Лекцыя 9: Квантавая
Ёсць два спосабу вучыць квантавай механіцы. Першы спосаб - што для большасці фізікаў сёння па-ранейшаму адзіны шлях - варта гістарычны парадак, у якім ідэі былі выяўленыя. Такім чынам, вы пачынаеце з класічнай механікі і электрадынамікі, рашэнне многіх знясільваючых дыферэнцыяльных ураўненняў на кожным кроку. Тады вы даведаецеся пра "чорнага парадокс" і розныя дзіўныя эксперыментальныя вынікі, і вялікі крызіс гэтыя рэчы пастаўлены па фізіцы. Далей вы даведаецеся складаных коўдру з ідэі, што фізікі вынайшлі паміж 1900 і 1926, каб паспрабаваць зрабіць крызіс сыдзе. Тады, калі вам пашанцуе, пасля года навучання вы, нарэшце, знайсці час, каб цэнтральны канцэптуальнай кропкі: што прырода апісваецца не верагоднасцяў (якія заўсёды неадмоўных), але па нумарах называецца амплітуды, якое можа быць станоўчым, адмоўным, ці нават комплексу.
Сёння, у эпоху квантавай інфармацыі, тое, што ўсе фізікі былі навучыцца квантавай Такім чынам, як відаць, з пачуццём гумару. Напрыклад, у мяне было спецыялістаў у галіне квантавай тэорыі поля - людзі, якія выдаткавалі гады вылічэнні інтэгралаў шлях ашаламляюць складанасці - просіце мяне растлумачыць няроўнасць Бэла да іх. Гэта ўсё роўна, Эндру Уайлс просіць мяне растлумачыць тэарэму Піфагора.
Як прамы вынік гэтага "QWERTY" падыход да тлумачэння квантавай механікі - якія вы можаце ўбачыць сваё адлюстраванне ў амаль усе папулярныя кнігі і артыкулы, аж да сучаснасці - тэма набыла незаслужаную рэпутацыю цяжка. Адукаваныя людзі запомнілі лозунгамі - "святло як хваля і часціца", "кошка ні жывы ні мёртвы, пакуль вы глядзіце", "Вы можаце спытаць аб пазіцыі або імпульс, але не абодва", "адну часціцу імгненна пазнае, спіна з адным праз жудасны дзеянні на-адлегласці ", і г.д. - а таксама даведаліся, што яны не павінны нават спрабаваць зразумець такія рэчы, без шматгадовай карпатлівай працы.
Другі спосаб вучыць квантавай механіцы лісце метадычны кошт яго адкрыцця для гісторыкаў, а замест гэтага пачынаецца непасрэдна ад канцэптуальнае ядро, а менавіта - некаторы абагульненне тэорыі імавернасцяў, каб мінус. Пасля таго як вы ведаеце, што тэорыя, уласна кажучы, вы можаце затым пасыпце ў фізіцы па гусце, і разлічыць спектр атама ўсе вы хочаце. Другі падыход, які я буду тут наступныя.
Такім чынам, што такое квантавая механіка? Нават калі гэта быў знойдзены фізікаў, гэта не фізічная тэорыя ў тым жа сэнсе, як электрамагнетызм ці агульнай тэорыі адноснасці. У звычайнай "іерархіі навук" - з біялогіяй у верхняй, то хіміі, то фізіка, то матэматыка - квантавая механіка знаходзіцца на ўзроўні паміж матэматыкай і фізікай, што я не ведаю, добрае імя. У прынцыпе, квантавая механіка аперацыйнай сістэмы, што і іншыя фізічныя тэорыі, як працаваць на прыкладное праграмнае забеспячэнне (за выключэннем агульнай тэорыі адноснасці, якая яшчэ не была паспяхова перанесена на дадзенай АС). Там нават словы для прыняцця фізычнай тэорыі і перанос яго на гэтай АС: ". Квантавання"
Але калі квантавая механіка не фізікі ў звычайным сэнсе - калі гэта не пра матэрыі, энергіі або хвалі, або часьціцы - тое, што гэта такое? З майго пункту гледжання, гаворка ідзе аб інфармацыі і верагоднасці і назіраных, і як яны суадносяцца адзін з адным.
- Рэй Лафламм: Гэта вельмі шмат камп'ютэрнай навуцы пункту гледжання.
Скот: Так, гэта так.
Маё зацвярджэнне ў гэтай лекцыі складаецца ў наступным: Квантавая механіка з'яўляецца тое, што вы непазбежна прыдумаць, калі вы пачалі з тэорыі верагоднасць, а затым сказаў: давайце паспрабуем абагульніць так, каб нумара мы прывыклі называць "верагоднасці" могуць быць адмоўнымі лікамі. Такім чынам, тэорыя магла б былі вынайдзены матэматыкамі ў 19 стагоддзі без удзелу эксперыменту. Гэта не было, але гэта магло б быць.
- Рэй Лафламм: І ўсё ж, з усімі структурамі матэматыкі вывучаны, ні адзін з іх падышоў з квантавай механікай, пакуль эксперымент прымусілі яго на іх...
Скот: Так - і мне, гэта выдатная ілюстрацыя таго, чаму адпаведныя эксперыменты, у першую чаргу! Часцей за ўсё, адзіная прычына, мы павінны эксперыментаў з'яўляецца тое, што мы не дастаткова разумныя. Пасля эксперыменту было зроблена, калі б мы даведаліся што-небудзь варта ведаць, на ўсіх, то, спадзяюся, мы даведаліся, чаму эксперымент не быў неабходным для пачатку - чаму ён не зрабіў бы сэнсу для свету, каб быць любым іншым спосабам. Але мы занадта тупы, каб зразумець гэта самі!
Два іншых дасканалых прыкладаў "відавочна, у рэтраспектыве" тэорыі эвалюцыі і спецыяльнай тэорыі адноснасці. Праўда, я не ведаю, калі старажытныя грэкі, седзячы ў сваёй тогі, здагадаўся б, што гэтыя тэорыі былі дакладныя. вядома - вядома! Але - яны, магчыма, зразумелі, што яны былі, магчыма, дакладна: што яны магутныя прынцыпы, якія б ужо па крайняй меры было на дошцы ў Бога, калі ёй было мазгавога штурму свету.
У гэтай лекцыі, я паспрабую пераканаць вас, - без звароту да эксперымент - што квантавая механіка таксама было б на дошцы ў Бога. Я збіраюся паказаць Вам, чаму, калі вы хочаце, сусвет з некаторымі вельмі агульныя ўласцівасці, вы, здаецца, змушаны адзін з трох варыянтаў: (1) дэтэрмінізму, (2) класічнай верагоднасці, або (3) квантавай механікі. Нават калі "таямніца" квантавай механікі не можа быць выгнаны цалкам, вы можаце быць здзіўлены, як далёка людзі маглі бы ўжо атрымаў, не выходзячы з свайго крэсла! Тое, што яны не атрымліваюць далёка да атамных спектраў і гэтак далей вымушаныя тэорыі ў горла з'яўляецца адным з самых моцных аргументаў я ведаю, для эксперыментаў не патрабуецца.
Менш 0% верагоднасць
Добра, такім чынам, што гэта азначала б, каб "Тэорыя імавернасцяў" з адмоўнымі лікамі? Ну, ёсць прычына, вы ніколі не чулі прадказальнік надвор'я казаць пра -20% верагоднасць дажджу заўтра - яна сапраўды робіць, як мала сэнсу, як гэта гучыць. Але я б хацеў, каб вы ўсталёўваць якія-небудзь сумненні ў бок, і проста думаць абстрактна пра падзею з N магчымых зыходаў. Мы можам выказаць верагоднасці гэтых падзей па вектару N рэчыўных лікаў:
Матэматычна, што мы можам сказаць аб гэтым вектар? Ну, верагоднасці лепш быць неадмоўных, і яны лепш суму да 1. Мы можам выказаць апошні факт, кажучы, што 1-норма верагоднасць вектар павінен быць 1. (1-норме проста азначае, сума абсалютных значэнняў запісаў.)
Але 1-норма не толькі нормай у сучасным свеце - гэта не толькі, як мы ведаем, каб вызначыць "памер" вектар. Ёсць і іншыя спосабы, і адзін з паўтаральных абраным з часоў Піфагора была 2-норме або эўклідавай норма. Фармальна, эўклідавай норма азначае квадратны корань з сумы квадратаў запісаў. Нефармальна, гэта азначае, што вы спазьняецца на клас, таму замест таго, такім чынам, і тое, што шлях, вы рэжаце па траве.
Зараз, што адбудзецца, калі вы спрабуеце прыдумаць тэорыю, што ўсё роўна тэорыі імавернасцяў, але на аснове 2-нормай, а не 1-норма? Я паспрабую пераканаць вас, што квантавая механіка з'яўляецца тое, што непазбежна прыводзіць.
Давайце разгледзім адзін біт. У тэорыі імавернасцяў, мы можам апісаць гэтак жа з верагоднасцю р роўны 0, і верагоднасць 1-р у 1. Але калі мы пераходзім ад 1-норме да 2-нормай, зараз мы больш не жадаем два лікі, сума ў 1, мы хочам двух лікаў, квадраты суму да 1. (Я мяркую, што мы ўсё яшчэ гаворым аб сапраўдных лікаў.) Іншымі словамі, мы цяпер хочам вектар (?, ?), дзе і альфа-2 + ? 2 = 1. Вядома, мноства ўсіх такіх вектараў ўтварае кола:
Тэорыі мы вынаходзіць будзе як-то падключыцца да назірання. Такім чынам, выкажам здагадку, у нас ёсць трохі гэта апісваецца гэты вектар (?, ?). Тады нам трэба паказаць, што адбудзецца, калі мы паглядзім на біт. Ну, дык гэта крыху, мы павінны ўбачыць 0 або 1! Акрамя таго, верагоднасць ўбачыць 0 і магчымасць убачыць 1 лепш дадаць да 1. Зараз, пачынаючы з вектарам (?, ?), як мы можам атрымаць два лікі, якія складаюць у 1? Вельмі проста: мы можам дазволіць ? 2 будзе верагоднасць 0 вынік, і хай ? 2 Be верагоднасцю 1 вынік.
Але ў такім выпадку, чаму б не забыцца пра ? і ?, і проста апісаць трохі непасрэдна ў тэрмінах верагоднасці? Ahhhhh. Розніца ў тым, як адбываецца змена вектару, калі мы ўжываем аперацыю да яго. У тэорыі імавернасцяў, калі ў нас ёсць біт, які прадстаўляў на вектар (р,1-р), то мы можам прадбачыць любыя аперацыі з крыху па стахастычнага матрыцы, то ёсць матрыца неадмоўных сапраўдных лікаў, дзе кожны слупок складае 1. Так, напрыклад, "крыху фліп" аперацыі - якая змяняе верагоднасць 1 вынікаў ад р да 1-P - можа быць прадстаўлена наступным чынам:
У самой справе, аказваецца, што стахастычнага матрыца з'яўляецца найбольш агульным роду матрыца, якая заўсёды карты верагоднасці вектара на іншы вектар верагоднасці.
Практыкаванне 1 для Non-Lazy Reader: Дакажыце гэта.
Але цяпер, калі мы перайшлі ад 1-норме да 2-норме, мы павінны спытаць: што найбольш агульныя роду матрыца, якая заўсёды карты адзінкавы вектар у 2-норме на іншы адзінкавы вектар у 2-норме ?
Ну, будзем называць такія матрыцы унітарнае матрыцы - Сапраўды, гэта адзін з спосабаў вызначыць, што унітарнае матрыца! (О, усё ў парадку. Пакуль мы толькі кажам аб сапраўдных лікаў, гэта называецца артаганальнай матрыцай. Але тое ж адрозненне.) Яшчэ адзін спосаб вызначыць унітарнае матрыца, ізноў жа ў выпадку рэчыўных лікаў, гэтак жа матрыца, зваротная роўная яго перанесці.
Практыкаванне 2 для Non-Lazy Reader: Дакажыце, што гэтыя два вызначэння эквівалентныя.
- Гус Gutoski: Пакуль вы далі ніякай матывацыі, чаму вы ўсталявалі сума квадратаў роўная 1, а не сума кубоў або сума чацвёртае ступеняў...
Скот: Я Gettin 'да яго - не турбуйцеся пра гэта!
Гэта "2-норме трохі", што мы вызначылі мае імя, якое, як вы ведаеце, кубит. Фізікі, як для прадстаўлення кубитов выкарыстоўваючы тое, што яны называюць "Дирака кет-пазначэньняў", у якім вектар (?, ?) становіцца . Тут ? з'яўляецца амплітуда вынікі | 0>, і ?-амплітуда вынікі | 1>.
Гэта абазначэнне звычайна дыскі кампутара навукоўцы да сцяны, калі яны ўпершыню ўбачыць яго - асабліва з-за асіметрычнага дужкі! Але калі Вы працуеце з ім, вы бачыце, што гэта сапраўды не так ужо дрэнна. Як, напрыклад, замест таго каб пісаць з вектара, як (0,0,3 / 5,0,0,0,4 / 5,0,0), вы можаце проста напісаць , Апускаючы ўсё 0 запісаў.
Таму, улічваючы, кубита, мы можам ператварыць яго прымяненнем любых 2-на-2 унітарнае матрыца - і гэта прыводзіць да ўжо вядомым эфектам квантавай інтэрферэнцыі. Разгледзім, напрыклад, унітарнае матрыца
якая прымае вектар у плоскасці і круціцца на 45 градусаў супраць гадзінны стрэлкі. Разгледзім зараз стан | 0>. Калі мы выкарыстоўваецца і ў дачыненні U раз у гэты стан, то мы атрымаем - Гэта як з манетай і гартаць яго. Але тады, калі мы выкарыстоўваецца і ў дачыненні тую ж аперацыю U ў другі раз, мы атрымаем | 1>:
Такім чынам, іншымі словамі, прымяненне "выпадковай" аперацыю па "выпадковым" дзяржава вырабляе дэтэрмінаваных вынік! Інтуітыўна, хоць Ёсць два "шляху", якія прыводзяць да зыход | 0>, адзін з гэтых шляхоў мае станоўчую амплітуду, а іншая мае адмоўную амплітуду. Як вынік, два шляхі ўмешвацца разбуральна і кампенсуюць адзін аднаго. У адрозненне ад гэтага, два шляхі, якія вядуць да зыход | 1> і маюць станоўчыя амплітуды, і, такім чынам, перашкаджаюць канструктыўна.
Прычыне вы ніколі не ўбачыце такога роду ўмяшанне ў класічны свет у тым, што верагоднасці не можа быць адмоўным. Так, адмена паміж станоўчай і адмоўнай амплітуды можна разглядаць як крыніца ўсіх "квантавай дзівацтва" - адна рэч, якая робіць квантавая механіка адрозніваецца ад класічнай тэорыі імавернасцяў. Як бы я хацеў хто-то сказаў мне, што калі я ўпершыню пачуў слова "квантавай"!
Змешаных станаў
Як толькі мы гэтыя квантавыя стану, адна рэч заўсёды можна зрабіць, гэта прыняць класічнай тэорыі імавернасцяў і "пласт яго на самы верх". Іншымі словамі, мы заўсёды можам спытаць, што, калі мы не ведаем, якія квантавы стан у нас ёсць? Напрыклад, што калі ў нас ёсць 1 / 2 верагоднасць і 1 / 2 верагоднасць
? Гэта дае нам тое, што завецца змяшанае стан, якое з'яўляецца найбольш агульным выглядам стане ў квантавай механіцы.
Матэматычна, мы ўяўляем змешанага стану аб'екта называецца матрыцай шчыльнасці. Вось як гэта працуе: у вас ёсць гэты вектар амплітуд N, (? 1,..., ? N). Тады Вы можаце вылічыць знешняе твор вектара з самім сабой - гэта значыць, N-на-N матрыца, (I, J) запіс ? я ? J (ізноў жа ў выпадку рэчыўных лікаў). Тады, калі ў вас ёсць размеркаванне верагоднасцяў на працягу некалькіх такіх вектараў, вы проста лінейнай камбінацыі ў выніку матрыц. Так, напрыклад, калі ў вас ёсць верагоднасць р некаторых вектарныя і верагоднасцю 1-р ад розных вектар, то гэта р раз адна матрыца плюс 1-р раз іншыя.
Матрыцы шчыльнасці кадуе ўсю інфармацыю, якая толькі можа быць атрыманы з некаторага імавернаснага размеркавання квантавых станаў, спачатку прымянення унітарных аперацый, а затым вымярэння.
Практыкаванне 3 для Non-Lazy Reader: Дакажыце гэта.
Гэта азначае, што калі два размеркавання прыводзяць да той жа матрыцы шчыльнасці, то гэтыя размеркавання эмпірычнаму неадметныя, або, іншымі словамі тыя ж змяшанае стан. У якасці прыкладу, скажам, у вас ёсць стан з 1 / 2 верагоднасці, і
з 1 / 2 верагоднасці. Тады матрыца шчыльнасці, якая апісвае вашыя веды
Выходзіць, такім чынам, што ні вымярэння вы ніколі не можа выканаць будзе адрозніваць гэтую сумесь з 1 / 2 верагоднасць | 0> і 1 / 2 верагоднасць | 1>.
Узводзячы Правіла
Цяпер давайце пагаворым аб пытанні Гус падняў, які з'яўляецца, чаму мы квадрат амплітуды, а не вызначэнне аб'ёму іх або падымаць іх, каб чацвёртая ўлада ці што?
- Дэвін Сміт: Таму што гэта дае вам правільны адказ?
Скот: Так, вы хочаце адказаць, што ўзгадняецца з эксперыментам. Такім чынам, дазвольце мне паставіць пытанне інакш: чаму Бог выбраў, каб зрабіць гэта так, а не інакш?
Рэй Лафламм: Ну, улічваючы, што лічбы могуць быць адмоўнымі, ўзвядзенне ў квадрат іх толькі здаецца, самае простае, што рабіць!
Скот: Чаму б проста не ўзяць абсалютная значэнне?
Добра, я магу даць вам пару аргументаў, чаму Бог вырашыў квадратных амплітуд.
Першым аргументам з'яўляецца вядомы вынік называецца тэарэма Глисона з 1950-х гадоў. Тэарэма Глисона дазваляе нам ўзяць на сябе частку квантавай механікі, а затым выйсці астатняе! Больш канкрэтна, выкажам здагадку, у нас ёсць працэдура, якая прымае ў якасці ўваходных адзінкавы вектар рэчыўных лікаў, і што выплёўвае верагоднасць падзеі. Фармальна, у нас ёсць функцыя F, якая адлюстроўвае адзінкавы вектар ў адзінкавым інтэрвале [0,1]. І давайце выкажам здагадку, N = 3 - тэарэма на самай справе працуе ў любы памернасці тры ці больш (але, што цікава, не ў двух вымярэннях). Тады галоўным патрабаваннем накласці ў тым, што, калі тры вектара V 1, V 2, V 3, усіх артаганальных адзін да аднаго,
Інтуітыўна, калі гэтыя тры вектара прадстаўляюць "артаганальных спосабы" вымярэння квантавага стану, то яны павінны адпавядаць ўзаемавыключальнымі падзеямі. Важна адзначыць, што мы не маем патрэбу ў якіх-небудзь здагадак, чым іншыя, што - не пераемнасці, няма Дыферэнцыруемасць, не Nuthin.
Такім чынам, гэта ўстаноўка. Дзіўная заключэнне тэарэмы з'яўляецца тое, што для любой такой F, існуе змяшанае стан такое, што F ўзнікае шляхам вымярэння, што дзяржавы ў адпаведнасці са стандартным правілам вымярэння квантавай механікі. Я не зможа даказаць гэтую тэарэму, так як яна даволі цяжка. Але гэта адзін з спосабаў, якія можна "атрымаць" квадратуры правіла, не менавіта таго, каб пакласці яго ў самым пачатку.
Практыкаванне 4 для Non-Lazy Reader: Чаму Тэарэма Глисона не працуе ў двух вымярэннях?
Калі хочаце, я магу даць вам больш элементарных меркаванняў. Гэта тое, што я паклаў яго ў адну з маіх работ, хоць я ўпэўнены, што многія іншыя ведалі гэта раней.
Скажам, мы хочам, каб вынайсці тэорыю, што не на аснове 1-норма, як класічнай тэорыі імавернасцяў, або на 2-нормы, як квантавая механіка, але замест гэтага на р-норме для некаторых . Call (V 1,..., V N) адзінкавы вектар у р-нормай, калі
Тады нам спатрэбіцца "добры" набор лінейных пераўтварэнняў, якія адлюстроўваюць любой адзінкавы вектар у р-норме на іншы адзінкавы вектар у р-норме.
Зразумела, што для любога р абярэм, будуць некаторыя лінейныя пераўтварэнні, якія захоўваюць р-норме. Якія? Ну, мы можам перастаўляць аснове элементаў, перетасовать іх вакол. Гэта будзе захаваць р-норме. І мы можам прытрымлівацца ў мінус, калі мы хочам. Гэта будзе захаваць р-норма таксама. Але вось мала назірання я зрабіў: Ёсць любога лінейнага пераўтварэння, акрамя гэтых трывіяльных, якія захоўваюць р-нормай, то альбо р = 1 або р = 2. Калі Калі р = 1 мы атрымліваем класічнай тэорыі верагоднасць, а калі р = 2 атрымліваем квантавай механікі.
- Рэй Лафламм: Так што калі вы не жадаеце што-то сумна...
Скот: Сапраўды! Тады вы павінны пакласці р = 1 або р = 2.
Практыкаванне 5 для Non-Lazy Reader: Даказаць, мой маленькі назірання.
Добра, для пачатку, дазвольце мне даць некаторыя інтуіцыі аб тым, чаму маё назіранне можа быць праўдай. Выкажам здагадку, для прастаты, што ўсё гэта рэальна і што р з'яўляецца станоўчым нават цэлае (хоць назірання таксама працуе з комплекснымі лікамі і з рэальна існуючымі р ? 0). Тады для лінейнага пераўтварэння = (Ij), каб захаваць р-норма азначае, што
кожны раз, калі
Цяпер мы можам спытаць: як шмат абмежаванняў, якія накладаюцца на матрыцу па патрабаванні, што гэта дакладна для любога V 1,..., V N? Калі мы будзем працаваць яго, у выпадку р = 2 мы знойдзем, што Ёсць абмежаванняў. Але так як мы спрабуем падабраць N-на-N матрыцы, якія па-ранейшаму пакідае нас N (N-1) / 2 ступенямі свабоды, каб гуляць з.
З іншага боку, калі (скажам) р = 4, то колькасць сувязяў расце як , Што больш, чым N 2 (колькасць зменных у матрыцы). Гэта мяркуе, што гэта будзе цяжка знайсці нетрывіяльнае лінейнае пераўтварэнне, якое захоўвае 4-нормай. Вядома, гэта не даказвае, што не існуе такога пераўтварэння - што засталося, як галаваломка для вас.
Дарэчы, гэта не адзіны выпадак, калі мы знаходзім, што 1-норме і 2-нормы "больш адмысловыя" у параўнанні з іншымі р-нормы. Так, напрыклад, вы калі-небудзь бачылі наступнае раўнанне?
Там у мілы маленькі факт - на жаль, у мяне не будзе часу, каб даказаць гэта ў класе - што гэта раўнаньне мае нетрывіяльныя рашэння цэлага пры п = 1 або N = 2, але не для вялікіх лікаў n. Відавочна, то, калі мы выкарыстоўваем 1-норме і 2-нормы больш, чым іншыя нормы вектара, гэта не нейкі адвольнай капрызе - гэта сапраўды Бог каханай нормаў! (І мы нават не трэба эксперыментаваць, каб распавесці нам аб гэтым.)
Рэальны супраць комплексных лікаў
Нават пасля таго як мы вырашылі будаваць нашу тэорыю на 2-нормай, у нас яшчэ ёсць па меншай меры два варыянты: мы маглі б дазволіць нашым амплітуды сапраўдныя лікі, ці мы маглі б дазволіць ім быць комплекснымі лікамі. Мы ведаем рашэнне Бог выбраў: амплітуд ў квантавай механіцы з'яўляюцца комплексныя чысла. Гэта азначае, што вы не можаце проста квадрат амплітуды, каб атрымаць верагоднасць, спачатку вы павінны прыняць абсалютная значэнне, а затым квадрат, які. Іншымі словамі, калі амплітуда некаторыя вымярэння выніку ? = ? + i, дзе ? і ? з'яўляюцца рэальнымі, то верагоднасць ўбачыць вынік | ? | ? 2 = 2 + ? 2.
Чаму Бог пайсці з комплекснымі лікамі, а не рэальныя лічбы?
Шмат гадоў таму, у Берклі, я гуляць з матэматыкай аспірантаў - я трапіў у натоўп няправільна - і я спытаўся ў іх, што дакладны пытанне. Матэматыкаў толькі ўсміхнуўся. "Дайце нам брэйк - комплексных лікаў алгебраічна зачынены!" Для іх гэта не было тайнай на ўсіх.
Але для мяне гэта-то дзіўны. Я маю на ўвазе, комплексныя ліку былі заўважаныя на працягу стагоддзяў як фіктыўных асоб, што чалавечыя істоты склаў, з тым, што кожнае квадратнае раўнаньне павінна мець корань. (Вось чаму мы гаворым аб "ўяўных" частак.) Так навошта прыродзе, на самай фундаментальным узроўні, працаваць на тое, што мы прыдумалі для нашага выгоды?
- Адказ: Ну, калі вы хочаце кожны унітарныя аперацыі мець квадратны корань, то вы павінны пайсці ў комплексных лікаў...
Скот: Чорт вазьмі, вы атрымліваеце наперадзе мяне!
Добра, так: выкажам здагадку, мы патрабуем, што для любога лінейнага пераўтварэння U, што мы можам прымяніць да дзяржавы, павінен быць іншай пераўтварэнне V такая, што V 2 = U. Гэта ў асноўным бесперапыннасці здагадка: мы кажам, што, калі ён мае сэнс ўжываць аперацыі на працягу адной секунды, то ён павінен мець сэнс прымяніць гэты ж аперацыю толькі для паловы другога.
Ці можам мы атрымліваем, што толькі сапраўдныя амплітуды? Што ж, разгледзім наступнае лінейнае пераўтварэнне:
Гэта пераўтварэнне з'яўляецца проста люстэрка паварот плоскасці. Гэта значыць, ён прымае двухмерных Flatland істота і пераварочвае яго больш, як блін, пасылаючы яго сэрца, каб іншая бок яго двух-мернага цела. Але як прымяніць палова люстэркі развароту, не выходзячы з самалёта? Вы не можаце! Калі вы хочаце перавярнуць блін на бесперапынным руху, то вам неабходна ўвайсці ў дум дум дум...... Трэцяе вымярэнне.
У больш агульным плане, калі вы хочаце, каб перавярнуць N-мернага аб'екта бесперапынным руху, то вам неабходна ўвайсці ў (N +1)-га вымярэння.
Практыкаванне 6 для Non-Lazy: Даказаць, што любая норма захоўваюць лінейнае пераўтварэнне ў памернасці N можа быць рэалізаваны шляхам бесперапыннага руху ў N 1 вымярэннях.
Але што, калі вы хочаце кожны лінейнае пераўтварэнне мець квадратны корань у тым жа колькасці вымярэнняў? Ну, у такім выпадку, вы павінны дазволіць комплексных лікаў. Так што адна з прычын, Бог, магчыма, зрабілі свой выбар яна зрабіла.
Добра, я магу даць вам дзве іншыя прычыны, чаму амплітуды павінны быць комплекснымі лікамі.
Першае паходзіць ад пытаюся, колькі незалежных рэчыўных параметраў ёсць у N-мернай мяшаным стане? Як апынулася, адказ менавіта N 2 - калі мы лічым, для выгоды, што дзяржава не павінны быць нармаваныя (т. е. верагоднасці можна дадаць да менш чым 1). Чаму? Ну, N-мернага мяшаным стане прадстаўлена матэматычна N-на-N эрмитова матрыца з станоўчымі уласнымі значэннямі. Так як мы не нармалізуецца, у нас ёсць N незалежных сапраўдных лікаў па галоўнай дыяганалі. Ніжэй галоўнай дыяганалі, у нас ёсць N (N-1) / 2 незалежных комплексных лікаў, што азначае, N (N-1) рэальныя лікаў. Так як матрыца эрмитова, комплексныя ліку ніжэй галоўнай дыяганалі вызначыць тыя вышэй галоўнай дыяганалі. Такім чынам, агульная колькасць незалежных рэчыўных параметраў N + N (N-1) = N 2.
Зараз прывядзем аспект квантавай механікі, што я не згадваў раней. Калі мы ведаем станаў двух квантавых сістэм у паасобку, то як мы можам напісаць іх сукупнае стан? Ну, мы проста форме тое, што называецца тэнзарнае твор. Так, напрыклад, тэнзарнае твор двух кубитов, ? | 0> + ? | 1> і ? | 0> + ? | 1>, вызначаецца
Зноў можна спытаць: Бог павінны выкарыстоўваць тэнзарнае твор? Яна магла абралі іншы спосаб аб'яднання квантавых станаў ў больш буйныя? Ну, можа, хто-то іншы не можа сказаць што-небудзь карыснае па гэтым пытанні - у мяне ёсць праблема нават ўпакоўка галаву вакол яго! Для мяне, кажучы: мы тэнзарнае творы амаль што мы разумеем, калі кажам, мы збіраем дзве сістэмы, якія існуюць незалежна адзін ад аднаго.
Як вы ўсё ведаеце, Ёсць два-кубит заяўляе, што не можа быць запісана ў выглядзе тэнзарнае творы аднаго кубита дзяржаў. Самым вядомым з іх з'яўляецца ЭПР (Эйнштэйна-Падольскага-Розена) пары:
Улічваючы мяшаны ? дзяржавы на дзве падсістэмы А і В, калі ? можна запісаць у выглядзе размеркавання верагоднасць па станам тэнзарнае твор , То будзем казаць, ? сепарабельно. У адваротным выпадку мы кажам, ? заблытанай.
Цяпер вернемся да пытання аб тым, як шмат рэальных параметраў, неабходных для апісання мяшаным стане. Выкажам здагадку, што мы (магчыма, заблытаных) складовай сістэмы AB. Тады інтуітыўна, здаецца, што колькасць параметраў, неабходных для апісання AB - якія я буду называць D AB - павінен быць роўны твору ліку параметраў, неабходных для апісання і лік параметраў, неабходных для апісання B:
Калі амплітуды комплексных лікаў, то з радасцю гэта дакладна! Імкнучыся N і N B быць лік вымярэнняў і B адпаведна, у нас ёсць
Але што, калі амплітуды рэальныя лічбы? У гэтым выпадку, у N-шчыльнасцю N-матрыцы, мы б толькі N (N +1) / 2 незалежных рэчыўных параметраў. І гэта не той выпадак, калі N = N N B, то
- Пытанне: Ці можа гэты ж аргумент выкарыстоўваецца, каб выключыць кватернионы?
Скот: Выдатны пытанне. Так! З рэчавымі лікамі левая частка з'яўляецца занадта вялікі, а з кватернионов гэта занадта мала. Толькі з комплекснымі лікамі гэта juuuuust права!
Там на самай справе яшчэ адно з'ява, з тым жа "Златовласка" водар, які назіраўся Біла Wootters - і гэта прыводзіць да маёй Трэцяя прычына, чаму амплітуды павінны быць комплекснымі лікамі. Скажам, мы абярэм квантавы стан
выпадкова раўнамерна (калі вы матэматык, па меры Хаара). А потым мы яе вымярэння, атрыманне выніку | я> з верагоднасцю | ? я | 2. Пытанне ў тым, будзе ў выніку верагоднасць вектар таксама раўнамерна размеркаваных на выпадковых верагоднасці симплекс? Аказваецца, што калі амплітуды комплексных лікаў, то так. Але калі амплітуды сапраўдных лікаў або кватернионов, то адказ няма! (Раней я думаў, гэты факт быў толькі цікаўнасць, але цяпер я на самой справе выкарыстаць яго ў працы я працую над...)
Лінейнасць
Мы гаварылі пра тое, чаму амплітуды павінны быць комплекснымі лікамі, і таму правілы для пераўтварэння амплітуды да верагоднасці павінна быць правілам ўзвядзення ў квадрат. Але ўсё гэта час, слон лінейнасці быў сядзіць спакойна. Чаму Бог вырашыў, у першую чаргу, што квантавыя стану павінны развівацца ў іншых квантавых станаў з дапамогай лінейных пераўтварэнняў?
- Адказ: Таму што, калі пераўтварэнні не былі лінейнымі, вы маглі б крызіс вектараў быць больш або менш...
Скот: Зачыніць! Стывен Вайнберг і іншыя прапанаваныя варыянты нелінейнай квантавай механікі, у якой вектары стану застанься ж памеру. Бяда з гэтымі варыянтамі ў тым, што яны дазваляюць прымаць далёка адзін ад аднаго вектараў і раздушыць іх разам, або прымаюць вельмі блізка вектараў і вырваць іх адзін ад аднаго! Сапраўды, гэта істотна, што гэта азначае для такіх тэорый быць нелінейнымі. Такім чынам, нашы канфігурацыйнага прасторы больш няма гэта наглядны сэнс вымярэння адрознымі вектараў. Два дзяржавы, якія экспаненцыяльная блізка можа ў рэчаіснасці быць выдатна адрозныя. І сапраўды, у 1998 годзе Абрамс і Лойд выкарыстоўваць менавіта гэты назірання паказваюць, што, калі квантавая механіка была нелінейнай, то можна было б пабудаваць кампутар для вырашэння NP-поўных задач за паліномны час.
Пытанне: У чым праблема з гэтым?
Скот: У чым праблема са здольнасцю вырашаць NP-поўных задач за паліномны час...? Ой, калі да канца гэтага класа вы ўсё яшчэ не думаю, што гэта праблема, я падмануў твае [Смех]
Сур'ёзна, мы, вядома, не ведаю, NP-поўныя задачы эфектыўна адрозныя ў фізічным свеце. Але ў агляд я напісаў некалькі гадоў таму, я патлумачыў, чаму здольнасць вырашаць NP-поўных задач дасць нам "богападобнымі" сілы - магчыма, нават больш, чым магчымасць перадачы сверхсветовых сігналаў або зваротным Другі закон тэрмадынамікі. Асноўным пунктам з'яўляецца тое, што, калі мы гаворым пра NP-поўных задач, мы гаворым не толькі аб планаванні палётаў авіякампаніі (ці ўжо на тое пайшло, ламаючы крыптасістэмы RSA). Мы гаворым аб аўтаматызацыі Insight: доказ гіпотэзы Рыма, мадэляванне на фондавым рынку, бачачы ўсе мадэлі або ланцуга лагічнага вываду ёсць у свеце не было відаць.
Такім чынам, выкажам здагадку, я сцвярджаю, рабочая гіпотэза, што NP-поўныя задачы не эфектыўна адрознай фізічнымі сродкамі, і што калі тэорыя мяркуе, у адваротным выпадку, больш верагодна, чым няма, што паказвае на праблему з тэорыяй. Тады Ёсць толькі дзве магчымасці: альбо я маю рацыю, ці ж я бог! І ні адзін гучыць добра для мяне...
Практыкаванне 7 для Non-Lazy Reader: Даказаць, што калі квантавая механіка была нелінейнай, то не толькі не маглі б вы вырашыць NP-поўных задач за паліномны час, вы можаце таксама выкарыстоўваць ЭПР пар перадаваць інфармацыю хутчэй, чым хуткасць святла.
- Пытанне: Але калі б я быў ??распрацоўцы Сусвету ў маім гаражы, я мог выбраць, каб хуткасць святла роўная бясконцасці.
Скот: Так, Вы закранулі яшчэ адзін з маіх любімых пытанняў: чаму хуткасць святла канчатковая балюча? Адна з прычын, я б хацеў, каб канчатковыя з'яўляецца тое, што, калі прышэльцы з Андрамэды галактыкі збіраюцца мяне, то я па крайняй меры хачу, каб яны павінны прыйсці сюды першым!
Далейшае чытанне
Глядзіце гэтую артыкул Люсьен Хардзі для "вываду" квантавай механікі гэта цесна звязана з аргументы, якія я даў, але значна, значна больш сур'ёзным і уважлівым. Глядзіце таксама амаль усё, што Крыс Фукс напісаў (і асабліва гэта праца пячоры, Фукс, і Шак, які абмяркоўваецца, чаму амплітуды павінны быць комплекснымі лікамі, а не лікаў або кватернионов).
[Размовы гэтай лекцыі на блогу]