yo. Li pa difisil yo fè montre ke lidè nan N A, B, C nan Frey koub E A an, B, C se yo bay nan pwodwi a nan tout p nonb premie ki divize A, B, C. Kòm youn nan twa nimewo yo A, B, C se menm, lè sa a gen fòmil la: N yon, B, C pataje se 2 fwa pwodwi a sou tout p nonb premie yo, ki gen diferan de 2 ak ABC. Sa fè se pon ki genyen ant anti-Fermat mond lan-yo ak mond lan eliptik bat. Pon ki genyen ant B ak C. pon ki genyen ant mond lan elliptic ak modilè se siksè nan gwo Andrew Wiles ak Richard Taylor. Deja nan senkantèn la byen ta nan yo te kòmanse endike yon koneksyon ant mond elliptic ak modilè. Sa yo formul Goro Shimura ak Yutaka Taniyama konjekti ki anba la a: Si E se yon (plis pase chif yo rasyonèl K defini) koub elliptic ak lidè nan N e, konsa e yo nan koub la Modil X 0 (N) nan nivo N = N e supèrpoz, sètadi gen yon aritmetik defini, surjèktiv f kat nan X 0 (N) E. Yon moun kapab imajine li di sa a sipozisyon èkstrèmeman pou ke sifas la brètzèl X 0 (N) g N twou piti piti nan torus a, yo nan koub la elliptic E reprezante, yo ka defòme (figur 6): Nou pral ajoute imedyatman nan obsèvasyon an ki nivo a N = N e yo nan koub la Modil, ki koub E la elliptic supèrpoz fè pa nesesèman minim, sa vle di, li pouvwa nan sèten sikonstans yon koub modilè nan pi piti sèn, bay koub elliptic supèrpoz sou E. Ou rive nan nivo minimòm nan a, successivement tout faktè unnecessary''prime nan N e selibatè. Rezilta a prensipal la Andrew Wiles ak Andre Wiles, ak Richard Taylor nan Istwa a nan Matematik pibliye travay (al gade Ann. Matematik 141 (1995), 443-551 & 553-572) se kounye a ki konfime konjekti a Shimura ak Taniyama. Yo nan lòd yo pon diferans ki genyen ant mond lan elliptic ak modilè te fè fè yo. 6th Anti-Fermat-ki nan lemonn pa egziste Pou nou fini prezantasyon nou an, nou vle montre ke li se pa yon premye l > 5 e pa gen trip pozitif, chif natirèl (A, B, C) ki gen pwopriyete a a'+b' = c' la, Lè sa a, li ta pwouve ke anti-Fermat-mond pa egziste. Pou sa nou pral fè yon prèv pa lopozisyon, sètadi, nou asime ke anti-Fermat-mond lan ki egziste, epi yo pral mennen a yon kontradiksyon. Se konsa, si nou kòmanse soti nan lefèt ke li se yon nonm premye l se> 5 ak nonm antye ki pozitif A, B, C ki satisfè ekwasyon an a'+b' = c' ase, nou ka itilize sa a lè l sèvi avèk done pon ki genyen ant Mondyal la Anti-Fermat ak mond lan eliptik koub la Frey E A, B, C ak lidè nan N yon, B, C plase. Baze sou rezilta yo nan Wiles ak Taylor, ki se paske nan pon an ant mond lan elliptic ak modilè, se koub la Frey E yon, B, C yo nan koub la modilè nan nivo N = N A, B, C supèrpoz. Nan yon travay remakab, Berkeley (California, USA) ansèyman matematisyen Kenneth Ribet a deja nan fen katreventèn yo pwouve ke koub la Modil avèk yon nivo minimòm ki koub la Frey E A, B, C se supèrpozisyon pa chak enpè p premye faktè nan nivo orijinal la N = N A, B, C oblije, ki koub la Frey E A, B, C se an reyalite, deja sou koub la Modil X 0 supèrpoz (2) Nivo 2. Gen se konsa yon deformation kontinyèl yo nan koub la Modil X 0 (2) sou koub la Frey E A, B, C. Dapre fòmil nou an pou g la genus 2 yo nan koub la Modil X 0 (2) aplike, men kounye a g 2 = [2 / 12] = [1 / 6] = 0, sa vle di nou jwenn koub la Frey ki sòti nan yon deformation kontinyèl nan esfè a. Men, sa a se kontradiksyon a vle, depi yon sèl pa ka kontinyèlman gate yon esfè nan yon torus; ou vle fè sa a ki se konsa yon sèl pa ka, fè egzèsis fè yon twou nan esfè a. Sa a koresponn ak perçage men pesonn pa t Deformation kontinyèl nan esfè a (egzanp ou eseye li ak yon balon, konsa ke li inevitableman pete). Avèk sa a trase nan prèv nan konjekti Fermat an trè di, nou vle konkli prezantasyon nou an. Nou fè lektè ki enterese disponib nan nan lis ki anba la a tou kout sou referans ak anpil atansyon, nan sa yo kontribisyon jwenn Des an detay nan istwa a ak prèv nan konjekti Fermat an, ak bibliyografik detaye ak literati rechèch la kounye a. Literati Edwards, Harold M.: Denye Teyorèm Fermat an. Tèks gradye nan Matematik 50.. Springer-Verlag, New York,-Heidelberg-Bèlen, 1977 Kramer, Jürg: About konjekti Fermat an. El. Matematik 50 (1995), 11-25 & El. Matematik 53. (1998), 45-60 RIBENBOIM, Paulo: 13 Lectures on Teyorèm Denye Fermat an.. Springer-Verlag, New York,-Heidelberg-Bèlen, 1979 Singh, Simon, Denye Teyorèm Fermat an - istwa a avantur nan yon devinèt matematik. Tradui soti nan angle pa Klaus Fritz. Carl Hanser Verlag, Minik, Vyèn, 1998. Adrès moun ki otè a Jürg Kramer Enstiti pou Matematik Humboldt-univesité zu Bèlen Linden den ente 6 D-10099 Bèlen e-mail: kramer@mathematik.hu-berlin.de