Матэматычнай падрыхтоўкі
Гэтая вэб-старонка з'яўляецца перагледжаным і пашыраным варыянтам Дадатак з кнігі канцэптуальных структур Джона Ф. Сова. Яна ўяўляе сабой кароткае рэзюмэ ў наступных раздзелах для студэнтаў і агульнае чытачоў, што кнігі і кнігі, звязаныя з такімі як прадстаўлення ведаў і кніг па логіцы, лінгвістыцы, і кампутарныя навукі.
- Устанаўлівае, сумкі, і паслядоўнасцяў
- Функцыі
- Лямбда-вылічэння
- Графы
- Адносіны
- Прадстаўляючы адносін графамі
- Рашоткі
- Логікі выказванняў
- Лёгікі предикатов
- Аксіёмы і Доказы
- Фармальныя граматыкі
- Графы гульні
- Тэорыя мадэляў
- Спіс літаратуры
Заўвага: Спецыяльныя сімвалы ў гэтым файле, якія знаходзяцца па-за Latin-1 набор сімвалаў (ISO 8859-1) прадстаўлены малюнак для кожнага знака.. Alt тэг для кожнага выявы дае імя характар. Студэнты, хто толькі вучыцца сімвалы можна перамясціць мыш любому сімвалу, каб атрымаць кароткае напамін пра яго назву.
1. Устанаўлівае, сумкі, і паслядоўнасцяў
Элементарныя або "наіўнай" тэорыі мностваў выкарыстоўваецца для вызначэння асноўных матэматычных структур. Набор адвольны набор элементаў, які можа быць рэальнай ці ўяўнай, фізічнай або абстрактнай. У матэматыцы, наборы звычайна складаюцца з абстрактных рэчаў, як лікі і кропкі, але можна таксама размаўляць аб мноствах яблыкі, апельсіны, людзі, або канарэек. У кампутарнай навуцы, наборы складаюцца з біты, байты, паказальнікі і блокаў захоўвання. У шматлікіх прыкладаннях, элементы нідзе не вызначана, але застаюцца, як абстракцыі, якія могуць быць прадстаўлены па-рознаму ў мозгу чалавека, на паперы, або ў памяці ЭВМ.
Фігурныя дужкі выкарыстоўваюцца, каб прыкласці набор спецыфікацый. Для малых, канчатковых мностваў, спецыфікацыі набору можа быць вычарпальны пералік ўсіх яго элементаў:
{1, 97, 63, 12}.
Гэта вызначае набор, які складаецца з чатырох лічбаў 1, 97, 63 і 12. Так як парадак пералічэння элементаў не мае значэння, наступныя спецыфікацыі эквівалентна адной вышэй:
{12, 63, 97, 1}.
Калі набор вельмі вялікі, як і мноства ўсіх млекакормячых, поўны спіс немагчыма. Гэта досыць цяжка пералічыць усе людзі ў адным горадзе, не кажучы ўжо пра ўсіх кошак, сабак, мышэй, аленяў, авечак і кенгуру на тэрыторыі ўсяго свету. Для такіх мностваў, спецыфікацыі павінна быць паказана нейкае правіла або ўласцівасць, вызначальнае, якія элементы ў наборы:
{x | vertebrate(x) and warmBlooded(x) and hasHair(x) and lactiferous(x)}
Гэтая спецыфікацыя можа быць прачытана мноства ўсіх х такіх, што х хрыбетнікаў, х цеплакроўных, х ёсць валасы, і х млечны. Дадзенага мноства можа быць паказаны ў больш чым адным спосабам. Наступныя чатыры характарыстыкі за ўсё вызначыць той жа набор:
{1, 2, 3}
{x | x is an integer and 0<x<4}
{x | x is a positive integer, x divides 6, and x
6}
{x | x=1 or x=2 or x=3}
Набор спецыфікацый, якія пералічаны ўсе элементы відавочна называецца вызначэнне па пашырэнні. Спецыфікацыі, што дзяржавы уласнасці, якія павінны быць праўдзівымі кожнага элемента называецца вызначэнне напругу. Толькі канчатковых мностваў можна вызначыць па пашырэнні. Бясконцыя мноства заўсёды павінна быць вызначана інтэнсіўнасць або некаторых аперацый на іншых бясконцых мностваў, якія раней былі вызначаны напругу. У любым выкарыстанні тэорыі мностваў, Ёсць два прывілеяваных мностваў: пустое мноства {}, які не ўтрымлівае элементаў на ўсіх, і універсальнага мноства U, які змяшчае ўсе элементы, якія ў цяперашні час разглядаецца. У матэматычнай дыскусіі, напрыклад, універсальны набор можа быць мноства ўсіх цэлых лікаў Z або мноства ўсіх сапраўдных лікаў R. У большасці дыскусій, універсальны набор звычайна вызначаецца ў пачатку прэзентацыі. Пасля іншыя наборы будуюцца з U: падмноства U, пар элементаў U, наборы наборы элементаў з U, і г.д.
З усіх аператараў, якія займаюцца з мноствамі, самых асноўных з'яўляецца 
, У якім гаворыцца, ці з'яўляецца пэўны элемент у камплекце: абазначэнне X S азначае, што X з'яўляецца элементам мноства S; яна таксама можа быць прачытана х з'яўляецца членам мноства S ці проста х у х. Усе астатнія аператары на наборы могуць быць вызначаны ў тэрмінах . Хай А і У любых двух мностваў. Ніжэй прыведзены агульныя аператараў тэорыі мностваў, пералічаных для кожнага з іх сваю назву, стандартны знак, неафіцыйны англійская азначэнні, і фармальнае вызначэнне ў тэрмінах :
- Саюза.
У гэты набор, які змяшчае ўсе элементы ў А ці У або як:
A
B = {x | xA or xB}.
- Скрыжаванне.
У гэты набор, які змяшчае ўсе элементы, якія знаходзяцца ў А і Б:
A
B = {x | xA and xB}.
- . Дадатак - гэта набор, які ўтрымлівае ўсё, што ў універсальны набор, які не ў:
-A = {x | xU and not xA}.
- . Розніца - B з'яўляецца набор, які змяшчае ўсе элементы, якія знаходзяцца ў, але не ў B:
A-B = {x | xA and not xB}.
- Падмноства.
У азначае, што кожны элемент таксама элемент B:
If x
У прыватнасці, любое мноства з'яўляецца падмноствам самога сябе:A, then xB.
. - Уласнае падмноства. З'яўляецца ўласным падмноствам B, калі B і ёсць прынамсі адзін элемент з В, што не ў:
If x
A,
then xB and there exists some b
where bB and not bA.
- Надмножество. З'яўляецца пашыраным варыянтам B, калі B з'яўляецца падмноствам.
- мноства. Пусты пустое мноства не мае элементаў: для кожнага х, няслушна, што х {}. Пустое мноства з'яўляецца падмноствам любога мноства, у тым ліку сам: для любога мноства {} .
- Неперасякальных мностваў:. Два мноства А і У называюцца неперасякальнымі, калі яны не маюць агульных элементаў, т. е. іх перасячэнне з'яўляецца пустым мноствам B = {}.
Аператары для аб'яднання, перасячэння і дапаўненні задавальняюць некалькі стандартных тоеснасці. Некаторыя з тоеснасці, пералічаныя ніжэй, падобныя на правілы звычайнай арыфметыкі. Складанне і множанне, напрыклад, выконваць правілы коммутативности і асацыятыўнай, і знак мінус падпарадкоўваецца правілу двайнога дапаўненні. Идемпотентность, паглынання і законы Дэ Моргана, аднак, не маюць месцы для звычайнай арыфметыкі. Дыстрыбутыўнага справядліва для множання адносна складання, але таго не размяркоўвае па множаньню.
- Идемпотентности. Ідэнтычна, і Таксама ідэнтычныя.
- Коммутативности. B супадае з B , І B супадае з B .
- Асацыятыўнае. (B З) супадае з ( B) C, і (B З) супадае з ( B) C.
- Дыстрыбутыўнага. (B З) супадае з ( B) ( З), і (B З) супадае з ( B) ( С).
- Паглынанне. ( B) супадае з і ( B) таксама ідэнтычныя.
- Падвойны дапаўненні -. - ідэнтычна.
- Дэ Моргана законы -. ( B) супадае з - - B. і - ( B) супадае з - - B.
Для складаных набораў, правіла для вызначэння таго, якія элементы ў набор могуць апынуцца занадта складанымі для дзяржавы ў адным выразе. Прыкладам можа служыць сукупнасць усіх граматычных прапаноў у некаторых моў, натуральных або штучных. Такія наборы звычайна паказваюцца на рэкурсіўнае вызначэнне:
- Першы канчатковых стартавы набор элементаў.
- Тады некаторыя аперацыі, названыя для стварэння новых элементаў мноства са старых элементаў.
- Нарэшце, мноства называецца найменшае мноства, якое змяшчае элементы, пачынаючы і ўсе іншыя, якія могуць быць атрыманы ад іх шляхам шматразовага прымянення генерацыі аперацый.
Мноства звязаныя з гэтымі аперацыямі называецца закрыццё стартавы набор па дадзенай аперацыі генерацыі. Як прыклад рэкурсіўнага вызначэння, мноства S ўсіх натуральных лікаў не дзеліцца на 3 можа быць паказана на напружанне:
S = {x | x is an integer, x>0, and 3 does not divide x}.
Але ўласцівасць х цэлае залежыць ад некаторых папярэдняе вызначэнне мноства ўсіх цэлых лікаў. Наступнае рэкурсіўнае вызначэнне залежыць толькі ад аперацыі дадання 3: - Хай мноства {1, 2} падмноства S.
- Калі х з'яўляецца любы элемент з S, то х 3 таксама элемент S.
- S з'яўляецца найменшае мноства, якое вышэй двума ўласцівасцямі, т. е. S з'яўляецца падмноствам любога іншага набору, што ёсць тыя ўласцівасці.
Усе элементы S могуць быць пералічаныя, пачынаючы з {1, 2}. Першы этап размяшчэння 3 генеруе новыя элементы, 4 і 5, дадаўшы 3 да іх дае 7 і 8, затым 10 і 11, і гэтак далей. Мноства S з'яўляецца замыканнем мноства {1, 2} адносна аперацыі дадання 3. Рэкурсіўныя вызначэння адмысловага роду вызначэнне напругу. Фармальныя граматыкі прадстаўлены ў раздзеле 10 вызначыць мовах рэкурсіўнае вызначэнне, у якім генерацыі аперацый задаецца наборам правіл вытворчасці. Для абмеркавання і параўнання розных метадаў вызначэння, глядзіце таксама заўвагі на вызначэння Норман Шварц.
Мностве няма паўтаральных элементаў. Так як усё дублікаты адкідаюцца ў вылічальных аб'яднанне двух мностваў, аб'яднанне аператар идемпотент: =. У некаторых выпадках, можна хочаце, каб дублікаты, таму сумка калекцыю рэчаў з магчымым дублікатаў. Так можа быць і больш, чым адно ўваходжанне дадзенага элемента х, кол аператара @ з'яўляецца абагульненнем элемент аператара . Выраз х @ гэта колькасць разоў элемент х адбываецца ў мяшок. Сумкі карысныя для многіх мэтаў, такіх, як ўзяцце сярэдніх: калі чатыры чалавекі маюць вышыню 178 см, 184cm, 178cm, 181cm і, то мноства тых лікаў {178, 181, 184} з сярэднім 181, але мяшок лікаў {178, 178, 181, 184} з сярэднім 180,25.
Паслядоўнасць упарадкаваных мяшок. Каб адрозьніваць ад упарадкаваных паслядоўнасцяў неупарадкаваных набораў і сумкі, элементы паслядоўнасці складаюцца ў вуглавыя дужкі: 
178, 184, 178, 181 
; Пустая паслядоўнасць пісьмовага . Калі паслядоўнасць мае п элементаў, элементы, пронумерованные ад 1 да N (ці ж ад 0 да N -1). Паслядоўнасць з двух элементаў часам завецца спарадкаваная пара; паслядоўнасць з трох элементаў, патройны; паслядоўнасць з чатырох, чацвёрка; паслядоўнасць пяць, пяцёрка, і паслядоўнасць з п элементаў, п-кратная. Гістарычна склалася так, тэорыя мностваў была ўпершыню вызначана без уліку парадку. На аркушы паперы ці ў памяці ЭВМ, аднак, элементы мноства павінны быць пералічаныя ў нейкі парадак. Паслядоўнасці, такім чынам, лягчэй ўявіць, чым мяшкі, сумкі і лягчэй ўявіць, чым камплект: сумка паслядоўнасць упарадкавання ігнаруецца, і набор паслядоўнасці з абодвух парадку і дублікаты ігнаруюцца.
Новыя наборы могуць быць створаны шляхам аб'яднання элементаў з сусвету U-рознаму. Перакрыжаванае твор двух мностваў А і В, напісаны ? B, з'яўляецца мноства ўсіх магчымых упарадкаваных пар з першага элемента кожнай пары ўзятыя з і другі элемент з B. Калі ёсць мноства {1,2} і B з'яўляецца мноства {X, Y, Z}, то A ? B-мноства,
{З абазначэння для вызначэння устаноўленых уласнасці або правілы, можна даць агульнае вызначэньне для вектарнага творы A ? B:
{Вектарная твор можа быць прадоўжаны да трох ці больш набораў. Прадукт ? У ? З вызначаецца як
{Так Рэнэ Дэкарт ўнёс пары лікаў для вызначэння кропак на плоскасці, вэктарная твор называюць таксама дэкартавай твор у яго гонар.C}.
У гэтай кнізе, большасць набораў вядома. Усярэдзіне кампутара ці чалавечага мозгу, усіх мностваў, якія відавочна захоўваюцца павінна быць канчатковым. Але матэматычныя вызначэння і доказы, як правіла, прасцей, калі не існуе верхняга мяжы памеру мностваў. Такім чынам, азначэнні ў галіне камп'ютэрнай навукі часта дазвол бясконцых мностваў, але пры тым разуменні, што любая рэалізацыя будзе толькі выбраць канчатковае падмноства. Большасць бясконцых мностваў абмяркоўвацца ў галіне камп'ютэрнай навукі мяркуюцца падліковай: падліковай мноства з'яўляецца адным элементы якога можна паставіць у адзін-да-адназначная адпаведнасць з цэлымі лікамі. Мноства ўсіх сапраўдных лікаў незлічоная, але такія мноства далёка за ўсё, што можа быць рэалізавана ў камп'ютэрных сістэмах.
Тэрміналогіі для мностваў цалкам стандартна, хоць некаторыя аўтары выкарыстоўваюць слова клас для набору і іншыя робяць адрозненні паміж класамі і мностваў. Торбы не выкарыстоўваюцца, як звычайна ў выглядзе набораў, і тэрміналогія менш стандартнай. Некаторыя аўтары выкарыстоўваюць слова MultiSet за мяшок. Паслядоўнасці часам называюць спісаў або вектараў, але некаторыя аўтары робяць адрозненняў паміж імі. Некаторыя аўтары выкарыстоўваюць знак ? для пустога мноства, але абазначэнне {} больш у адпаведнасці з пазначэннямі для пусты паслядоўнасці.
2. Функцыі
Функцыя правіла для адлюстравання элементаў аднаго мноства з элементамі іншага мноства. Абазначэнне F: 
У азначае, што F з'яўляецца функцыяй, якая перакладае любы элемент х з мноства да некаторага элементу / (х) у мностве B. Мноства называецца вобласцю F і B называецца дыяпазон F. У матэматыцы, элемент х завецца аргументам, і / (х) завецца вынік ці вобраз X пры адлюстраванні /. У кампутарнай навуцы, х называецца ўваход і / (х) завецца выхад.
Хай Z ёсць мноства ўсіх цэлых лікаў, а N ёсць мноства неадмоўных цэлых лікаў (г.зн. натуральных лікаў і нуля). Затым вызначыце функцыю плошча: Z N з адлюстраваннем правіла,
square(x) = x2.Функцыя квадратных распаўсюджваецца на ўсе элементы ў сваёй вобласці Z, але не ўсе элементы ў сваім класе N вобразы якой-небудзь элемент Z. Напрыклад, 17 не квадрат любы цэлы лік. І наадварот, некаторыя элементы ў N з'яўляюцца выявамі двух розных элементаў Z, так як плошчы (3) = 9 і плошчы (-3) = 9.
Функцыі на, калі кожны элемент яго дыяпазон выявы якога-небудзь элемента яго вобласці. Як, напрыклад, вызначыць абсалютныя значэння функцыі, ABS: Z N, з адлюстраваннем,
+x if x
0
abs(x) =
-x if x<0
Кожны элемент N з'яўляецца чынам хаця б адзін элемент з Z пры адлюстраванні ABS, таму АБС на. Звярніце ўвагу, што АБС на толькі таму, што яе дыяпазон абмежаваны N. Калі дыяпазон быў Z, ён не будзе, паколькі не на адмоўнае лік з'яўляецца абсалютная значэнне нічога Z. Функцыі ўзаемна адназначнае, калі няма двух элементаў сваёй вобласці пераходзяць у той жа элемент у свой ??асартымент. Функцыя ABS не з'яўляецца адназначным, паколькі усе элементы N, акрамя 0 з'яўляюцца выявамі двух розных элементаў Z. Напрыклад, ABS (-3) і ABS (3), як 3. У якасці больш тонкі прыклад, разгледзім функцыю G: Z N з адлюстраваннем,
g(x) = 2x2 + x.Тады г (0) = 0, G (1) = 3, G (-1) = 1, г (2) = 10 г (2) = 6 і г. д. Функцыя G ўзаемна адназначна з няма двух элементаў Z адлюстроўваюцца ў той жа элемент N. Тым не менш, г не на таму, што многія элементы N не выявы любога элемента Z. Заўважым, што G з'яўляецца адным адназначна толькі па вобласці Z цэлых лікаў. Калі яе вобласць вызначэння і вобласць былі распаўсюджаны на мноства R ўсіх сапраўдных лікаў, гэта не будзе адзін да аднаго: G (-0,5) і G (0), напрыклад, як 0.
Функцыя, як адзін-да-аднаму і на называецца изоморфизмом. Два мноства, якія ўтвараюць вобласць вызначэння і вобласць функцыі называюцца ізаморфныя адзін да аднаго. Хай Е мноства цотных лікаў, і хай O быць мноства няцотных лікаў. Затым вызначыце функцыі прырашчэнне: E O з адлюстраваннем,
increment(x) = x + 1.Гэтая функцыя з'яўляецца изоморфизмом з мноства Е ў мноства О, таму што гэта як адзін-да-аднаму і на. Такім чынам, мноства Е і Аб ізаморфныя. Замест таго, каб умовы адзін да аднаго, на, і ізаморфныя, многія аўтары выкарыстоўваюць эквіваленце инъективно, сюръективно, і ўзаемна адназначна.
Для многіх прыкладанняў, ізаморфныя структуры лічацца эквівалентнымі. У старамоднай камп'ютэрных сістэм, напрыклад, адтуліны на перфакартах могуць уяўляць тыя ж дадзеныя, як намагнічаныя плямы на стужку або токаў у транзістарах. Адрозненні ў апаратнай маюць вырашальнае значэнне для інжынера, але ніякага дачынення да праграміста. Калі праграмісты скапіяваныя дадзеныя з карты на стужку, яны бестурботна казаць пра "загрузцы карт на стужку", як калі фактычныя работы былі перамешчаныя. Адзін міфічны праграміст нават напісаў прапанова для зніжэння транспартных выдаткаў у утылізацыі старых карт: карты нагрузкі на стужку і ўдар іх на перапрацоўку творы.
Калі F з'яўляецца изоморфизмом з А ў У, то існуе зваротная функцыя, F -1: B . Зваротнай функцыі прырашчэнне функцыі декремента: O E з адлюстраваннем,
decrement(x) = x - 1.Кампазіцыя двух функцый з'яўляецца прымяненне адной функцыі да выніку іншы. Выкажам здагадку, што F:
B і G: B З двух функцый. Тады іх склад G (F (X)) з'яўляецца функцыяй ад А да С. Склад функцыі з зваротным вырабляе тоесныя функцыю, якая перакладае любы элемент у сябе. Для любога X ў Е, памяншэнне (павелічэнне (х)) з'яўляецца арыгінальным элементам х. Функцыі могуць мець больш аднаго аргументу. Функцыя двух аргументаў, першы аргумент зыходзіць ад мноства, другі аргумент з мноства B, і ў выніку правядзення комплексу С вызначаецца F: A ? B C. Функцыі з адным аргументам называецца монадической, з двума аргументамі двайкова, з трыма аргументамі триадные, і з п аргументаў п-адические. Гэтыя тэрміны з'яўляюцца вытворнымі ад грэч. Некаторыя аўтары аддаюць перавагу лацінскіх тэрмінаў Унарная, бінарныя, патройныя, і п-ичных. Лік аргументаў функцыі часам называюць яго валентнасць, adicity, ці мясцовасці.
Правіла, якое вызначае функцыю F: B як адлюстраванне з мноства ў мноства У называецца напружанне функцыі /. Пашырэнне F з'яўляецца мноства упарадкаваных пар вызначаюцца такія правілы:
{a1,b1, a2,b2
, a3,b3,...}.
дзе першы элемент кожнай пары элементаў х, а другі вобраз / (х) у мностве B. Вызначэнне пашырэнне магчыма толькі, калі вобласць з'яўляецца канчатковай. Ва ўсіх іншых выпадках, функцыі павінны быць вызначаны напругу. (Можна, вядома, вызначыць пашырэнне функцыі як бясконцае мноства, але паставіла перад сабой павінны быць вызначаны напружанне.) Так як функцыя правіла для адлюстравання аднаго набору ў іншы, тэрмін адлюстраванне часам выкарыстоўваецца як сінонім для функцыі. Іншы сінонім функцыі тэрмін аператара. Складанне, адніманне, множанне і дзяленне двайкова функцый, вызначаных над рэчавымі лікамі, але яны, як правіла, завуцца аператарамі. Агульныя адрозненні ў тым, што функцыі звычайнага літарныя імёны, але аператары пазначаныя спецыяльныя сімвалы, як + або ?. Традыцыйныя матэматычнай практыцы, як правіла, выкарыстоўваць некалькі розных тэрмінаў у якасці неафіцыйнага сінонімаў для функцый:
- Калі вобласць вызначэння функцыі з'яўляецца мноства простых рэчаў, напрыклад, нумар і тып этыкеткі, яго звычайна называюць функцыю.
- Калі яе вобласць вызначэння і вобласць з'яўляюцца мноства складаных структур, як канцэптуальныя графы, яго часта называюць адлюстраванне.
- Калі яго імя ў цяперашні час пішацца ў поўным аб'ёме для зручнасці чытання, яна можа быць запісана ў выглядзе літарна-лічбавай радкі, такія як прырашчэнне (х) або add1 (х).
- Калі гэта часта адбываецца ў складаных выразаў, яна можа быць скарочана да аднаго знака або грэцкая літара, такія як
х, і назваць аператару.
3. Лямбда-вылічэння
Вызначэнне функцыі правіла некалькі фізічных або інтуітыўна, чым вызначыўшы яго як мноства упарадкаваных пар. Але ўзнікае пытанне, калі функцыі, пэўныя па розных правілах або намераў, здараецца, маюць дакладна такія ж наборы упарадкаваных пар або пашырэнняў. Пры распрацоўцы сваёй тэорыі лямбда-вылічэння, логіка Алонзо Чэрч (1941) адрозніваюцца роўнасць на напружанне ад роўнасці па пашырэнні:
Не выключана, аднак, каб дазволіць вядзенне дзвюх функцый, якія будуць адрознівацца на той падставе, што правіла адпаведнасці адрозніваецца па значэнні ў двух выпадках хоць заўсёды прыносіць той жа вынік пры прымяненні да якой-небудзь канкрэтнай аргумент. Калі гэта будзе зроблена, мы будзем казаць, што мы маем справу з функцый у напружанні. Паняцце адрозненне ў значэнні паміж двума правілы адпаведнасці з'яўляецца нявызначаным, але з пункту гледжання якой-небудзь сістэмы пазначэньняў, гэта можа быць зроблена сапраўды ў па-рознаму.шлях Царквы прыняцця паняцце дакладнай было вызначыць Lamda падлік як абазначэнне для вызначэння функцый і метад для пераўтварэння любога дадзенага вызначэння ў іншыя эквівалентныя вызначэння.
У матэматыцы, традыцыйны спосаб вызначэння функцыі паказаць імя функцыі і яе фармальнага параметру ў левай частцы ўраўненні і пакласці Вызначэнне выразы на права:
f(x) = 2x2 + 3x - 2.Гэты метад вызначэння робіць немагчымым, каб паказаць імя / функцыі незалежна ад назвы х фармальнага параметру. Каб падзяліць іх, Царква прыняла грэцкая літара
у якасці маркера вызначэнні лямбда-выразаў:
f =У гэтым раўнанні, імя F з'яўляецца сама па сабе злева, і яго вызначэнне асобных выраз у правай. Сімвал X, які з'яўляецца пасля
называецца фармальным параметрам або звязанай зменнай, а астатняя частка выразы называецца целам. з правіламі Царквы для лямбда-пераўтварэнні з'яўляюцца фармальнымі заявамі агульныя метады для вызначэння і ацэнкі функцый. Кожны раз, калі функцыя прымяняецца да сваіх аргументаў, такія як F (5), функцыя можа быць ацэненая, замяніўшы назва F з целам вызначэння і падстаўляючы аргумент 5 для кожнага ўваходжання фармальнага параметру х. Царква таксама вызначаны дадатковыя аператары, якія ў спалучэнні з функцыяй ацэнкі для вытворчасці вылічальнай сістэмы, якая з'яўляецца як агульнай, як машына Цьюрынга.
З такімі правіламі, Цэрквы адказаў на пытанне аб роўнасці функцый: яны роўныя па пашырэнні, калі яны маюць аднолькавыя мноства упарадкаваных пар, і яны роўныя, калі інтэнсіўнасць іх вызначэння зводзяцца да таго ж кананічнага ўвазе правілы лямбда-пераўтварэнні. Важным вынікам лямбда-вылічэння Чэрч-Россера тэарэмы: калі выраз мае больш за адну функцыі прыкладання, якія могуць быць ацэнены, парадак ацэнкі не мае значэння, паколькі тыя ж кананічнай форме будзе атрыманы з любой паслядоўнасці ацэнак.
У кампутарнай навуцы, выразны падзел імя функцыі па яе вызначэнні выраз дазваляе лямбда-выраз, якое будзе выкарыстоўвацца ў любым месцы, што імя функцыі могуць быць выкарыстаны. Гэтая функцыя асабліва карысная для прыкладанняў, якія ствараюць новыя функцыі дынамічна і перадаваць іх у якасці аргументаў іншых функцый, якія ацэньваюць іх. Джон Макарці (1960) прынята лямбда абазначэння ў якасці асновы для вызначэння і ацэнкі функцый на мове праграмавання LISP. Распаўсюджаны метад камп'ютэрнай лінгвістыкі з'яўляецца пераклад прыродных фраз мовы ў лямбда-выразаў, якія вызначаюць іх семантыка. Уільям Вудс (1968) выкарыстаў гэты метад для вызначэння семантыкі Англійская кванторов кожны, а некаторыя, а таксама пашыраныя кванторов, такіх як больш двух або менш сямі. Ён ажыццявіў яго вызначэння ў праграмах LISP, што пераклад англійская пытанні лямбда-выразаў, якія пасля былі ацэнкі для вылічэння адказаў. Рычард Мантэгю (1970) прынята аналагічную тэхніку для яго лячэння кванторов ў прыродных семантыкі мовы.
4. Графы
У дыяграмах, граф, як правіла, малюецца як сетка вузлоў, злучаных дугамі. Такія дыяграмы ўвесці адвольнае канвенцый, якія не маюць дачынення да матэматычнай азначэнняў і тэарэм: Ёсць дугі звяртаецца выгнутыя або прамыя? Кароткія або доўгія? З'яўляюцца вузламі звяртаецца ў выглядзе кропак, акружнасцяў, або іншыя формы? Ці ёсць сэнс у тым, вузел х зверху, знізу, справа ці злева ад вузла у? Каб пазбегнуць такіх пытанняў, граф вызначаецца фармальна без спасылкі на дыяграме. Дыяграмы затым прадставіў у якасці неафіцыйных ілюстрацый. Дыяграмы маюць важнае значэнне для развіцця інтуітыўнага разумення, але вызначэння і доказы не залежаць ад якіх-небудзь прыкмет малюнак, які прама не згадваецца ў фармальных азначэнняў.
Малюнак 1: Прыклад графа
Фармальна, граф G складаецца з мноства N вузлоў і мноства дуг. Кожная дуга ў гэты пары вузлоў з мноства N. Для ўзору графа на малюнку 1, набор вузлоў {A, B, C, D, E}, а мноства дуг { A, B , , D , B, C , C, D , D, E }. Звярніце ўвагу, што вузел D, здараецца, канчатковай пункту з трох розных дуг. Гэта ўласцівасць можа быць відаць адразу з дыяграмы, але гэта патрабуе руплівай праверкі, каб праверыць яго з мноства пар. Для людзей, дыяграмы найбольш зручны спосаб мыслення пра графах. Для матэматычнай тэорыі, мноства пар лягчэй аксиоматизировать. І для кампутарных рэалізацыях, шмат розных структур дадзеных, якія выкарыстоўваюцца, напрыклад, блокі для захоўвання вузлоў і паказальнікаў для дуг.
Малюнак 2: альтэрнатыўны спосаб нанясення жа граф як паказана на малюнку 1.
Малюнак 2 з'яўляецца яшчэ адным спосабам малявання жа граф, намаляваны на малюнку 1. Дзве дыяграмы выглядаюць вельмі розныя, але іх абстрактныя прадстаўлення ў выглядзе набору вузлоў і дуг ж. Нават тады, калі графы вызначаны ў чыста абстрактным чынам, могуць узнікнуць пытанні аб парадку двума вузламі дугі. Калі парадак не мае значэння, пазначэнне {A, B} паказвае, што дуга неўпарадкаванай набор з двух вузлоў. Граф, дугі неупарадкаваных пар называецца неориентированный. Калі парадак важны, A, B і B, прадстаўляюць розныя дугі і граф называецца быць накіраваныя. Для арыентаванага графа прадстаўлены на малюнках 1 і 2, стрэлкі на кожнай дузе паказвае на другі вузел кожнай упарадкаванай пары.
Хоць графаў вызначаны абстрактна, матэматыкі звычайна візуалізаваць іх у выглядзе дыяграм. Агульных канвенцый для малявання графаў, адлюстраваны ў апісальныя тэрміны, як канчатковая кропка, завеса, шлях і цыкл. Хай я дугі , У . Тады вузлоў і B называюцца канчатковымі кропкамі Е і Е завецца, каб звязацца і б. Калі я дугі арыентаванага графа, то першая канчатковая кропка называецца крыніцай е, а другі B канчатковая кропка называецца мэтавай электроннай. Слова мэтавай лёгка запомніць, паколькі гэты кірунак стралка. Цыкл дугі е, канчатковыя кропкі і той жа вузел: E = , .
Камбінацыі дугі часта называюць метадамі абыходу графа. Шпацыр па графе паслядоўнасць вузлоў 0, 1,..., п , Для якіх любыя дзве суседнія вузлы я і я 1 з'яўляюцца канчатковымі кропкамі некаторай дугі. Любыя дугі, канцы якога сумежных вузлоў хады называецца пройдзенага пешшу. Хады, якая ўтрымлівае N 1 вузлы павінны прайсці п дуг і таму называецца даўжыні п. Шлях хады, у якой усе вузлы розныя. Хадзіць толькі з адным вузлом 0 гэта шлях даўжыні 0. Калі першы і апошні вузлы хадзіць тыя ж, але ўсе астатнія вузлы розныя, то хадзіць называецца цыкл. Кожны цыкл цыкл даўжыні 1, але цыклы могуць перасякаць больш адной дугі.
Для графа на малюнку 2, хадзіць Е, D, A, B гэта шлях, таму што ўсе вузлы розныя. Шлях даўжынёй 3, што роўна ліку дуг, пройдзены кропкай, які рухаецца па шляху. Хады D, C, B, A, D з'яўляецца цыклам, паколькі яна пачынаецца і сканчаецца на адным вузле.
Калі G з'яўляецца арыентаваны граф, то ісці, шлях, або цыкл праз G можа ці не можа ісці жа кірунку стрэлкі. Хады, шлях або цыкл праз G называецца накіраваным, калі суседнімі вузламі адбываецца ў тым жа парадку, у якім яны сустракаюцца ў некаторых дуга G: калі я і я 1 з'яўляюцца суседнімі вузламі на шпацыр, то спарадкаваная пара я, я 1 павінны быць дуга G. Дугі арыентаванага графа, як вуліцу з аднабаковым рухам, і накіраваны падпарадкоўваецца хады ўсе аднабаковыя знакі (наканечнікі стрэл). Неориентированного прайсці праз арыентаваны граф магчыма, проста ігнаруючы замовы.
Граф называецца сувязным, калі ёсць магчымыя шляхі (рэжысёр або неориентированный) паміж любымі двума вузламі. Калі ён не падключаны, то ён распадаецца на неперасякальных кампаненты, кожны з якіх падключаны, але ні адзін з якіх мае шляху ўвязкі з любым іншым кампанентам. Сучлянення графа вузла, якія ў выпадку іх выдалення, выклікае графа (ці кампанент, у якім ён знаходзіцца) для падзелу на два або больш няскладныя кампаненты.
Некаторыя прыватныя выпадкі графы досыць важным, каб надаць асаблівую назва: ацыклічныя граф з'яўляецца адным, што не мае цыклаў, і дрэва ацыклічныя складны граф, для якіх шлях паміж любымі двума вузламі з'яўляецца унікальным. Найбольш часта выкарыстоўваюцца дрэвы каранямі дрэў:
- Дуг каранёвага дрэва накіраваныя.
- Калі , У з'яўляецца дуга дрэва, вузел называецца бацькі B, а B з'яўляецца нашчадкам.
- Існуе прывілеяваных вузел называецца корань, які не мае бацькі.
- Кожны вузел, акрамя каранёвай мае роўна аднаго з бацькоў.
- Вузла, які мае ні адзін дзіця не называецца лістом.
Тэрміналогіі дрэў распаўсюджваецца на звязаныя графы: лес калекцыя адключаны дрэў; ланцуг дрэва без галін 
усе вузлы размешчаны ўздоўж аднаго шляху, і насенне толькі адзін вузел і не дуг. Некаторыя аўтары патрабуюць кожны граф мець па крайняй меры адзін вузел, але і іншыя аўтары ўключаюць пусты граф ці пусты, які не мае вузлы або дугі.
Малюнак 3: бінарныя дрэва
Бінарныя дрэва каранямі дрэва, дзе кожны вузел, які не з'яўляецца лістом мае роўна двух дзяцей (мал. 3). У бінарных дрэў, дваіх дзяцей кожнага вузла, як правіла, прызначаецца ў якасці левай дзіцяці і правы дзіцяці. Паколькі дрэва не мае цыклаў, агульнае пагадненне аб спрашчэнні дыяграм апусціць стрэлкі на дугах, але звярнуць бацькоўскіх вузлоў на больш высокім узроўні, чым іх дзеці. Для малюнку 3, корань, які не мае бацькоў, знаходзіцца на вяршыні, і лісце, якія не маюць дзяцей, размешчаныя ўздоўж ніжняй.
У камп'ютэрных прыкладанняў, кожны вузел дрэва або іншых граф можа мець некаторыя звязаныя з ім дадзеныя. Для апрацоўкі гэтых дадзеных, праграма можа прагуляцца па дрэве і апрацоўкі дадзеных у кожным вузле яго наведвання. Для дрэва на малюнку 3, уявіце сабе шпацыр, якая пачынаецца ў корані, наведванне кожнага вузла па крайняй меры адзін раз, і спыняецца, калі ён вяртаецца да кораня. Выкажам здагадку, што злева дзіця заўсёды наведвалі перад правы дзіцяці. Такія прагулкі наведае лісце дрэў толькі адзін раз, але гэта будзе наведаць кожны з галінаваных вузлоў у тры разы: A, B, D, B, E, B, A, C, F, H, F, I, F, C, G, C, . Ёсць тры варыянты таму для апрацоўкі дадзеных у вузлах галінавання:
- Папярэдні заказ. Працэс дадзеных на першы візіт да вузла. Для малюнку 3, вузлы будуць апрацоўвацца ў парадку, B, D, E, C, F, H, I, G.
- Postorder. Працэс дадзеныя апошняга візіту ў кожным вузле. Для малюнку 3, вузлы будуць апрацоўвацца ў парадку, D, E, B, H, I, F, G, З, А.
- Сіметрычнага. Працэс дадзеных на Блізкім наведванне кожнага вузла. Для малюнку 3, вузлы будуць апрацоўвацца ў парадку, D, B, E, A, H, F, I, C, G.
Гэтыя вызначэння можна абагульніць на дрэвы з aribtrary колькасць дзяцей у кожнай галінавання вузла. Яны таксама могуць быць абагульнены на графах, знаходзячы Spanning Tree, які ўключае ў сябе ўсе вузлы графа, але не ўключае некаторы падмноства дуг.
Агульнага прымянення граф або дрэва хады алгарытмаў перакладу дрэва разбору або канцэптуальны граф для некаторага натуральнага або штучнага мовы. Мадэлі парадку слоў у розных мовах Natual могуць быць атрыманы рознымі спосабамі хады праз канцэптуальны граф і перакладу канцэпцыі вузлоў словы на мове перакладу (Сава 1984). Ірландскія і біблейскі іўрыт, напрыклад, предпорядка мовы, якія ставяць дзеяслоў па-першае, Лацінскай і японцы postorder мовы, якія ставяць дзеяслоў нарэшце, і англійская і кітайскі мовы, якія сіметрычнага Пастаўце дзеясловы ў сярэдзіне.
Тэрміналогіі для графаў у гэтым раздзеле з'яўляецца даволі стандартным, але многія ідэі былі распрацаваны незалежна адзін ад розных людзей, якія ўвялі розныя тэрміны. Некаторыя аўтары выкарыстоўваюць тэрміны вяршыняў і рэбраў замест вузлоў і дуг. Іншая адрозненне ступеняў падлучэння ў арыентаваным графе: гэта моцна сувязным, калі існуе арыентаваны шлях паміж любымі двума вузламі, і ён слаба сувязным, калі ёсць толькі неориентированного шляху паміж некаторай парай вузлоў. Некаторыя аўтары выкарыстоўваюць тэрмін орграф, як скарачэнне для арыентаванай графа, але, што выкарыстанне збівае з толку, так як орграф павінна азначаць двайны графік. Часам, людзі ўвесці фантазіі такія тэрміны, як дрэвападобнай для каранёвага дрэва, але проста тэрміналогія больш апісальны характар.
5. Адносіны
Суадносіны функцыі аднаго або больш аргументаў, дыяпазон мноства истинностных значэнняў {ісціна, хлусня}. Напрыклад диадического або бінарныя стаўленне з'яўляецца функцыяй менш прадстаўлена знакам <аператара. Яго вобласць з'яўляецца мноства упарадкаваных пар рэчыўных лікаў, R ? R:
<: R×RПры прымяненні да нумарамі 5 і 12, 5 <12 мае значэнне ісціны, а 12 <5 мае значэнне хлусьня. Диадические адносіны часта пішацца як инфиксной аператараў са спецыяльнымі знакамі, напрыклад, х <у ці х
S. Часам, адносіны прадстаўлены асобныя літары, такія як R (х, у) або S (X, Y, Z). Для зручнасці чытання, яны могуць быць прадстаўлены калі заўгодна доўга літарна-лічбавых радкоў, такіх як маці (х, у) або паміж (X, Y, Z). Традыцыйныя матэматыцы выкарыстоўвае асобныя літары або сімвалы, але мовы праграмавання і базы дадзеных сістэмы звычайна маюць вельмі шмат пераменных, функцый і адносін, якія больш імёнаў з'яўляюцца пераважнымі. Тэрмін предикат часта выкарыстоўваецца як сінонім адносіны. Некаторыя аўтары, аднак, сказаць, што адносіны павінны мець два ці больш аргументаў і выкліку предиката з адным аргументам уласнасці. Як і іншыя функцыі, адносіны могуць быць вызначаны альбо напружанне ці па пашырэнні. Интенсиональной вызначэнне правілы для вылічэння значэння сапраўдным або ілжывых для кожнага магчымага ўкладу. Экстенсиональным вызначэнне мноства ўсіх набораў аргументаў, для якіх суадносіны справядліва, бо ўсе іншыя аргументы, стаўленне няслушна. Адзін асобнік адносіны ісціны ўяўляецца адной N-набор, званы адносіны; адносіны сама сукупнасць усіх адносін таго ж тыпу. Шлюб, напрыклад, адносіны паміж двума людзьмі, але суадносіны называецца шлюб сукупнасць усіх шлюбаў.
У наступнай табліцы пералічаны некаторыя найбольш часта сустракаемыя тыпы адносін, аксіёмай, што дзяржавы вызначаюць абмежаванні для кожнага тыпу, і прыклад тыпу. Сімвал ® ўяўляе адвольнага двайковага адносіны.
| Тып | Аксіёма | Прыклад |
|---|---|---|
| Рэфлексіўнай | (  х) х ® х | х так жа старая, як у |
| Иррефлексивных | ( х) не (х ® х) | X з'яўляецца маці ў |
| Сіметрычны | ( х, у) х ® ў цягне ў ® х | х мужа ў |
| Асіметрычны | ( х, у) х ® ў мае на ўвазе не (у ® х) | х муж у |
| Антисимметричные | ( х, у) х ® у і ў ® х варта х = у | х прысутнічаў на нараджэнні ў ' |
| Пераходны | ( х, у) х ® у і ў ® Z варта X ® Z | X з'яўляецца продкам у |
Сімвал , Называецца квантором агульнасці, могуць быць прачытаныя для кожнага або для ўсіх, гэта абмяркоўваецца ў раздзеле 9 на логіцы предикатов. Некаторыя важныя віды адносін задавальняць двум або больш вышэй аксіёмам:
- Частковае ўпарадкаванне, у асобе сімвал
, З'яўляецца двайкова стаўленне, задавальняе трох з вышэй аксіёмам: рэфлексійнасці, антисимметрично і транзітыўных. Падмноства адносіны з'яўляецца найбольш распаўсюджаным частковае ўпарадкаванне над мноствамі. Яна антисимметрична, паколькі х у і ў X азначае, што X = Y. Падмноства дачыненне толькі частковае ўпарадкаванне, паколькі Ёсць шмат набораў, на якія ні х у ні ў х гэта праўда. - Лінейны парадак з'яўляецца частковае ўпарадкаванне, дзе X Y або Y X для любой пары х і у. Для рэчыўных лікаў, уяўляе лінейны парадак менш або роўна.
- Стаўленне эквівалентнасці рэфлексійнасці, сіметрычна і транзітыўных. Архетып стаўленне эквівалентнасці роўнасці: яно рэфлексійнасці, так як X = X; яна сіметрычна, так як X = Y варта у = х, і гэта з'яўляецца транзітыўных, таму што X = Y і Y = Z варта, X = Z. У якасці іншага прыкладу, тых, хто нарадзіўся пад тым жа знакам задыяку з'яўляецца адносінамі эквівалентнасці на мностве ўсіх людзей. Кожны раз, калі стаўленне эквівалентнасці вызначаецца па мностве, ён дзеліць мноства на класы эквівалентнасці. Задыяку дачыненні дзеліць мноства ўсіх чалавечых істот на 12 класаў, якія маюць традыцыйныя этыкеткі Авен, Цялец,..., Рыбы.
У рэляцыйнай базы дадзеных, п-каля адносіны відавочна групуюцца ў табліцах, якія даступныя з дапамогай мовы структураваных запытаў (SQL). Захоўваецца стаўленні з'яўляецца адным значэння якіх фізічна захоўваюцца ў больш шырока сэнсе, і віртуальныя адносіны вылічаецца па некаторага правілу. У аб'ектна-арыентаваных баз даных, п-ок адносін згрупаваны з асобамі або аб'ектамі, якія адбываюцца ў п-ок. У выніку структуры дадзеных нагадваюць графаў, а не табліцы, але яны могуць прадстаўляць сапраўды такі жа лагічнай інфармацыі (як паказана ў раздзеле 6 ). У тэорыі, пытанні ажыццяўлення не маюць значэння з эквівалентнай лагічныя аперацыі могуць быць выкананы на любы форме. На практыцы, пытанне аб тым, як ажыццяўляецца сувязь можа мець важныя наступствы для эфектыўнасці і прастаты выкарыстання. Як крайні прыклад, х <стаўленьне ў трывіяльна для вылічэння, але для гэтага запатрабуецца бясконцая колькасць прасторы для захоўвання.
6. Прадстаўляючы адносін графамі
Графы і диадические адносіны матэматычныя структуры, якія выглядаюць па-рознаму, але яны могуць прадстаўляць тую ж інфармацыю ў лагічна эквівалентнымі спосабамі. Гістарычна склалася так, графы больш цесна звязаны з геаметрычнымі ўласцівасцямі, што відаць з дыяграмы, і адносіны, звязаныя з больш абстрактнай матэматыкі і логікі. Але кожны двайкова суадносіны можа быць прадстаўлена ў выглядзе графа, і кожны граф вызначае диадические адносіны.
Няхай G граф, і хай знак ® ўяўляюць адпаведныя диадические адносіны. Калі х і ў з'яўляюцца вузламі ў графе G, вызначым X ® Y = Ісціна, калі пара х, у з'яўляецца дуга G, а х ® у = хлусня, калі х, у не дуга G. Калі граф неориентированный, то ® з'яўляецца сіметрычным, паколькі яно задавальняе аксіоме х ® у = ў ® х.
Хоць кожны двайкова суадносіны можа быць прадстаўлены графік, некаторыя пашырэння неабходныя для прадстаўлення некалькіх адносінах на адным графіку. Агульныя тэхніка для маркіроўкі дуг графа з імёнамі адносін, якія яны прадстаўляюць. Нефармальна, пазначаны граф можна разглядаць як мноства графаў па адным для кожнага адносіны накладваецца на верхняй частцы адзін з адным з этыкеткі, якія паказваюць, якія адносіны кожнай дугі была атрымана з. Фармальна, пазначаны граф G могуць быць пабудаваныя наступныя крокі:
- Улічваючы мноства {R 1,..., R N} п двайкова адносін, хай {G 1,..., G п} мноства графаў, якія прадстаўляюць кожны з гэтых адносін.
- Мноства вузлоў N пазначаныя графа G вызначаецца як аб'яднанне вузлоў N я кожнага графа G I для кожнага г ад 1 да N.
- Мноства дуг з G з'яўляецца мноства ўсіх троек выгляду я, а, Ь дзе я гэта лік ад 1 да N і , У з'яўляецца дугой у мностве я графа G я. Цэлае я называецца пазнакай дугі.
Далейшае падаўжэнне тэрміну не трэба прадстаўляць N-адических адносін, дзе N 2. Два віду абагульненых графаў могуць быць выкарыстаны для прадстаўлення N-адических суадносін: гиперграфов і двухдольных графаў. Немеченым версіі могуць прадстаўляць адно суадносіны, і пазначаныя версій можа прадстаўляць адвольны набор N-адических адносін, уключаючы магчымасць прадастаўлення розных адносін мець іншы валентнасць цi колькасць аргументаў.
- Гиперграф складаецца з мноства N вузлоў і мноства дуг, але кожная дуга у можа мець адвольнае лік канчатковых кропак. Кожная дуга гиперграфа можа прадстаўляць адну п-кратнай або узаемаадносін паміж імі п асоб у набор вузлоў N.
- Двухдольных граф таксама складаецца з мноства вузлоў і мноства дуг, але мноства вузлоў дзеліцца на два неперасякальных мноства C і R. Вузлоў ў C ўяўляюць тыя ж асобы, як вузлы у N гиперграфа і вузлоў ў R ўяўляюць тыя ж адносіны, як дугі ў гиперграфа.
Кожная дуга двухдольных граф мае роўна дзве канчатковыя кропкі, але трэба быць у З і іншых павінна быць у R. Мноства З такой жа, як мноства N гиперграфа, але ёсць изоморфизм паміж мноствам R ад двухдольных графаў і мноства дуг гиперграфа: для кожнай дугі ў з п канцамі
1,..., п адпаведныя г вузле R з'яўляецца канчатковай кропкай кожнай з п дуг г, 1 ,..., г, п .
Як гэтыя вызначэння ілюстрацыі, адлюстраванне адносін гиперграфов некалькі прасцей, чым адлюстраванне адносін двухдольных графаў. Фармальна, аднак, гиперграфов і двухдольных графаў ізаморфныя, і яны могуць прадстаўляць такія ж адносіны ў эквівалентнымі спосабамі.
Малюнак 4: канцэптуальны граф прадстаўляецца ў выглядзе двухдольнымі графа пазначаныя.
Калі двухдольных графаў выкарыстоўваюцца для прадстаўлення канцэптуальных графаў (РКУ), вузлоў у мностве З называюцца паняццямі і вузлоў у мностве R называюцца канцэптуальных адносін. На малюнку 4 паказаны канцэптуальны граф, які ўяўляе англійскай прапанове Джон збіраецца ў Бостан на аўтобусе. Скрынкі на малюнку 4 прадстаўляюць канцэпцыі вузлоў, і кругі ўяўляюць канцэптуальныя вузлы сувязі; кожная дуга спасылкі канцэптуальных адносінах да канцэпцыі. Хоць CG можа быць вызначана як фармальна, альбо гиперграфа або двухдольных графаў, тэрміналогіі двухдольных графаў карты больш непасрэднае стаўленне да традыцыйным спосабам нанясення CGS. Для падручніка, гл. прыклады канцэптуальных графаў. Для фармальнага вызначэння, глядзіце таксама ISO праект стандарту на агульную логіку.
7. Рашоткі
Матэматычная структура ўяўляе сабой набор разам з адным ці некалькімі адносін або аператараў, вызначаных на мностве. Рашоткі структуру, якая складаецца з мноства L, частковае ўпарадкаванне , І два двайкова аператараў і . Калі А і У з'яўляюцца элементамі L, У называецца ніжняя грань або ніжняя грань і B, і У называецца верхняя грань або грані, б. Для любых A, B, C і ў L, гэтыя аператары задавальняюць наступным аксіёмам:
- B і B б.
- Калі з які-небудзь элемент L, для якіх C і З B, то C б.
- B і B б.
- Калі з які-небудзь элемент L, для якіх З і У с, то B с.
Сімвалы і такія ж, як сімвалы для перасячэння і аб'яднання мностваў. Гэта падабенства не выпадкова, таму што мноства ўсіх падмноства універсальнага мноства U формы рашоткі з падмноствам адносіны як частковае ўпарадкаванне. Абмежаванай рашотцы з'яўляецца адным з верхняй 
і ніжняй 
, Дзе для любога элемента ў кратах, . Усе канчатковых рашотак абмежаваныя, і так шмат бясконцыя. У рашотцы падмноства універсальнага мноства U сама , І пустое мноства {} з'яўляецца .
З і аператараў на рашотках так падобныя на аб'яднання і перасячэння мностваў, у іх ёсць шмат таго ж ўласцівасці. Ніжэй прыведзены тоеснасці вызначаны для мноства аператараў, якія маюць месца і для рашоткі аператараў:
- Идемпотентности. Ідэнтычна, і Таксама ідэнтычныя.
- Коммутативности. B супадае з B , І B супадае з B .
- Асацыятыўнае. (B З) супадае з ( B) C, і (B З) супадае з ( B) C.
- Паглынанне. ( B) супадае з і ( B) таксама ідэнтычныя.
Гэтыя тоеснасці для ўсіх рашотак. Дыстрыбутыўных рашотка, для якой закон размеркавання таксама мае месца. Рашотка з дапаўненнямі з'яўляецца той, для якога дадатак аператара і Моргана Дэ законы ўжываць. Рашотцы ўсіх падмноства некаторага мноства з'яўляецца прыкладам абмежаванай дыстрыбутыўнай кратамі з дапаўненнямі, для якіх усё тоеснасці.
Графікі матэматычнай рашотак выглядаць рашотак, што можна было б чакаць Вистерия Вайн ўзлезці на. 5 паказаны графікі для трох відаў частковых парадкаў: дрэва, рашоткі, а агульная ацыклічныя граф. Для спрашчэння чарцяжоў, агульнае пагадненне для ацыклічных графаў апусціць стрэлкі на дугах, але выказаць здагадку, што дугі накіраваны небудзь з вышэйшых вузел ніжняга вузла або ніжняга вузла вышэй. Для частковага парадку B, дуга будзе накіраваны ад ніжняга вузла да вузла B вышэй.
Малюнак 5: рашоткі, дрэва, і ацыклічныя граф
Тэрмін іерархіі часта выкарыстоўваецца без разбору для любога частковага парадку. Некаторыя аўтары выкарыстоўваюць тэрмін іерархіі азначае дрэва, і заблытаная іерархія азначае ацыклічныя граф, які не з'яўляецца дрэва. Увогуле, кожнае дрэва ацыклічныя граф, і ўсё рашоткі таксама ацыклічныя граф; але большасць рашотак не дрэвы, а большасць дрэў не з'яўляюцца рашоткамі. У самой справе, толькі графы, як дрэвы і рашоткі простых ланцугоў (якія лінейна упарадкаваных).
Усе іерархіі тыпаў, разгледжаных у кнізе прадстаўлення ведаў з'яўляюцца частковымі парадкамі, і многія з іх таксама рашотак. Лейбніца універсальная характарыстыка, якая абмяркоўваецца ў раздзеле 01/01 гэтай кнігі, вызначае паняцце рашоткі тыпаў, у якіх частковае ўпарадкаванне аператара называецца падтыпу.
- Кожны атрыбут выкарыстоўваецца для вызначэння паняцця прысвойваецца унікальны простае лік.
- Кожная канцэпцыя тып прадстаўлены твор простых лікаў прысвойваецца кожнаму яе вызначэння атрыбутаў.
- Канцэпцыя тыпу з'яўляецца падтыпам б, калі нумар дзеліцца на лік для б.
- Коммерсанта найбольшага агульнага дзельніка і б.
- У гэты найменшае цэлы лік дзеліцца на А і Б.
- Канцэпцыя універсальнага тыпу , Які ня мае вызначальнага атрыбуты, прадстаўлена 1.
- У ніжняй частцы кратаў гэта твор ўсіх простых лікаў, якія былі прызначаныя на магчымыя атрыбуты.
Іншае ўяўленьне, якое ізаморфныя прадуктаў Лейбніца простых лікаў, будзе прадстаўляць кожнае паняцце тыпу, трохі радка. Калі п лік прымітыўных прыкмет, кожны прадукт простых лікаў могуць быць супастаўленыя з бітаў радок даўжыні п:
- Атрыбут прадстаўлены I-е простае лік адлюстроўваецца ў радку 1 у I-ай пазіцыі, і ўсе іншыя біты 0.
- Кожная канцэпцыя тып прадстаўлены лагічнае АБО ўсіх бітавых радкоў для кожнага з яе вызначальных атрыбутаў.
- Канцэпцыя тыпу з'яўляецца падтыпу У, калі кожнае становішча, што мае 1 біт для B мае 1 біт для.
- B з'яўляецца лагічным і бітавых радкоў для А і В.
- B з'яўляецца лагічным АБО бітавых радкоў для А і В.
- Топ гэта радок з усімі біт 0.
- Дно гэта радок у якім усе біты 1.
Звярніце ўвагу на зваротную залежнасць паміж колькасцю атрыбутаў, якія вызначаюць тып канцэпцыі і колькасць асоб, да якой ён ставіцца. Тып сабак ставіцца да меншага колькасці асоб у рэальным свеце, чым яго бацькоўскага жывёл, але больш атрыбутаў, неабходных для яго апісання. Гэтая зваротная сувязь паміж колькасцю атрыбуты, неабходныя для вызначэння канцэпцыі і колькасць асоб, да якой яна ўжываецца ўпершыню было адзначана Арыстоцелем. Яна называецца дваістасць напружанне і пашырэнне.
Метад Лейбніца спараджае рашотак з усё магчымыя камбінацыі атрыбутаў, але большасць камбінацый ніколі не сустракаюцца на практыцы. У наступнай табліцы напояў, які ўзяты з паперы Майкла Эрдмана (1998), ілюструе тыповую сітуацыю, у якой шмат камбінацый не адбываецца. Некаторыя камбінацыі немагчыма, такіх, як напой, які адначасова з'яўляецца алкагольныя і безалкагольныя. Іншыя проста наўрад ці, такія, як гарачая і ігрістые.
| Атрыбуты | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Канцэпцыя Тыпы | безалкагольная | Гарачыя | алкаголік | caffeinic | бліскучы |
| HerbTea | X | X | |||
| Кава | X | X | X | ||
| MineralWater | X | X | |||
| Віна | X | ||||
| Піва | X | X | |||
| Кола | X | X | X | ||
| Шампанскае | X | X | |||
Табліца напояў тыпаў і атрыбутаў
Для стварэння мінімальнай рашоткі для класіфікацыі напояў у табліцы вышэй, Эрдман прымяняецца метад фармальнага аналізу канцэпцыі (АРК), распрацаваны Бернхард Гантер і Рудольфам Віле (1999) і рэалізаваны ў аўтаматызаванай інструмент пад назвай Toscana. Малюнак 6 паказвае, у выніку рашоткі; атрыбутаў пачынаюцца з літары ніжняга рэгістра, і паняцце тыпу пачынаюцца з вялікіх літар.
Малюнак 6: рашотка, пабудаваная метадам фармальнага аналізу канцэпцыі
На малюнку 6, піва і шампанскае класіфікуюцца на адным вузле, так як яны маюць дакладна такія ж атрыбуты. Каб адрозніць іх больш выразна, віно і champage можа быць прызначаны атрыбут madeFromGrapes, і піва атрыбутам madeFromGrain. Тады сістэма Таскана будзе аўтаматычна генерыраваць новую рашотку з трыма вузламі дадаў:
- Віно будзе алкагольныя madeFromGrapes.
- Піва будзе пеністых алкаголік madeFromGrain.
- Шампанскае будзе пеністых алкаголік madeFromGrapes.
Малюнак 7: Перагледжаныя рашоткі з новымі атрыбутамі
Звярніце ўвагу, што атрыбут безалкагольная з'яўляецца залішнім, так як яна з'яўляецца дадаткам атрыбут алкаголіка. Калі гэты атрыбут быў прапушчаны з-за стала, метад АРК будзе па-ранейшаму пабудавалі жа рашоткі. Розніца толькі ў тым, што вузел, які адпавядае атрыбут безалкагольная б не этыкетцы. У рашоткі для знаёмых вобласці, такія як напоі, большасць з вузлоў адпавядаюць найбольш часта сустракаюцца словы або фразы. На малюнку 7, толькі вузла, які не адпавядае агульнай слова або фразу на англійскай мове пеністых алкаголік.
Рашоткі асабліва важныя для прадстаўлення анталогія і techiques для перагляду, перапрацоўкі і абмену анталогія. Кожнае даданне новых вынікаў атрыбут ў новую краты, якая ўдакладненне папярэдняга рашоткі. Удакладненьне спароджаных АРК ня ўтрымлівае мінімальным лікам вузлоў, неабходных для размяшчэння новага атрыбуту і яго падтыпы. Метад Лейбніца, якая генеруе ўсе магчымыя камбінацыі, ўнясе лішнія вузлы, такія як гарачыя caffeinic бліскучы madeFromGrapes. FCA рашоткі, аднак, утрымліваць толькі вядомыя тыпы канцэпцыі і, верагодна, абагульнення, такія як пеністае алкаголік. Для гэтага, напрыклад, метад Лейбніца будзе генераваць рашоткі з 64 вузлоў, але метад АРК генеруе ўсяго 14 вузлоў. Лейбніц-стыль рашоткі канчатковая даводка для дадзенага набору атрыбутаў, і гэта можа быць карысна, калі ўсе магчымыя камбінацыі павінны быць разгледжаны. Але больш кампактнай АРК рашотак пазбегнуць неіснуючай камбінацый.
Далейшае вывучэнне онталогіі ставіць пытанні аб паходжанні розных атрыбутаў і іх ўзаемаадносінам адзін з адным. У метадзе Лейбніца і метаду АРК, атрыбуты madeFromGrapes і madeFromGrain разглядаюцца як незалежныя прымітываў. Тым не менш абодва яны могуць быць прааналізаваны як двайкова дачыненні madeFrom альбо ў спалучэнні з вінаградам або зерне. Тады madeFrom можа стаць прадметам далейшага аналізу ў робяць і з, але дзеяслоў зрабіць выкліча новыя пытанні аб розніцы паміж стварэннем віна з вінаграду і зрабіць малочны кактэйль з малака. Множны лік назоўніка і вінаград назоўнік збожжавай масы б таксама падняць пытанне аб колькаснай ацэнцы і вымярэнні. Рашоткі важная структура для арганізацыі канцэпцыі тыпаў, але поўнае вызначэнне гэтых тыпаў прыводзіць да ўсё праблемы мовы, логікі і онталогіі. Для далейшага абмеркавання гэтых пытанняў, гл. артыкул "Канцэпцыі ў Лексікон".
8. Логікі выказванняў
Сімвалічная логіка мае дзве асноўныя галіны: вылічэння выказванняў і вылічэння предикатов, якія таксама называюць логікі выказванняў і логікі предикатов. Выказванняў прапановы логікі з заяў або прапаноў і сувязяў паміж імі. Сімвал P, напрыклад, могуць прадстаўляць прапановы Lillian з'яўляецца маці Леслі. Логіка предикатов, аднак, будзе ўяўляць, што прапановы па предикат Маці прымяняецца да імёны двух людзей: маці (Lillian, Леслі). У той час як логікі выказванняў ўяўляе поўны заяву аднаго знака, логіка предикатов аналіз заяву на больш дробныя кампаненты.
Акрамя таго, знакі для прапаноў, логікі выказванняў таксама ўключае ў сябе лагічныя аператары, якія прадстаўляюць лагічныя адносіны, такія як AND, OR, няма, і калі-то. Хай р прапановы свеціць сонца, і няхай Q будзе прапанова Ідзе дождж. Найбольш часта выкарыстоўваюцца аператары ў логіцы выказванняў адпавядаюць ангельскія словы і, ці, няма, калі-небудзь, а калі і толькі, калі:
- Конъюнкция (і). P
Q ўяўляе прапановы свеціць сонца, і ідзе дождж. - Дизъюнкции (АБО). P
Q ўяўляе свеціць сонца або ідзе дождж. - Адмаўленне (не). ~ P ўяўляе сонца не свеціць.
- Матэрыял імплікацыі (калі-то). P
Q ўяўляе Калі свеціць сонца, то дождж. - Эквівалентнасці (калі і толькі-калі). P
Q ўяўляе свеціць сонца, тады і толькі тады, калі ідзе дождж.
Прапановы прадставіць у сімвалічнай логікі можа быць сапраўдным або ілжывым. Правілы логікі выказванняў вылічыць праўдзівае значэнне злучэння прапанову ад ісціннасці ці памылковасці элементарных прапаноў, якія змяшчаюцца ў ім. Таму яны называюцца ісціны функцый, чые ўваходы праўдзівасці Т для сапраўдных і F за ілжывыя. У наступнай табліцы, завецца табліцай праўдзівасці, паказвае выхады спароджаных пяць функцый ісціны , , ~, , І для ўсіх магчымых камбінацый з двух уваходаў р і в
| Уваходы | Выхады | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| p | q | pq
| pq
| ~p | pq
| pq
|
| T | T | T | T | F | T | T |
| T | F | F | T | F | F | F |
| F | T | F | T | T | T | F |
| F | F | F | F | T | T | T |
Ёсць 16 магчымых функцый праўдзівасці двух аргументаў, але пяці пералічаных у гэтай табліцы, найбольш часта выкарыстоўваюцца. Іншы аператар, які часам выкарыстоўваецца выключна або, што эквівалентна P або Q, але не адначасова. Два аператара звычайна выкарыстоўваюцца ў кампутарным дызайне ланцугу NAND і ні з сімваламі 
і 
:
| р Q | эквівалентная | (Р Q), |
| р Q | эквівалентная | (Р Q). |
Калі адзін ці два лагічных аператараў прымаюцца як прымітывы, іншыя могуць быць вызначаны праз іх. Адзін агульны выбар прымітываў пары і ~ . Іншых аператараў могуць быць вызначаны ў наступных камбінацыях:
| р Q | эквівалентная | ^ (Ф Q) |
| р Q | эквівалентная | (Р Q) |
| р Q | эквівалентная | (Р Q) ^ (Ф д) |
У самой справе, толькі адзін прымітыўны аператара, альбо або , З'яўляецца неабходным, паколькі абедзве ~ і можа быць вызначана ў тэрмінах аднаго з іх:
| <Р | эквівалентная | (Р р) |
| <Р | эквівалентная | (Р р) |
| р Q | эквівалентная | (Р д) (Р д) |
| р Q | эквівалентная | (Р р) (Q д) |
Пірса экзістэнцыяльны графы выкарыстання адмаўлення і разам як два лагічных прымітываў. Пірс быў таксама першым чалавекам, каб выявіць, што ўсе іншыя лагічныя аператары могуць быць вызначаны ў тэрмінах або . Для Пірса уласны падручнік па экзістэнцыяльнай графаў, бачыць яго Рукапіс 514.
9. Лёгікі предикатов
У логіцы выказванняў, прапановы Усе персікі недакладных могуць быць прадстаўлены адным сімвалам р. У логіцы предикатов, аднак, тонкая структура прапановы дэталёва прааналізавана. Тады P будзе прадстаўлена ўся формула,
Сімвал
называецца квантором супольнасці, а таксама сімвалы персіка і недакладныя предикаты або адносіны, напрыклад, як апісана ў раздзеле 5 на адносіны. Спалучэнне X могуць быць прачытаныя для кожнага х ці для ўсіх х, спалучэнне персіка (х) могуць быць прачытаныя х персік, і камбінацыя невыразнай (х) могуць быць прачытаныя х размыта. Уся формула, таму, можа быць прачытана Для кожнага х, калі х персік, то X з'яўляецца недакладным. Так як предикаты (або адносіны) з'яўляюцца функцыямі, якія даюць значэння ісціна, як вынікі і з лагічнымі аператарамі з'яўляюцца функцыі, якія прымаюць значэння ісціна, як іх уклад, предикаты могуць быць аб'яднаны з тым жа аператары, якія выкарыстоўваюцца ў логіцы выказванняў. Акрамя таго універсальнага квантора, логіка предикатов мае квантора існавання прадстаўлены ў выглядзе 
. Спалучэнне X можна чытаць існуе х такі, што. Наступная формула выкарыстоўваецца квантор існавання:
~Гэта можа быць чытанне гэта хлусня, што існуе х такі, што х персіка і X не з'яўляецца невыразнай. Формулы з больш чым адным квантором магчымыя. Англійская зацвярджэнне для любога цэлага х, ёсць простае лік, большае х прадстаўляецца ў выглядзе
Літаральна, гэтая формула можа быць прачытаныя для кожнага х існуе ў такі, што калі х з'яўляецца цэлым лікам, то ў простага і X менш, чым у.
Два віду кванторов, лагічных аператараў, зменных, предикатов і правілаў для забеспячэння іх разам у формулах складаюць усяго абазначэння першага парадку вылічэння предикатов, які таксама вядомы як логікі першага парадку або ВОЛС. Яна называецца першага парадку, паколькі дыяпазон кванторов абмяжоўваецца простым, не паддаецца аналізу фізічных асоб.
Вышэйшага парадку логікі або HOL выходзіць за рамкі ВОЛС, дазваляючы функцыі зменных і предикатных зменных рэгулявацца кванторов. Прыклад парадку формуле вышэй аксіёмай індукцыі:
Гэтую формулу можна чытаць кожны предикат P, калі P з'яўляецца сапраўдным 0, і для кожнага п, Р (п) варта P (N +1), то Р дакладна для кожнага п. Гэта адзіная аксіёма для арыфметычных, што патрабуе больш выразнай сілай, чым логікі першага парадку.
Любая з функцый, аператараў сувязі, і предикатов Раздзелы з 1 па 6 таксама можа быць выкарыстаны ў формул логікі першага парадку. Ніжэй прыведзены правілы пабудовы, якія вызначаюць сінтаксіс формул:
- Тэрмін альбо сталым, як 2, зменная як х, або N-адической функцыі знак прымяняецца да п аргументаў, кожны з якіх сам тэрмін.
- Атам небудзь адной літары як р, які ўяўляе прапановы або N-адических предикатного сімвала прымяняецца да п аргументаў, кожны з якіх з'яўляецца тэрмін.
- Формула альбо атам, формула папярэднічаць ~, любыя дзве формулы А і В разам з любой двайкова лагічны аператар ® ў спалучэнні (® B), або любой формулы і любы зменнай х у адной з камбінацый х ці х.
Цалкам фармалізаваным прэзентацыі логікі ўдавацца ў падрабязнасці аб сінтаксічная формы зменных, канстант і функцый. Калі гэтыя дадзеныя былі апушчаны, характар ??тэрмінаў можа быць паказана ў заяве, напрыклад, хай х зменнай ці хай з пастаяннай.
Фарміраванне правілаў парадку логікі першага з'яўляюцца прыкладам рэкурсіўнага вызначэння. Ужываючы іх неаднаразова, любыя магчымыя формулы могуць быць атрыманы. Выкажам здагадку, што F з'яўляецца монадической функцыі і + з'яўляецца двайкова аператара, то / (х) і 2 +2 тэрмы. (Па канвенцыі аб раздзеле 2, функцыі, напісаныя з адной сімвалы называюцца аператары, але яны фарміруюць ўмовы, як і іншыя функцыі.) Калі Р з'яўляецца двайкова предикат і Q з'яўляецца аднамеснага предиката, то P (F (X), 2 + 2) і Q (7) з'яўляюцца атамы. Паколькі ўсе атамы формулы, гэтыя дзве формулы могуць быць аб'яднаны лагічны аператар для фарміравання новай формуле:
(P(f(x),2+2)Так як любая формула можа папярэднічаць ~ сфармаваць іншую формулу, формулу можна атрымаць:
~(P(f(x),2+2)Мяркуючы квантор
Y перад ім вырабляе
Даданне яшчэ аднаго квантора
х вырабляе
І папярэднім гэтую формулу з ~ вырабляе
~У гэтай формуле, з'яўленне х у / (х) звязана квантором
х, але квантор Y не ўплывае на формулу, паколькі няма іншых ўваходжанне зменнай у. Парадак кванторов ў логіцы предикатов робіць важнае адрозненне, як гэта адбываецца на англійскай мове. Разгледзім прапановы Кожны чалавек у аддзеле C99 ажаніўся на жанчыне, якая прыйшла з Бостана, які можа быць прадстаўлены формулай,
Гэтая формула кажа, што для кожнага х існуе ў такі, што калі х чалавек і х працуе ў аддзеле C99, то ў жанчыны, родным горадзе ў Бостана, і х у ажаніўся. Так як двайкова предикат замуж сіметрычна, жанаты (Айк, Мами) эквівалентна шлюбе (Мами, Айк). Змяняючы месцамі аргументы, што предикат не мае ніякага значэння, але месцамі двума кванторами прыводзіць да формулы,
Гэтая формула кажа, што існуе ў такі, што для усякага х, калі х чалавек і х працуе ў аддзеле C99, то ў жанчыны, родным горадзе ў Бостана, і х у ажаніўся. У звычайным англійскай мове, што будзе такі ж, як кажуць, жанчына, якая прыехала з Бостана замуж кожны чалавек у аддзеле C99. Калі маецца больш, чым аднаго чалавека ў аддзеле C99, гэта прапанова мае наступствы, якія вельмі адрозніваюцца ад папярэдняга.
Першая версія логікі предикатов была распрацавана Готтлоб Фреге (1879), але ў пазначэннях, што ніхто не калі-небудзь выкарыстоўвалі. Больш агульных алгебраічных пазначэньняў, якая была прадстаўлена ў гэтым раздзеле, была вызначана Чарльз Сандэрс Пірс (1883, 1885), але з іншага выбар знакаў для кванторов і лагічных аператараў. Джузэпэ Пеана (1889) прынята абазначэнне ад Пірса і ўведзены сімвалы, якія ўсё яшчэ выкарыстоўваюцца сёння. Гэта абазначэнне часам называюць Пеана-Расэл абазначэння, так як Альфрэд Норт Уайтхед і Бертран Расэл папулярызаваць яго ў Principia Mathematica. Але дакладней было б называць яго Пірса-Пеана абазначэння, так як пашырэння, Расэла і Уайтхеда дадаў рэдка выкарыстоўваюцца сёння. Абазначэння, прадстаўленыя ў гэтым раздзеле з'яўляецца алгебраічнай натацыі Пірса з выбарам Пеана знакаў. Для абследавання іншых пазначэньняў для лёгікі, глядзіце таксама прыклады, якія параўноўваюць вылічэння предикатов для канцэптуальных графаў і ведаў Interchange Format (КИФ). Арыстоцель прадставіў свой ??арыгінальны силлогизмов ў стылізаваная версія грэцкі, і сучасныя камп'ютэрныя сістэмы часам уяўляюць вылічэння предикатов ў стылізаванай або кантраляваных натуральным мове.
10. Аксіёмы і Доказы
Фарміраванне правілы вызначаюць сінтаксіс логікі першага парадку. Яны, аднак, не сказаць нічога пра значэнне формул, іх праўдзівасць або памылковасць, або, як яны звязаны адзін з адным. Мадэль тэорыі, якая абмяркоўваецца ў раздзеле 13, вызначае функцыі ацэнкі, што вызначае, ці з'яўляецца формула праўдзівай ці ілжывай ў тэрмінах некаторай мадэлі. Доказ тэорыі, якая абмяркоўваецца ў гэтым раздзеле, вызначае, як праўдзівыя формулы могуць быць атрыманы з іншых праўдзівых формул. З часоў Арыстоцеля, шмат розных працэдур доказы былі распрацаваны для лёгікі, але ўсе яны маюць некаторыя агульныя характарыстыкі:
- Некаторыя формулы або тыпы формул, званых аксіём і вызначэнняў, мяркуецца, каб быць праўдай.
- Доказ паслядоўнасць формул, кожная з якіх выводзіцца з аксіём, азначэнняў, або папярэдняй формулы ў паслядоўнасці, ужываючы некаторыя правілы вываду.
- Апошняя радок доказы называецца выснова.
- Калі першая радок доказ формулы р, называецца гіпотэзай, заключэнне доказы павінны быць праўдзівымі, калі р гіпотэзы і пачынаючы аксіёмы дакладныя.
- Калі першая радок доказ аксіёмы, то выснова называецца тэарэма, праўдзівасць якіх залежыць ні ад чаго, акрамя ісціны арыгінальныя аксіёмы.
Як, напрыклад, наступныя дзве формулы эквівалентныя кожны мае на ўвазе іншае:
Каб даказаць, што гэтыя формулы эквівалентныя, неабходна знайсці два доказы. Адным з доказаў хацеў бы пачаць з першай формулы, як гіпотэза і прымяняць правілы высновы для атрымання другога. Другое доказ б пачаць з другой формуле, гіпотэзы і атрымаць у першую чаргу.
Любы эквівалентнасці, мяркуецца Ці ў якасці вызначэння або зарэкамендавала сябе як тэарэмы, можа быць выкарыстана для атрымання адной формулы з іншай правіла падстаноўкі. Для любой формулы, альбо з наступных двух эквівалентнасці можна лічыць, як вызначэнне, і іншыя могуць быць даказаная як тэарэма:
| X | эквівалентная | ~ х ^ |
| X | эквівалентная | ~ х ^ |
Так як гэтыя эквівалентнасці дакладна, калі гэта ніякімі формуламі, яны застаюцца ў сіле, калі які-небудзь канкрэтнай формулы, такія як (персік (х) недакладных (х)), замяняецца. З гэтай падстаноўкі у абодва бакі эквівалентнасці , Левая бок становіцца ідэнтычнай першай формулы персіка вышэй, і правая бок становіцца наступнай формуле:
~Гэтая формула можа быць ператворана ў іншых эквівалентных формул з выкарыстаннем любога з эквівалентнасці прыведзены ў раздзеле 8. Для любых формул P і Q, формула P
Пытанне быў вызначаны ў якасці эквівалента формула (р Q). Такім чынам, наступная формула можа быць атрымана па subsituting персік (х) для р і недакладных (х) для Q:
~Для любой формулы р, двайнога адмаўлення ~ ~ р эквівалентна р. Такім чынам, падвойнае адмаўленне ў папярэдняй формуле могуць быць выдаленыя, каб атрымаць
~якое супадае з другой формуле персіка. Такім чынам, другая формула персіка можна атрымаць з першых.
Каб даказаць, што як персік формулы эквівалентныя, яшчэ адзін доказ павінна пачынацца з другой формуле, гіпотэзы і атрымаць першую формулу. Для гэтага, напрыклад, другое доказ лёгка знайсці, таму што кожны крок у папярэднім доказе выкарыстаны эквівалентнасці. Такім чынам, кожны крок можа быць адменена для атрымання першай формулы з другога. Большасць доказаў, аднак, не з'яўляюцца зварачальным, так як некаторыя з самых важных правілаў вываду не эквівалентнасці.
Ніжэй прыведзены некаторыя правілы высновы для логікі выказванняў. Сімваламі P, Q, R і ўяўляюць якой-небудзь формулы заўгодна. Так як гэтыя сімвалы могуць таксама прадстаўляць формулы, якія ўключаюць предикаты і кванторы, гэтыя ж правілы могуць быць выкарыстаны для лёгікі предикатов. З гэтых правілаў, толькі вяршэнства конъюнкция эквівалентнасці, ніхто з іншых з'яўляюцца адмяняцца.
- Modus поненс. З р і р Q, атрымаем Q.
- Modus tollens. З ~ Q і P Q, атрымаем ф.
- Гіпатэтычны силлогизм. З р Q і Q г, атрымаем р г.
- Дизъюнктивных силлогизм. З р д і р, атрымаем Q.
- Злучэнне. З р і д, атрымаем р Q.
- Дапаўненне. З р, атрымаем р Q. Гэта правіла дазваляе ніякімі формуламі для дадання ў дизъюнкции.
- Адніманне. З р Q, атрымаем р. Гэта правіла спрашчае формул выкідваць непатрэбныя конъюнктов.
Не ўсе з гэтых правілаў з'яўляюцца прымітыўнымі. Пры распрацоўцы тэорыі логікі, логікі імкнуцца звесці да мінімуму колькасць прымітыўных правілаў. Тады яны паказваюць, што іншыя правілы, званыя вытворныя правілы вываду, можа быць вызначаны праз іх. Тым не менш, для ўсіх версій класічнай пропозициональной і логіка предикатов, гэтыя правілы з'яўляюцца альбо прымітыўных або вытворных правілаў вываду.
Ніжэй прыведзены некаторыя найбольш часта сустракаемыя эквівалентнасці. Калі дзве формулы эквівалентныя, альбо можна замяніць любое ўваходжанне іншых, альбо самастойна, альбо як частка некаторай большай формуле:
- Идемпотентности. P р эквівалентна р і р P таксама эквівалентна р.
- Коммутативности. P Q эквівалентна Q р і р Q эквівалентна Q р.
- Асацыятыўнасць. P (Q г) эквівалентна (р д) г, і р (Q г) эквівалентна (р д) г.
- Дыстрыбутыўнага. P (Q г) супадае з (р д) (Р г) і р (Q г) эквівалентна (р д) (Р г).
- Паглынанне. P (Р Q) эквівалентная р і р (Р Q) эквівалентная р.
- Падвойнае адмаўленне. Р эквівалентна ~ ~ р.
- Дэ Моргана законы. ^ (Р Q) эквівалентна ~ р ~ Q, а ^ (р Q) эквівалентна ~ р ~ Q.
Гэтыя эквівалентнасці, здараецца, ёсць сапраўды такі ж выгляд, як тыя, для аб'яднання і перасячэння мностваў. Гэта падабенства не выпадкова, таму што Джордж Буль выкарыстоўваць тыя ж аператары алгебры логікі для мностваў і прапановы. Джузэпэ Пеана абраў іншы набор сімвалаў, таму што ён хацеў выкарыстаць логіку для доказу тэарэмы аб мноствах, і было б увесці ў зман выкарыстоўваць тыя ж знакі для абодвух тыпаў аператараў. Карысна, аднак, памятаць, што формулы для і могуць быць выкарыстаны для і толькі шляхам круглявыя завостранымі канцамі.
Для логікі предикатов, правілы вываду ўключаюць усе правілы логікі выказванняў з дадатковых правіл аб замене значэння колькасных пераменных. Да гэтых правілаў можа быць паказана, аднак, неабходна праводзіць адрозненне паміж свабоднымі ўваходжання і звязаныя ўваходжання зменных:
- Калі гэта атам, то ўсё ўваходжання зменнай х у называюцца свабоднымі.
- Калі формула C была атрымана з формулы А і В, аб'яднаўшы іх з дапамогай булева аператараў, то ўсё ўваходжання зменных, якія вольныя ў А і В таксама бясплатна ў C.
- Калі формула C была атрымана з формулы ад папярэдніх альбо х ці х, то ўсіх свабодных уваходжанняў х у, як кажуць, будзе зьвязана на C. Усіх свабодных уваходжанняў зменных ў іншых застаюцца свабоднымі ў C.
Пасля вызначэння вольнага і звязанага ўваходжання было паказана, правілы вываду, што здзелка з кванторами можа быць прадастаўлена. Хай 
(Х) формула, якая змяшчае свабоднае ўваходжанне зменнай х. Тады (T) ёсць вынік замены тэрміна T для кожнага свабоднае ўваходжанне х у . Ніжэй прыведзены дадатковыя правілы высновы:
- Universal асобнікаў. З X (Х), атрымаем (C), дзе з любой сталай.
- Экзыстэнцыйная абагульнення. З (C), дзе з любой сталай, атрымаем X (Х), пры ўмове, што кожнае ўваходжанне х у (Х) з'яўляецца свабодным.
- Выдаленне кванторов. Калі пераменная х не ўваходзіць свабодна ў , То з X выводзіць , А з X выводзіць .
- Даданне кванторов. З выводзіць X або атрымаць X , Дзе х любая пераменная заўгодна.
- Падстаўляючы роўна на роўных. З (T) і = U T, атрымаем (U), пры ўмове, што ўсе свабодныя ўваходжання зменных у і застаюцца свабоднымі ў (U).
У тэорыі гуку, правілы вываду захоўваюць ісціну: толькі сапраўдныя формулы могуць быць даказаны. У поўнай тэорыі, усё праўдзівыя формулы могуць быць даказаны. Курт Гёдэль (1930) паказалі, што правілы вываду для лёгікі першага парадку як гуку, так і поўным. У наступным годзе, ён паказаў, што правілы вываду для лёгікі вышэйшага парадку з'яўляюцца няпоўнымі, т. е. існуюць сапраўдныя формулы, якія не даказальна.
11. Фармальныя граматыкі
Фармальныя граматыкі сістэма вызначэння сінтаксісу мовы шляхам ўказанні радка знакаў або прапаноў, якія разглядаюцца граматычныя. Так як мноства граматычных прапаноў мовы можа быць вельмі вялікім ці бясконцым, яны звычайна атрымліваюць ад рэкурсіўнае вызначэнне. Дыферэнцыравання спараджаюцца вытворчасці правілы, якія былі распрацаваны Аксель Туэ (1914) як метад для пераўтварэння радка знакаў. Эміль Пост (1943) паказаў, што вытворчасць правілы былі дастаткова агульнымі, каб мадэляваць машыны Цьюрынга. Андрэй Андрэевіч Маркаў (1954) развіў агульную тэорыю алгарытмаў, заснаваных на правілах, пасля вытворчасці. Акрамя таго, радок пераўтварэнняў, Маркаў паказаў, як вытворчасць правіл можа вылічыць любы матэматычнай функцыі, якая была вычислимых рэкурсіўныя функцыі або лямбда-вылічэння.
Ноам Хомскі (1956, 1957) выкарыстоўвалі вытворчасці правілы для вызначэння сінтаксісу натуральных моў, і Джона Бэкуса (1959) выкарыстаў іх, каб паказаць мовы праграмавання. Хоць Хомскі і Бэкуса як прынята іх абазначэння з паведамлення, яны выявілі, што цалкам неабмежаваны версіі выкарыстоўваецца Туэ, пост ", і Маркава былі больш магутнымі, чым яны мелі. Бекус абмежаваў яго граматыкі для кантэкстнае-свабодных правілаў, у той час як Хомскі таксама выкарыстоўваецца больш агульны, але па-ранейшаму абмежаваны кантэкстнае-залежныя правілы. Неабмежаваны правілы могуць быць неэфектыўнымі або невырашальнай, але больш абмежаваны правілы дазваляюць больш просты, больш эфектыўныя алгарытмы для аналізу і разбору прапановы.
Граматыка мае дзве асноўныя катэгорыі сімвалаў: тэрмінальных знакаў, як, сабака, або скачок, які з'явіцца ў прапановах самага мовы, і нетерминальных сімвалаў, як N, NP, і S, якія ўяўляюць граматычных катэгорый назоўніка, імянная словазлучэнне, і прысуд. Дзяржаўнае вытворчае правілы як нетерминальных сімвалаў пераўтворацца ў фарміраванні прапаноў мовы. Тэрмінальныя сімвалы называюцца тэрмінала, паколькі няма вытворчасці правілы прымяняюцца да іх: пры выснове генеруе радок, якая складаецца толькі з тэрмінальных знакаў, ён павінен спыніць. Нетерминальные знакаў, аднак, увесь час атрымліваю заменены падчас высновы. Фармальная граматыка G складаецца з чатырох кампанентаў:
- Набор сімвалаў T, называецца тэрмінальных знакаў.
- Набор сімвалаў N, называецца нетерминальных сімвалаў, з абмежаваннем, што T і N не перасякаюцца: T N = {}.
- Спецыяльныя нетерминальных сімвалаў S, называецца пачатковым сімвалам.
- Мноства правілаў вытворчасці Р выгляду:
A
дзе гэта паслядоўнасць сімвалаў, якія маюць па крайняй меры аднаго нетерминала, і У выніку замены некаторага нетерминала знак з паслядоўнасці сімвалаў (магчыма, пусты) ад T і N. B
Пачатковы сімвал адпавядае высокім узроўнем катэгорыі, што прызнаецца граматыка, такіх, як прысуд. Вытворчасць правілы стварэння прапаноў, пачынаючы з пачатковай сімвала S і сістэматычна замяняючы нетерминальных сімвалаў да радка, якія складаюцца толькі з тэрміналаў з'яўляецца вытворным. Разбору праграма прымяняецца правілы ў зваротным парадку, каб вызначыць, ці з'яўляецца дадзеная радок прапанову, якое можа быць атрымана з S. Граматык гэтага віду называюцца фразу-структуры граматыкі, паколькі яны вызначаюць структуру прапановы ў выглядзе іерархіі фраз.
Некаторыя канвенцыі неабходна вылучыць з тэрміналаў нетерминалов. Некаторыя людзі пішуць тэрмінальных знакаў у ніжнім рэгістры і нетерминалов ў верхнім рэгістры; іншыя людзі прымаюць супрацьлеглыя канвенцыі. Каб быць ясным, гэты падзел будзе прыкласці тэрмінальных знакаў у двайныя двукоссі, як у "" або "сабака". Для ілюстрацыі фармалізму, наступныя граматыкі вызначае невялікае падмноства англійскай мовы:
- Тэрмінальныя сімвалы T: {"", "", "кошка", "сабака", "бачыў", "перасьледавалі"}
- Нетерминальные сімвалы N: {S, NP, VP, Det, N, V}
- Пачатак сімвалам S: S
Мноства T вызначае 6-словы слоўнікавы запас, і мноства N вызначае асноўныя граматычныя катэгорыі. Пачынаючы сімвал S уяўляе сабой закончаны прапанову. Сімвал NP ўяўляе імянная, В. П. дзеяслоў фразу, Det вызначальнік, N назоўнік, V і дзеяслова. Наступныя 9 правілаў вытворчасці вызначыць граматычныя камбінацыі для дадзенага мовы:
SГэтая граматыка можа быць выкарыстаны для стварэння прапаноў, пачынаючы з знака S і паслядоўна замяняючы нетерминальных сімвалаў на левую частку некаторага правілы з радка знакаў на права:
S NP VP Det N VP a N VP a dog VP a dog V NP a dog chased NP a dog chased Det N a dog chased the N a dog chased the dogПаколькі апошняя радок утрымлівае толькі тэрмінальныя сімвалы, выснова спыняецца. Калі больш чым адно правіла прымяняецца, любы можа быць выкарыстаны. Сімвалам V, напрыклад, можна было б замяніць ўбачыў замест пераследвалі. Ж граматыкі могуць быць выкарыстаны для аналізу прапановы, ужываючы правілы ў зваротным парадку. Разбор хацеў бы пачаць з прапановы, як сабака пераследвалі сабакі і звесці яе да пачатковым знакам S.
Вытворчасць правілы граматыкі вышэй ставіцца да катэгорыі кантэкстнае-свабодных правілаў. Іншыя класы Граматык ранжируются у залежнасці ад складанасці іх правілаў вытворчасці. Наступныя чатыры катэгорыі складанасці былі першапачаткова вызначаны Хомскага:
- З канчатковым лікам станаў або рэгулярная граматыка мае вытворчыя правілы наступных двух формах:
A
дзе A, B і З адной нетерминальных сімвалаў, а х і ў ўяўляюць сабой адзіночныя сімвалы тэрмінала. Адзначым, што з канчатковым лікам станаў граматыкі, магчыма, рэкурсіўных правілаў выгляду x B
C y
х, але рэкурсіўных сімвал можа адбыцца толькі як правы знак. Такія рэкурсіі, якія таксама называюць хвастом рэкурсіі, заўсёды можа быць пераведзены на цыкл заявы аптымізуе кампілятар. - Кантэкстнае-вольная граматыка мае вытворчыя правілы наступны выгляд:
A
, Дзе з'яўляецца адным нетерминальных сімвалаў, і да нашай эры... D з'яўляецца любая паслядоўнасць з аднаго або некалькіх сімвалаў, альбо тэрмінал ці нетерминал. У дадатак да хваставой рэкурсіі дапускаецца граматыкі з канчатковым лікам станаў, кантэкстнае-вольная граматыка дазваляе рэкурсіўных знакаў адбыцца ў любым месцы ў радку замены. Рэкурсіўныя знак у сярэдзіне радка, званыя убудаваныя рэкурсіі, не можа ў цэлым быць ліквідаваны аптымізуе кампілятар. Такія рэкурсіі патрабуе разбору праграмы выкарыстоўваць крамнай стэка ці эквівалентных тэхнікі для кіравання часовага захоўвання. B C... D
- Кантэкстнае-залежная граматыка мае вытворчыя правілы наступны выгляд:
a A z
, Дзе з'яўляецца адным нетерминальный знак, і Z з'яўляюцца радкі з нуля ці больш сімвалаў (тэрмінал ці нетерминал), і Б... D з'яўляецца радком з адной або больш тэрмінал ці нетерминальных сімвалаў. Для аналізу кантэкстнае-залежная граматыка, разбор праграма патрабуе табліцы знакаў або эквівалентных кіравання тэхнікай захоўвання адсочваць кантэксце залежнасцяў. a B C... D z
- Агульнага перапісаць граматыкі дазваляе правілы для пераўтварэння любой радкі сімвалаў на любы іншы радкі сімвалаў. Адной мадыфікацыі дастаткова для пераўтварэння кантэкстнае-залежная граматыка ў агульным-перапісаць граматыкі: дазволіць любы нетерминал сімвал будзе заменены на пустую радок. Вытворчасць правілы, якія генеруюць пустыя радкі прычынай разбору праграм стаць недетерминированными таму што пустая радок можа адбыцца ў любым месцы радка для аналізу.
Кожны з гэтых класаў Граматык з'яўляецца больш агульным, чым папярэдні, і патрабуе больш складаных алгарытмаў разбору прызнаць пакаранне ў мове. Кожны з канчатковым лікам станаў граматыкі таксама кантэксце бясплатна, кожны кантэкстнае-свабоднай граматыкі таксама кантэкстная, і кожная кантэкстнае-залежная граматыка таксама агульнага перапісаць граматыкі. Але гутарыць не выконваюцца. Для абодвух моў праграмавання і натуральных моў, прамежкавымі ўзроўнямі складанасці былі вызначаны для якіх алгарытмы сінтаксічнага аналізу большай ці меншай эфектыўнасцю могуць быць запісаны.
Пасля граматыка вызначаецца, усе граматычныя прапановы ў мове могуць быць выкліканыя наступныя працэдуры:
- Стварыць пачатковы знак у якасці першай лініі вываду.
- Для высновы новай лініі, знайшлі вытворчасці правіла, у левай баку матчы падрадок знакаў у бягучай радку. Затым скапіруйце бягучую радок, замяніўшы адпаведныя падрадка з знакамі на правай баку вытворчасці правілы.
- Калі больш чым адно вытворчасць правіла адпаведнасці левага боку, то любы з іх можа быць ужытая.
- Калі няма вытворчасці правілы могуць быць ужытыя да бягучай радку, а затым спыніцца, у адваротным выпадку вярніцеся да кроку № 2.
Апошняя радок у выснове называецца прапанову мовы вызначаецца дадзенай граматыкі.
Для зручнасці, вытворчасць правіл можа быць запісана ў пашыранай абазначэння, якія выкарыстоўваюцца дадатковыя сімвалы. Новыя сімвалы не павялічваюць колькасць прапаноў, якія могуць быць атрыманы, але яны памяншаюць агульная колькасць граматычных правілаў, якія павінны быць запісаны. Наступнымі пашырэннямі, якія вызначаюць рэгулярных выразаў, якія выкарыстоўваюцца ў камунальнай гаспадарцы Unix, такіх як GREP і AWK.
- Вертыкальная рыса "|" падзяляе альтэрнатывы.
- Дужкі "(" і ")" паказваюць групоўкі.
- Зорачкай "*" пасля любога знака або групы паказвае 0 або больш уваходжанняў папярэдняга.
- Знак "плюс" + "пасля любога знака або групы азначае 1 або больш уваходжанняў папярэдняга.
- Знак пытання "?" пасля любога знака або групы паказвае 0 або 1 з'яўлення папярэдняга.
З гэтымі пашырэннямі, любое канчатковае стан ці рэгулярная граматыка можа быць выяўлена ў адно правіла вытворчасці, правая бок складаецца з рэгулярнага выразы. Больш складанай граматыкі патрабуюць больш аднаго вытворчасці правіла, але звычайна значна менш, чым асноўныя абазначэння.
Некаторыя прыклады могуць дапамагчы паказаць, як пашыраны абазначэння памяншае колькасць правілаў. З дапамогай вертыкальнай рысы, наступныя два правілы вытворчасці,
Nмогуць быць аб'яднаны ў адно правіла:
NКалі граматыка дазваляе імянная ўтрымліваць дадатковы прыметнік, яно можа выкарыстоўваць наступныя два правілы для вызначэння Н.П.:
NPТады як правілы могуць быць аб'яднаны з дапамогай пытальнік, каб паказаць дадатковы Прыметнік:
NPКалі дадатковы спіс прыметнікаў дапускаецца, то пытальнік можа быць заменены на зорачку:
NPГэта адно правіла ў пашыраным абазначэння эквівалентна наступныя чатыры правілы ў асноўныя абазначэння:
NPАпошняе правіла вытворчасці хвост рэкурсіі, у якой левая AdjList сімвал замяняецца радком, якая ўключае ў сябе той жа знак. Для стварэння неабмежаванага ліку магчымых пакаранняў, граматыка павінна мець па крайняй меры адно правіла, якое прама або ўскосна рэкурсіўнай. Так як узор граматыкі фрагмент ангельску не рэкурсіўных правіл, ён можа генераваць толькі канчатковае лік розных прапаноў (у дадзеным выпадку 32). З даданнем рэкурсіўнае правіла, падобныя гэтаму, ён можа генераваць бясконцую колькасць прапаноў (усе з якіх будзе даволі сумна).
Дазваляючы ўбудаваных рэкурсіі, больш агульнай кантэкстнае-свабодных Граматык могуць прымяняць абмежаванні, якія не могуць быць выяўленыя ў канчатковым лікам станаў або рэгулярнай граматыкі. Наступныя два правілы, напрыклад, стварыць усе радкі, якая складаецца з п дужак вынікаюць N правай дужкі:
SПаколькі кожнае правіла дадае збалансаванай пары дужак, вынік прымянення гэтых правілаў любую колькасць раз заўсёды павінны быць збалансаваныя. З канчатковым лікам станаў граматыкі або рэгулярнае выраз не можа гарантаваць, што лік дужкі ў правай матчы лік злева. Наступнае рэгулярнае выраз, напрыклад, спараджае занадта шмат радкоў:
SАкрамя радкоў збалансаваных дужках, яно спараджае радкоў, як "())))" і "((((())". кантэкстнае-вольная граматыка можа гарантаваць, што абодва бакі ўраўнаважваецца генерацыі частка правага боку і адпаведную частку левага боку ў той жа правіла. кантэкстнае-залежная граматыка можа накласці больш агульныя абмежаванні, якія залежаць ад камбінацыі сімвалаў, якія адбываюцца ў любым месцы радка. увогуле-перапісаць граматыка можа накладваць ніякіх абмежаванняў, якія могуць быць сфармуляваны ў любы мова праграмавання.
12. Графы гульні
Праграмы ў вобласці штучнага інтэлекту выкарыстання дрэў і графоў для прадстаўлення гульні. Шахматы, шашкі і крыжыкі-нулікі, можа быць прадстаўлена арыентаваных графаў, вузлы якога ўяўляюць гульню пазіцый ці станаў і дуг якога ўяўляюць пераходзіць з аднаго стану ў іншае. Поўная гульня гульня, званая гульня шлях, гэта накіравана хады ад некаторага пачатковага стану канчатак сцвярджаць, што вызначае выйгрыш, пройгрыш або нічыю.
У гэтым раздзеле апісваецца распаўсюджаны тып гульні называюць двух чалавек з нулявой сумай здзейсненага інфармацыю гульняў. Яны называюцца двух чалавек гульні, каб адрозніць іх ад гульні, як покер з вялікай колькасцю гульцоў, яны гульні з нулявым вынікам, паколькі ўсё, што адзін гулец губляе іншы гулец выйграе (у адрозненне ад адмоўнай сумай гульні, дзе дом прымае выразаць або станоўчы -сума гульні, дзе новыя значэнні ствараюцца), і яны ідэальна-інфармацыйныя гульні, таму што кожны гулец можа бачыць поўнае стан ў любы час (у адрозненне ад покера або моста, дзе некаторыя з найбольш значных інфармацыя схаваная). Ніжэй прыведзены некаторыя асноўныя азначэнні:
- Гульні G з'яўляецца арыентаваны граф з мноствам вузлоў P называецца дзяржаў і мноства дуг M называецца рухаецца.
- Калі P 1, P 2 з'яўляецца крокам у М, то стан Р 2 называецца пераемнікам P 1.
- Кожнае стан п-кратнай P 1,..., р п які апісвае бягучае становішча ў гульні. Першы элемент 1 р называецца гульцом на перамяшчэнне і астатнія элементы р 2,..., р п залежыць ад тыпу гульні.
- Для асобы гульня двух гульцоў на крок з'яўляецца адным з двух знакаў {A, B}. Кожны гулец называецца праціўнікам іншага гульца.
- Існуе непустога падмноства S Р называецца пачынаючы стану гульні.
- Існуе непустога падмноства Е Р называецца канчатак стану гульні. E складаецца з усіх дзяржаў, якія не маюць спадчыннікаў.
- Гульня шлях накіраваны хады ад пачатковага стану секунд да заканчэння дзяржавы ў E.
- Існуе функцыя выйгрышу, што карты заканчэння дзяржаў у ліку. Для кожнага канчатак стану Р, калі выйгрыш (P) з'яўляецца станоўчым, гэта значыць перамагчы і B мае страт, калі ён адмоўны, то Б перамогу і мае страты, і калі яна роўная нулю, то абодва і У маюць маляваць.
Гэта вызначэнне не з'яўляецца дастаткова агульным, каб прадстаўляць усе магчымыя гульні, але гэта досыць для тыповых настольных гульняў. Гэта дазваляе магчымасць гульні з больш чым адным зыходны стан, як у шахматнай гульні, дзе гулец атрымлівае Гандыкапы. Для многіх гульняў, выйгрыш 1 для перамогі, і -1 для страты. Іншыя гульні бальная адзнака з больш шырокім дыяпазонам.
Гульня Гульня складаецца з рухаецца ад штата да штату. Калі больш чым адзін ход дазваляецца ў дадзеным стане, на хаду гулец мае права выбраць, які з іх гуляюць. Для стану P 1,..., р п , Першы сімвал р 1 вызначае гульца на хаду, а астатнія р інфармацыі 2,..., р п залежыць ад тыпу гульні. У шахматах, напрыклад, бягучы стан апісвае размяшчэнне ўсіх фігур на дошцы, але ён таксама ўключае ў сябе кіравальную інфармацыю аб магчымасці ракіроўкі ці мімаходзь захоплівае пешку.
Так як функцыя выйгрышу вызначаецца толькі для спынення стану, значэнне ў nonending дзяржавы могуць быць вылічаны у здагадцы, што кожны гулец робіць аптымальным выбарам на кожны ход. Пры выбары хадоў, 'S стратэгія заключаецца ў максімальным выйгрышы, У' S стратэгіі заключаецца ў мінімізацыі выплат. Такім чынам, звычайны метад для вылічэння значэння ў стане Р гульні G называецца минимаксной алгарытм, паколькі ён па чарзе спрабуе звесці да мінімуму або максімальна прагназуемае значэнне ў залежнасці ад гульца на хаду. Значэнне ў стан Р вызначаецца рэкурсіўнай функцыі цэны (P):
- Калі Р з'яўляецца канчатак дзяржавы, значэнне (P) = выйгрышу (Р).
- Калі Р nonending стан з гульцом на крок, хай Q 1,..., Q п пераемнікаў стан Р. Тады значэнне (P) з'яўляецца максімальнай кошту (Q 1 ),..., значэнне (Q п).
- Калі Р nonending стан з гульца Б на крок, хай Q 1,..., Q п пераемнікаў стан Р. Тады значэнне (P) з'яўляецца мінімальнай кошту (Q 1 ),..., значэнне (Q п).
- Калі значэнне (P) з'яўляецца станоўчым, то, як кажуць, выйгрышнай стратэгіі ў стан Р. Калі ён адмоўны, то У называецца мець выйгрышную стратэгію ў Р.
Значэнне функцыі вылічае чаканы выйгрыш, калі абодва гульца робяць лепшыя хады ў кожным павароце. Калі якая-то гульня шляху бясконцыя, значэнне (Р) можа быць вызначана для некаторых дзяржаўных P, калі ўсе гульні шляху вядома, значэнне (Р) вызначана для ўсіх P. Кнігі пра А. І., якія ахопліваюць гульнявых праграм абмеркаваць алгарытмы для ацэнкі гэтай функцыі эфектыўна і набліжэння яго, калі дакладныя ацэнкі зойме занадта шмат часу. Выніку значэнне функцыя называецца таксама рэзервовыя копіі значэнне, паколькі яна вылічае значэнне nonending стан Р, гледзячы наперад, каб канчатак станаў, дасягальных з P і вылічальнай назад, пакуль не вызначае значэнне для Р.
13. Тэорыя мадэляў
У двух вядомых працаў, "паняцце ісціны ў фармалізаваны Мовы" і "Аб Канцэпцыі лагічным следствам", Альфрэд Татарскай (1935, 1936) пачалося развіццё тэорыі мадэляў. Ён апісаў сваю тэорыю, як фармалізацыя ў сімвалічнай логікі класічным азначэнні Арыстоцеля (Метафізіка, 1011b27):
Казаць аб тым, што ў тым, што гэта не так, ці таго, што не тое, што, няслушна,
у той час як гаварыць пра тое, што ў тым, што яна ёсць, ці пра тое, што не тое, што гэта не так, гэта праўда.
Для Арыстоцеля, гэтыя ўмовы вызначаюць, што значыць для прапановы на натуральным мове, каб быць праўдай аб свеце. Татарскай, аднак, зрабіў два важных спрашчэнняў. Па-першае, ён абмежаваў свае вызначэння для фармалізаваны моў, у прыватнасці, першага парадку логікі предикатов. Па-другое, ён замяніў складанасцямі рэальнага свету на абстрактныя "мадэль сістэмы аксіём". Для нефармальнага абмеркавання падыход Татарскай, глядзіце таксама яго працу "Семантычная канцэпцыя ісціны".
Фармальна, мадэль М складаецца з мноства D суб'ектаў называецца вобласць асобы і мноства R адносін, вызначаных над асобамі ў D. Каб вызначыць, ці з'яўляецца прапанова сапраўдным або ілжывых, тэорыі мадэляў вызначае функцыі ацэнкі , Які можа быць ужыты да любой формуле р-таго логікі першага і любой мадэлі M = D, R :
- (P, M) = Ісціна, калі і толькі калі р можна сказаць і аб фізічных асоб у D і іх адносіны ў R.
- (P, M) = хлусня, калі і толькі калі р ілжыва аб фізічных асоб у D і іх адносіны ў R.
з пункту гледжання сінтаксісу логікі першага парадку. Адзін з самых складаных асаблівасцяў першапачатковае вызначэнне Татарскай з'яўляецца яго спосаб прысваення асоб у галiне D на зменных ў формуле р. Хаця яго вызначэнне матэматычна правільна, гэта неэфектыўна для вылічэння для канчатковых абласцей і немагчымае, каб вылічыць для бясконцых абласцей. У якасці прыкладу, разгледзім заяву для любога цэлага п, 2П цэлае яшчэ. У вылічэнні предикатов, што заява можа быць выказана наступнай формулай:
(Паводле першапачатковага вызначэнні Татарскай, праўдзівасць гэтай формулы вызначаецца шляхам прысваення ўсіх магчымых цэлых лікаў у зменнай п і праверкі, ці існуе значэнне т, што робіць цела формула дакладная для кожнага задання. Такія вылічэнні немагчыма для бясконцых абласцей і вельмі неэфектыўная нават для канчатковых абласцей.
Для спрашчэння ацэнкі , Логіка Яака Hintikka (1973, 1985) распрацаваў тэарэтыка-гульнявой семантыкі як сістэматычны метад для прысваення значэнняў зменных па аднаму за раз. Ристо Hilpinen (1982) паказалі, што тэарэтыка-гульнявой семантыкі эквівалентна метад endoporeutic, што Пірс распрацаваны для вызначэння праўдзівасці экзістэнцыяльнай графа. Сава (1984) прынята тэарэтыка-гульнявой семантыкі як метад для вызначэння семантыкі канцэптуальных графаў. У сваім ўступным падручніка для выкладання тэорыі мадэляў, Барвайса і Etchemendy (1993) прынята тэарэтыка-гульнявой семантыкі і напісаў кампутарную праграму, каб вучыць сваіх чытачоў, як гуляць у гульню. Тэарэтыка-гульнявой семантыкі матэматычна эквівалентна зыходнага вызначэнні Татарскай, але гэта лягчэй растлумачыць, прасцей абагульніць на розных мовах, і больш эфектыўна ажыццяўляць у кампутарных праграмах.
У тэарэтыка-гульнявой семантыкі, любы формулы р вызначае дзвюх асоб з нулявой сумай здзейсненага інфармацыю аб гульні, як гэта вызначана ў артыкуле 12. Двух гульцоў у ацэнцы гульні прапановы, хто пераможа на гульню, паказаўшы, што Р з'яўляецца сапраўдным, і скептык, хто пераможа, паказаўшы, што р фальшыва. Каб гуляць у гульню, два гульца аналізу р ад знешняга боку, у адпаведнасці з наступнымі правіламі. Правілы progressivley спрасціць формулу P шляхам выдалення кванторов і лагічныя аператары пакуль формула зводзіцца да адных атамам.
- Экзыстэнцыйная. Калі р мае выгляд ( х) Q, прапанова выбірае асобныя у D, дае яму імя C, C і заменнікі для кожнага ўваходжання х у в Затым гульня працягваецца з мадыфікаванай версіі Q як новай пасадзе.
- Universal. Калі р мае выгляд ( х) Q, скептык выбірае асобныя у D, дае яму імя C, C і заменнікі для кожнага ўваходжання х у в Затым гульня працягваецца з мадыфікаванай версіі Q як новай пасадзе.
- Злучэнне. Калі P мае выгляд Q 1 Q 2, скептык выбірае альбо Q 1 або Q 2, якая становіцца новай пасадзе, як гульня працягваецца.
- Дизъюнкции. Калі P мае выгляд Q 1 Q 2, прапанова выбірае альбо Q 1 або Q 2, якая становіцца новай пасадзе, як гульня працягваецца.
- Адмаўленне. Калі р мае выгляд ~ Q, то Q становіцца новай пасадзе, і два гульца на іншы бок: прапанова становіцца новым скептык, і скептык становіцца новым прапанову.
- Наступствы. Калі P мае выгляд Q 1 Q 2, то гульня працягваецца з (~ Q 1) Q 2 у якасці новай пасадзе.
- Atom. Заканчэнне стан любой дзяржавы, у якім р атама: N-адических предикатного сімвала прымяняецца да п аргументаў, кожны з якіх з'яўляецца імя некаторага элемента з вобласці D.
. Рана ці позна гульня заканчваецца, калі р зводзіцца да адных атамам. Тады пераможца або прайграў вызначаецца шляхам праверкі, што атам складаецца з назвы P некаторых N-адических суадносін R прымяняецца да N-набор аргументаў C 1,..., C N для якіх гэта суадносіны дакладна. - Гулец, які з'яўляецца бягучае прапанову перамогі ў гульні, калі п-кратных C 1,..., C N у пашырэнне адносіны імя П.
- Гулец, які з'яўляецца бягучых скептык выйграе, калі п-кратных C 1,..., C N не ў пашырэнне адносіны імя П.
(Р, М) эквівалентна вызначэння, якая бок мае выйгрышную стратэгію ў гульні задаецца формулай P для дадзенай мадэлі M. Для ілюстрацыі ацэнкі гульні, вылічыць абазначэнне формула, якая выказвае сцвярджэнне для любога цэлага п, цэлых 2 N яшчэ:
(Для гэтага, напрыклад, вобласць D з'яўляецца мноства ўсіх цэлых лікаў і мноства адносін R будзе ўключаць адносін імя разы, лік, і нават. Так пашырэння гэтых адносін ўтрымліваюць бясконца шмат набораў, яны не могуць быць захаваны відавочна ад кампутара, але яны лёгка могуць быць вылічаны па меры неабходнасці.
- З першых квантор , Скептык робіць першы крок, выбраўшы любы элемент з D. Выкажам здагадку, што скептык выбірае N = 17. Тады новая версія р становіцца
(
m)(integer(17) (times(2,17,m) even(m))).
- З квантор , Прапанова робіць наступны крок. Па зазіралі наперад, разумны прапанову выказаў меркаванне б, М = 34. Тады новая версія р становіцца
integer(17)
(times(2,17,34) even(34)).
- Па правілу , Гэтая формула ператвараецца ў
~integer(17)
(times(2,17,34) even(34)).
- Па правілу , Прапанова можа выбраць любы бок . Выкажам здагадку, што прапанова выбірае правай часткі:
times(2,17,34)
even(34).
- Па правілу , Скептык можа выбраць любы бок . Выбар левага боку,
times(2,17,34).
- Нарэшце, прапанова, і скептык пошук табліцу троек па адносінах разы. З 2,17,34 У табліцы, прапанова пераможа, і р абвешчаны, каб быць праўдай.
Для прапанову, каб выйграць адну гульню, не з'яўляецца дастатковым, каб паказаць, што формула мае пазначэнне праўда. Замест гэтага, прапанова павінна быць выйгрышнай стратэгіі для любога магчымага перамяшчэння па скептык. Так як вобласць цэлых лікаў бясконца, скептык мае бясконца шмат варыянтаў на крок 1. Але пры любым выбары п ад скептык на кроку 1, прапанова заўсёды можна абраць значэнне 2 N для М на крок 2. Наступны варыянт для скептык на кроку 5, дзе формула стане
times(2,n,2n)З абодвух бакоў
Аператар павінен быць праўдай, скептык не мае магчымасці на перамогу. Такім чынам, прапанова гарантавана перамагчы, і формула дакладная. Гэты прыклад паказвае, што выйгрышная стратэгія часцяком могуць быць знойдзены для мадэляў, якія дазваляюць бясконцую колькасць магчымых хадоў. Леон Хенкин (1959) паказалі, што тэарэтыка-гульнявой семантыкі можа быць ужыты і да бясконца доўгіх формул. У некаторых выпадках, праўда значэнне бясконцай формуле можна вылічыць толькі канчатковае лік крокаў. Напрыклад, разгледзім бясконцую сумесна:
p1Калі гэтая формула адбываецца, каб быць праўдай, ацэнкі гульня будзе прымаць бясконца доўга, так як кожны р я бы для праверкі. Але калі яно ілжыва, гульня будзе спыняцца, калі скептык знаходзіць першае ілжывае я р. Аналагічныя аптымізацыя выконваецца для бясконцага дизъюнкции:
p1Калі дизъюнктивных формула ілжывая, ацэнкі гульня будзе прымаць бясконца доўга. Але калі гэта праўда, гульня будзе спыняцца, калі прапанова знаходзіць першае сапраўднае я р. Хоць нішто не ажыццяўляецца ў кампутар можа быць сапраўды бясконцая, тыповай базы дадзеных або базу ведаў, магчыма, мільёны варыянтаў. Першапачатковае азначэньне Татарскай запатрабуе вычарпальныя праверкі ўсіх магчымасцяў, але тэарэтыка-гульнявой метад можа выдаляць вялікія галіны вылічэнняў. Па сутнасці, аптымізацыі эквівалентная аптымізацыі выкарыстоўваюцца ў кампутарных гульнявых праграм. Яны таксама падобныя на метады, якія выкарыстоўваюцца для адказу запытаў SQL ў тэрмінах рэляцыйнай базы дадзеных.
14. Спіс літаратуры
Усе бібліяграфічныя спасылкі былі перамешчаныя ў камбінаваных бібліяграфія для гэтага вэб-сайта.
Любы, хто знайшоў гэтыя нататкі карыснымі таксама могуць быць зацікаўлены ў наступных он-лайн рэсурсы:
Энцыклапедыя Britannica артыкул па логіцы.
MathArchives тэмы па дыскрэтнай матэматыцы.
Заключны праект міжнароднага стандарту па агульнай логікі.
Copyright © 1999, 2007 г. Джон Ф. Сава. Дазвол Сапраўдным прадастаўляецца для тых, хто робіць дакладныя копіі гэтага дакумента для навучання, самастойная праца, або іншых некамерцыйных мэтах пры ўмове, што копіі прывесці аўтара, URL гэтага дакумента, і гэта дазвол заяву. Калі ласка, дасылайце каментары да Джон Сава.