Back to site
Since 2004, our University project has become the Internet's most widespread web hosting directory. Here we like to talk a lot about web servers, web development, networking and security services. It is, after all, our expertise. To make things better we've launched this science section with the free access to educational resources and important scientific material translated to different languages.

Inverse aproximata Matrix şi numărul Stare

Source: http://www.efgh.com/math/invcond.htm

Aproximativ 32 de ani în urmă, am publicat ceea ce unii au descris ca un "rezultat elegant", cu privire la numărul de condiţia matrice. Aceasta afirmă că o matrice de nonsingular are foarte diferite inverse aproximative dreapta şi la stânga, dacă şi numai dacă, acesta este bolnav condiţionat. Cu toate acestea, nu am publica o dovadă. Dovada nu este deosebit de dificilă. Este publicat pentru prima dată aici.

Toate următoarele rezultate a face cu finit-dimensional spaţii vectoriale reale. Vectori sunt în mod convenţional reprezentate prin vectori coloana. Toate sunt vectori de aceeaşi dimensiune şi toate matrice sunt matrici pătrate reale cu acelaşi număr de rânduri ca vectori.

Există extensii standard pentru spaţii finit-dimensional vector complex, dar unele rezultate nu sunt adevărate în cazul infinit-dimensionale.

Definiţie. O normă vectorială este o funcţie reală, de prim rang | | x | | de un vector x astfel încît pentru toţi vectorii x si y si toate c scalari:

  1. | | X | |> = 0 cu egalitate dacă şi numai dacă, x este zero.
  2. | | Cx | | = | C | | | x | |.
  3. | | X+ y | | <= | | x | |+ | | y | |.

Un exemplu de normă vectorială este norma euclidiană:

| | X | | = sqrt (x T x).

Un altul este "norma maximă":

| | X | | = max (| x 1 |, | x 2 |,..., | x n |),

unde x 1, x 2,..., x n sunt intrările în vectorul x.

Definiţie Norma matrice care corespunde unei normă vectorială este funcţia de prim rang real | | A | | din matricea A de definit

| | A | | = sup | | x | | = 1 | | Ax | |.

Argumente compact arată că există întotdeauna şi supremul este atins, deci există întotdeauna cel puţin un vector nenul x pentru care

| | Ax | | = | | A | | | | x | |.
Alternativ | | A | | ar putea fi definit ca numărul, astfel încât
| | Ax | | <= | | A | | | | x | |,
pentru orice x, cu egalitate pentru cel puţin una diferită de zero x. Este destul de uşor pentru a dovedi că, dacă A şi B sunt matrici si c este un scalar,
  1. | | A | |> = 0 cu egalitate dacă şi numai dacă, A = 0.
  2. | | CA | | = | C | | | A | |.
  3. | | A+ B | | <= | | A | |+ | | B | |.
  4. | | AB | | <= | | A | | | | B | |.

Definiţie. Numărul condiţie de o matrice nonsingular A cu privire la o normă matrice este

| | A | | | | A -1 | |.

O matrice cu un număr mare condiţie este declarat a fi bolnav condiţionat.

Dovada propoziţia următoare necesită unele teorie convexitate (a se vedea apendicele A).

. Proposition Pentru fiecare normă vectorială şi fiecare pereche de vectori x şi y, cu x diferit de zero, există o matrice A astfel încît Ax = y şi | | A | | = | | y | | / | | x | |.

Demonstratie. mulţimea {z | | | Z | | <= | | x | |} este mărginită şi convexă şi x este pe marginea sa. Prin urmare, există un hiperplan de sprijin (uneori numit un hiperplan tangenta) la x. Apoi, există o bază

x, e 2, e 3,..., s n,

în cadrul căreia toate vectorii x, cu excepţia sunt paralele cu hiperplan de sprijin.

Acum, să fie o matrice de cartografiere liniară care efectuează x în y şi orice vector altă bază la zero, adică, pentru orice w vector

w = cx+ c 2 s 2 + c 3 e 3 +...+ C n s n, Aw = cy.

Apoi, dacă c nu este zero,

w / c = x+ (c 2 / c) s 2 + (c 3 / c) s 3 +...+ (C n / c) s n.

Deoarece g / c este pe hiperplan de sprijin, acesta trebuie să se afle la limita sau în exteriorul setului {z | | | Z | | <= | | x | |}. Prin urmare

| | G / c | |> = | | x | |, | | W | |> = | c | | | x | |.

Prin urmare

| | Aw | | / | | W | | = | | CY | | / | | W | | <= (| c | | | Y | |) / (| c | | | x | |) = | | y | | / | | x | |.

Dacă c = 0, atunci | | Aw | | = 0, deci inegalitatea deţine încă. Mai mult decât atât, avem egalitate atunci când w = x. Prin urmare

| | A | | = | | y | | / | | x | |.

Teorema. Pentru orice matrice reală nonsingular A şi B, orice matrice reală nu este egal cu inversul A,

| | AB - I | | / | | BA - I | | <= | | A | | | | A -1 | |,

cu egalitate pentru unele B matrice aproape arbitrar de inversul A.

De asemenea,

| | BA - I | | / | | AB - I | | <= | | A | | | | A -1 | |,

cu egalitate pentru unele B matrice aproape arbitrar de inversul A.

. Dovada Fie D = BA - I. Apoi, prima afirmare devine

| | ADA -1 | | / | | D | | <= | | A | | | | A -1 | |,

cu egalitate pentru unele nenulă D. Putem face D aproape arbitrar de la zero prin simpla scalare.

Acum de (4) de mai sus, inegalitatea este uşor de a dovedi. Pentru a dovedi existenţa unei matrice D, pentru care deţine egalitate, permiteţi-x şi y să fie vectori diferită de zero, astfel încât

| | A -1 x | | = | | A -1 | | | | x | |, | | Ay | | = | | A | | | | y | |.

Fie D o matrice astfel încât

D (A -1 x) = y, | | D | | = | | y | | / | | A -1 x | |.

Apoi

| | ADA -1 | | | | x | |> = | | ADA -1 x | | = | | Ay | | = | | A | | | | Y | | = | | A | | | | A -1 x | | | | D | | = | | A | | | | A -1 | | | | x | | | | D | |,

de la care urmează imediat rezultatul dorit.

Dovada a afirmării, este similar.

Anexa A - O teorie convexitate Mica

Această parte a fost adaugat la 30 octombrie 2006.

O C subset de R n (n-dimensional spaţiu vectorial real) se numeste convex dacă pentru orice x şi y în C, segmentul de linie care uneşte le este, de asemenea, în C, şi anume tx+ (1-t) y este în C, pentru fiecare t între 0 şi 1.

Este uşor de arătat că interiorul şi închiderea unui set convexe sunt, de asemenea, convexe, şi că intersecţia a două seturi de convexe este convexă.

Un hiperplan este un tradus (n-1)-dimensional subspaţiu de R n, de exemplu, este de forma {h+ e | e în S}, unde h este un punct în hiperplan şi S este o (n-1)-dimensional subspaţiu S a R n. (Această reprezentare nu este unic, deoarece h poate fi orice punct de pe hiperplan.) Hiperplan este declarat a fi hiperplan care trece prin h, iar în paralel să S. un hiperplan în R 1 este un punct, un hiperplan în R 2 este o linie dreaptă, şi un hiperplan în R 3 este un plan.

Teorema A.1.. Un hiperplan în R n imparte R n în două bucăţi; mai precis, complementul de hiperplan constă în două seturi disjuncte deschise, care sunt numite cele două părţi ale hiperplan. În plus, un segment de linie dintr-o parte la alta trece prin hiperplan.

Dovada. Să presupunem că hiperplan trece prin h şi este paralel cu S, apoi permiteţi-s 1, s 2,..., s n-1 să fie o bază pentru S. Pentru orice x in R n f lasa (x) să fie determinantă a matrice ale căror coloane sunt s 1, s 2,..., s n-1 şi xh. Atunci f (x) = 0 dacă şi numai dacă, x este pe hiperplan. Deoarece f este continuour, cele două seturi de {x în R n | f (x) <0} şi {x în R n | f (x)> 0} sunt necesare seturi de deschis.

Teorema Valoarea intermediar poate fi folosit pentru a dovedi pe de altă parte.

. Teorema A.2 Având în vedere un set nevid convex C în R n şi un punct x din exterior a C, există un hiperplan care separă C, de la x, minciuna de exemplu, x şi C, pe părţi opuse ale hiperplan.

Dovada. Luaţi în considerare o la punctul C la închiderea de cel mai apropiat de C x (folosind metric euclidian uzuale); argumente standard, compact arată că un astfel de punct trebuie să existe. (Acesta poate fi, de asemenea, dovedit a fi unic, dar unicitatea nu este necesară pentru această dovadă.)

Deoarece x este în exteriorul C, c este diferit de x. Prin urmare există o (n-1) dimensional subspaţiu S a R n perpendiculară pe linia care uneşte segmentul C şi X, şi nu există un hiperplan care trece prin punctul de mijloc al segmentului de linie şi paralel cu S.

Punctele x şi c sunt pe părţi opuse ale hiperplan.

Acum îşi asumă, în scopul de contradicţie, că există un punct d în C pe hiperplan sau de pe aceeaşi parte ca x. Având în vedere că închiderea C este convex, segmentului de linie de la D la C se află în întregime în închiderea de C. ilustraţie care însoţeşte arată relaţia într-un plan bidimensional care conţin d, c şi x. Dcx unghi este acută, astfel încât unele punct de pe segmentul de linie suficient de aproape de c trebuie să fie mai aproape de x mult de c, care este o contradicţie, deoarece C a fost cel mai apropiat punct la închiderea de C la x.

Un hiperplan este numit un tangenta hiperplan, sau un suport hiperplan de un set în R n la un punct de frontieră în cazul în care (1) hiperplan conţine punctul de frontiera si (2) toate celelalte puncte din set, care nu sunt pe minciuna hiperplan privind o parte a hiperplan.

Teorema A.3. Un set convexe în R n are cel puţin un hiperplan tangenta la fiecare punct de frontieră.

Dovada. Fie b un punct limită al unui set S convexe, apoi permiteţi-x 1 ​​, x 21,... să fie o secvenţă de puncte de exterior se apropie de b. Prin Teorema A.2 pentru orice x I există un hiperplan H i separă b de la S. Unele secventa de aceste hyperplanes converge la hiperplan tangenta dorit.

Aţi putea întreba cum se poate hyperplanes converg. Doar asociat H I, cu punctul în care trece linia care uneşte x i la cel mai apropiat punct la închiderea de S şi o bază pentru normalizat sale subspaţiu S. coordonatele tuturor acestor vectori sunt delimitate, astfel încât toţi dintre ei au subsequences convergente.

Published (Last edited): 02-11-2011