Пошук функцый Грына для звычайных дыферэнцыяльных раўнанняў

Лінейныя метады прыкладной матэматыкі
М. Эванс Харрелл II і Джэймс В. Ірада *

* (З) Copyright 1994,1995,1996 Эванс М. Харрелл II і Джэймс В. Ірада. Усе правы абаронены.

Пошук функцый Грына для звычайных дыферэнцыяльных раўнанняў.

Пачнем з выпадку першага Фредгольма альтэрнатыва. Калі раўнанне у дадзеным выпадку, мы гарантаваныя, што яна мае адзінае рашэнне - але як яго знайсці?

Наш метад рашэння неаднароднага дыферэнцыяльнага раўнання будзе знайсці інтэгральнага аператара, які вырабляе рашэнні, задавальняе ўсіх зададзеных межавых умовах. Інтэгральны аператар мае ядро завецца Зялёны функцыі  , як правіла, пазначаецца G (т, х). Гэта памнажаецца на неаднародных тэрмін і аб'яднаных адной з зменных.

Ёсць некалькі метадаў пабудовы функцый Грына. Той, які мы прадставім першы, і падкрэсліць, гэта той, студэнты, падобна, аддаюць перавагу. Магчыма, гэта адбываецца таму, што яно лёгка запамінаецца і мае уласцівыя прастата. Іншыя метады, будуць уключаныя ў гэтыя нататкі для параўнання. Ёсць ідэі, якія іншымі метадамі выкарыстання, якія з'яўляюцца важнымі.

Як і раней, мы мяркуем пэўную форму для L дыферэнцыяльны аператар:

Мы лічым, што _я (х) не роўная нулю на [0,1], і што кожны член паслядоўнасці _р (х), р = 0,..., п, мае па меншай меры п бесперапынных вытворных. Мы абмяркоўваем будаўніцтва Зялёны функцыі ў трох выпадках у залежнасці ад характару межавых умоў. Да асобага распараджэння, мы мяркуем, першая альтэрнатыва мае месца і будзе паўтараць гэта папярэджанне для выразнасці. Мы па-ранейшаму для абазначэння М і М * шматстатнасцяў, асацыіраваных з {L, B} і {L *, У *}, адпаведна.

У большасці нашых прыкладаў, і ў большасці прыкладанняў, дыферэнцыяльныя ўраўненні другога парадку. У канчатковым рахунку, гэта выцякае з сілу закон Ньютана, F = тая, якая з'яўляецца другой па парадку, так як паскарэнне з'яўляецца другой вытворнай.

Давайце пачнем з апісання алгарытму пабудовы G другога парадку праблемы. Мы абмяркуем, чаму гэта працуе ніжэй

Функцыя G залежыць ад двух зменных і валодае наступнымі ўласцівасцямі: калі т у (0,1), то

існуе для 0 <х <т і т <х <1. Далей выкажам здагадку, што гэтыя вытворныя маюць бесперапыннае працяг у трохкутнай вобласці 0 <= х <= т і т <= х <= 1. Эфект гэтага пашырэння з'яўляецца тое, што

і

для р = 1,2

На мяжы мы будзем настойваць, што G (х, г) быць бесперапыннай. Для частковага G _х, аднак, нам неабходна спецыяльная разрыву скакаць, як варта:

Вось што адбудзецца, калі Ёсць вытворных вышэйшых парадкаў:

Функцыя G павінна быць пабудавана на [0,1] х [0,1], каб валодаць наступнымі ўласцівасцямі: калі т у (0,1) і 0 < р < п, то

і

На дадзены момант, усе мы папрасілі з G з'яўляецца тое, што ён павінен мець бесперапынны н частковыя на закрытай трыкутнікаў 0 <х <т і т <х <1. Патрабаванне уздоўж мяжы будзе тое, што пры р <= п-2, у нас ёсць пераемнасць. Напрыклад, на р = 0, атрымліваецца, што G (т ⁺, т) = G (т ^-, т). На самай справе, G (т ⁺, т) = G (T, T ^-) = G (T, T ⁺) = G (т ^-, т). І гэта адбываецца па р ^-м частковых да р = п-2. Для (п-1) ^-га частковае, дапускаецца разрыў першага, як прадпісана ў рэзюмэ ніжэй:

Перш чым паказаць, што вышэй за рэцэпт сапраўды забяспечыць рашэнне N ^-га парадку ўраўненні, добра было б зрабіць, каб некалькі прыкладаў, пачынаючы з тыповай праблемай:

Прыклад (Першы альтэрнатыўны, пачатковых умоў): Вось праблема: пры F бесперапынная на [0,1], пабудаваць у такіх, што

у''+ 3y+ 2y = е з ў (0) = у '(0) = 0.

Давайце вызначыць важныя часткі тут.

L (у) = у''+ 3y+ 2y, В1 (у) = у (0), В2 (у) = у '(0),

і М = {ў: у (0) = у '(0) = 0}.

Мы знаходзімся ў першую альтэрнатыву, таму што для гэтага {L, В1, В2} сістэмы L (у) = 0, В1 (у) = В2 (у) = 0 мае толькі адно рашэнне і яно роўна нулю. Пабудуем G крок за крокам, з названых кірункаў.

Каб прытрымлівацца ўказанням стадыі (а) нам трэба агульнае рашэнне аднастайнага ўраўненні (у) = 0, гэта значыць, нам трэба агульнае рашэнне аднастайнага ўраўненні

у''+ 3y '2 у = 0.

Гэта не так цяжка бачыць, што лінейна незалежных вырашэння гэтага ўраўненні з'яўляюцца электронная ^-2x і электроннай ^-х. (У гэтым узросце, калі вы аддаеце перавагу, вы можаце знайсці гэтыя рашэнні з клёну, выкарыстоўваючы каманду dsolve ці Mathematica, выкарыстоўваючы DSolve.) Такім чынам, G задавальняе стадыі (а), калі

Звярніце ўвагу, што A, B, C, D і сталыя ў х, але можа змяняцца з t. Мы chall вызначэння чатырох невядомых з бесперапыннасці і скакаць умовах.

Каб прытрымлівацца ўказанням стадыі (б), які патрабуе, што G (., Г) у М, мы павінны

G (0, т) = 0 і G _х (х, г)) | х = 0 = 0

Наступствы гэтага ў тым, што

+ У = 0 і-2A - У = 0.

Гэта азначае, што = 0 і В = 0.

Каб прытрымлівацца ўказанням стадыі (з), які патрабуе, каб G (т ⁺, т) = G (т ^-, т), мы павінны

(З -) е ^-2t+ (D - B) е ^-т = 0.

Ці, ведаючы, што A = B = 0,

Вось ^-2t+ Дэ ^-т = 0.

Каб выконваць указанні на стадыі (г), які патрабуе, каб

    G _х | х = т+ - G _х (х, г)) | х = т-= 1,

мы павінны

-2 (З -) е ^-2t - (D - B) е ^-т = 1.

Ведаючы, што A = B = 0,

-2Ce ^-2t -De ^-т = 1.

Гэта дае два раўнання, два невядомых у С і D. рашэнне

C =- е ^2t і D = е ^т.

Пастарайцеся, каб атрымаць за сувязі з гэтым прыклад: пасля выяўлення двух лінейна незалежных рашэнняў ўраўненні другога парадку L (у) = 0, мы б ведалі, G ўмове, што мы вырашылі для A, B, C і D. Крокі бы, у, і сп даў четыре ўраўненні ў гэтых чатырох невядомых. Напісаная ў матрычнай форме,

Задача звялася да матрыцы раўнання! Мы вырашылі знайсці ўраўненні = 0, У = 0, з =- е ^2t, і сп = е ^т. Канчатковы вынік:

Мы ўпэўненыя, што калі F бесперапынная, то раўнаннем у = G е прадастаўляе рашэнне для L (у) = е з-за Практыкаванне 3 ўвядзення.

Непасрэдная праверка, што гэты метад дае рашэнні для ўраўненні другога парадку

Выкажам здагадку, што L (у) (х) = а2 (х) у''(х)+ a1 (х) у '(х)+ А0 (х) у (х). Дазваляць

Так як G (, т) належыць М, то і ў М. Застаецца заўважыць, што L (і) = f. Звярніце ўвагу, што

Апошняе роўнасць справядліва ў сілу здагадкі, што G (х, х ^-) = G (х, х ⁺).

Акрамя таго,

Апошняе роўнасць выкарыстоўвае стан G _х (х, х ^-)) - G _х (х, х ⁺)) = 1 / ₂ (х). Нарэшце, мы выкарыстоўваем той факт, што G (х, г), а функцыяй ад х, задавальняе L (у) = 0 на [0, х] і [х, 1], каб атрымаць, што L (і) = f.

Прыклад (першы варыянт; несмешанные, два межавых ўмовы ачко):

Мы будзем будаваць Зялёны функцыю праблема

у''+ 3y+ 2y = е з ў (0) = 0 і ў (1) = 0.

Вось важныя часткі:

L (у) = у''+ 3y+ 2y, B ₁ (у) = у (0), B ₂ (у) = у (1),

і М = {ў: у (0) = у (1) = 0}.

Трохі працы неабходна зрабіць, каб пераканацца, што мы знаходзімся ў першым варыянце. Калі L (у) = 0, а затым Ёсць нумары і Ь, што

ў (х) = аё ^-2x + быць ^-х.

Патрабаваць, каб B ₁ (у) = 0 і B ₂ (у) = 0 патрабуе, каб

0 = A+ B

і 0 = аё ^-2+ быць ^-1.

Адзінае рашэнне гэтай пары раўнанняў = 0 = б, якая пацвярджае, што мы знаходзімся ў першым варыянце.

Канструкцыя для G з'яўляецца, як раней:

Два межавых умоў і ўмоў бесперапыннасці прыводзяць да раўнаннях 0 = A+ B

0 = З ^ ^-2+ D электроннай ^-1

0 = (CA) е ^-2t+ (DB) е ^-т

1 = -2 (CA) е ^-2t - (DB) е ^-т.

Вядома, гэтыя ўраўненні могуць быць вырашаныя, хоць дэталі стомным. Вось ідэя лепей. Замест таго, выбіраючы е ^-2t і электроннай ^-т як лінейна незалежных рашэнняў ўраўненні L (у) = 0, выбраць іншую пару, якая валодае гэтымі ўласцівасцямі:

   U ₁ (0) = 0, і ₁ (1)> <0

   U ₂ (0)> <0, і ₂ (1) = 0.

(У гэтым прыкладзе, і ₁ (т) = е ^-2t - е ^-т , а і ₂ (т) = е ^{-2 (т-1)} - е ^{- (т-1)}.)

Зараз, складаюць G такім чынам,

Ужыванне межавых умоў:

0 = Bu ₂ (0), адкуль вынікае, што B = 0,

і 0 = Сі ₁ (1), адкуль вынікае, што З = 0.

Умовы бесперапыннасці даюць два раўнання

З гэтых раўнанняў атрымаем

= І ₂ (т) / ₂ (т) т (т)

і D = u1 (т) / ₂ (т) т (т)

дзе

называецца вронскиан ад і ₀, а і ₁.

Вось канчатковы вынік:

Існуе яшчэ адна важная частка інфармацыі, што вы будзеце вучыцца, ці нагадае, калі мы будзем працаваць з абедзвюх частак формулы G. Нагадаем, што

u1 (т) = е ^-2t - е ^-т , u2 (т) = е ^{-2 (т-1)} - е ^{- (т-1)}.

І зараз, каб вылічыць W (T). Руцінную працу, што вылічэнне здаецца занадта стомнай будзе весела. Не хвалюйцеся! Паглядзіце уверх " вронскиан "некаторыя добрыя другакурснік дыферэнцыяльных раўнанняў кнігу, і вы знойдзеце зручныя формуле:

                                                                                                                 (15.1)

Звярніце ўвагу, што гэта асабліва проста, калі-1 = 0, як гэта часта бывае: вронскиан затым сталай.

Цяпер разлік просты:

і W (T) = (е ² - е ¹) е ^-3T.

Такім чынам

і

Мы атрымалі больш з гэтага прыкладу, чым адказаць: мы атрымалі наступныя хуткі метад, які працуе для гэтага тыпу праблемы.

AD Hoc метад пабудовы функцый Грына для другога парадку, Першы Альтэрнатыўны, Unmixed дзве ўмовы межавай пункту

Pick U ₁ і U ₂ такі, што У ₁ (і ₁) = 0, B ₂ (і ₁)> <0, B ₂ (і ₁) = 0, і B ₁ (і ₂)> <0.

Затым

дзе з вронскиан ад і ₁ і U ₂.

Прыклад (першы варыянт, змешаныя, два межавых ўмовы ачко):

Меркаваць

L (у) = у'', B ₁ (у) = у (0)+ ў (1) і B ₂ (у) = у '(0)+ у' (1).

Па-першае, мы пераканаемся, што мы першыя альтэрнатыўныя B ₂ мяркуючы, што

L (у) = 0 і B ₁ (у) = У ₂ (у) = 0.

Тады ў (х) = а+ Ьх, для канстант і b. З

у (0)+ у (1) = 0

Затым 2a+ Коммерсанта = 0.

З

у '(0)+ у' (1) = 0,

Затым 2а = 0.

Гэтыя два раўнання азначаюць, што а = б = 0. Цяпер мы пачынаем будаўніцтва Зялёны функцыі.

Выберыце 0 <* <1:

У нас ёсць чатыры канстанты, каб вызначыць, ажно чатыры ўраўненні:

0 = G (0, т)+ G (1, т) =+ C+ D,

0 = G _х (0, т))+ G _х (1, т)) = B+ D,

0 = G (T ⁺, T) - G (т ^-, т) = (C -)+ (D - B) т,

1 / ₂ (т) = G _х (т ⁺, т) - G _х (т ^-, т)) = D - Б.

Рашэнне для гэтых чатырох раўнанняў = (2t - 1) / 4, У = -1 / 2,

З = - (2t+ 1) / 4 і D = 1 / 2.

Разуменне ўраўненні L (у) = дэльта (х - т).

Да цяперашняга часу вы павінны верыць, што за выключэннем арыфметычных дэталі, вы можаце працаваць любы з гэтых праблем. Мы падышлі да месца, дзе мы павінны атрымаць гэтую праблему ў перспектыве.

Мы ведаем, што патрабаванні кіраўніка XIV даць Кронекера сімвал дэльта,

для любога вектара V.

Такім чынам AG = Id ў кампанентах становіцца

Пры спробе вырашаць дыферэнцыяльныя раўнанні, мы маглі б спадзявацца знайсці G (., Г) як рашэнне ўраўненні L (G (., Т)) = \ Delta (., Т). Некаторыя разуменні гэтага раўнання для таго, каб правая бок не з'яўляецца функцыяй у звычайным сэнсе. Як ужо адзначалася, гэта «абагульненая функцыя». Аналогіі з матрычнай задачы вельмі блізкія: дэльта-функцыя па сутнасці дае бесперапынны каардынаты адзінкавага аператара:

для любога, бы з <х <b. Нагадаем, што інтэграл роду бесперапынную суму, так што гэта неабходна.

Мы прадстаўляем тут, а не доказ, але разуменне , што

L (G (, т).) (Х) = \ Delta (х - т).

                                                                                                                  (15.2)

Ідэі павінны быць правераныя і перагледжаны ў наступныя курсы, як тэорыя абагульненых функцый распрацаваны:

Выкажам здагадку, што

і, што раўнанне (15/02) мае месца. Інтуіцыя кіраўніцтва:

Калі б хто спытаў вырашыць раўнанне L (у) = F, дзе L з'яўляецца разумным аператар другога парадку, у кантэксце другакурснік курс дыферэнцыяльных раўнанняў, можна было б падумаць аб варыяцыі параметраў формулы. У тым, што налады, а для другога парадку з праблемамі u0, u1 лінейна незалежных рашэнняў аднастайнага ўраўненні,

ў (х) = З ₀ (х) і ₀ (х)+ З ₁ (х) і ₁ (х).

Тут,

і

Гэта кажа аб тым інтэрпрэтацыю «рашэнне» ўраўненні другога парадку:

L (G (., Т)) (х) = \ Delta (х, г).

А менавіта, G (., Г) з'яўляецца бесперапыннай функцыі, зададзенай

() G (X, T) = C ₀ (х, г) і ₀ (х)+ З ₁ (х, г) і ₁ (х)

дзе

і

Як і вышэй, размеркаванне раўнанняў павінна мець рашэнне

Тэарэма. Калі для кожнага т, G (., г) у M і L (G (., т)) (х) = д (х, г), то G задавальняе чатырох раўнанняў Кіраўнік XIV.

Доказ. Мы спадзяемся, прызнаць чатырох раўнанняў, якія мы выкарыстоўвалі для вызначэння G другога парадку, што праблемы, звязаныя з вышэйпералічаным патрабаванням для G. Два з гэтых раўнанняў прыходзяць ад пытання, што G (., Г) павінна задавальняць двум раўнаннях мяжы. Яшчэ адна, G (T ⁺, T) - G (т ^-, т) = 0, паходзіць ад патрабаванні, што G павінна быць бесперапыннай (, т.). Для высновы ўраўненні

G _х (т ⁺, т) - G _х (т ^-, т) = 1 / ₂ (т),

вылічым спачатку G _х (х, г).

   G _х (х, г) =
       = C _{0, х} (х, г) і ₀ (х)+ З ₀ (х, г) і ₀ (х)+ З _{1, х} (х, г) і ₁ (х)+ З ₁ (х, г) і ₁ '(х)
       = З ₀ (х, г) і ₀ (х)+ З ₁ (х, г) і ₁ '(х).

Апошняе роўнасць вынікае з (б). Каб знайсці

G _х (т ⁺, т) - G _х (т ^-, т) = [C ₀ (т ⁺, т)-C ₀ (т ^-, т)] і ₀ '(т)+ [C ₁ (т ⁺, т)-C ₁ (т ^-, т)] u'1 (т),

мы павінны ацаніць

Такім жа чынам,

[C ₁ (T ⁺, T) - C ₁ (т ^-, т)] = і ₀ (т) / ₂ (т) т (т).

Такім чынам,

Такім чынам, зваротны L дыферэнцыяльны аператар на мностве M атрымліваецца знайсці функцыю G (, т) у М, задавальняе (15,2),

L (G (., Т)) (х) = \ Delta (х).

                                                                                          Што і патрабавалася даказаць

(15.2)

Цяпер мы абмяркуем праблемы там, дзе другі альтэрнатыва мае месца. Здагадка, што існуе нетрывіяльнае рашэнне для L (у) = 0, B ₁ (у) = У ₂ (у) = 0. Фредгольма тэарэмы запэўніваюць нас, што калі F бесперапынная, гэта значыць рашэнне для L (у) = е, з B ₁ (у) = У ₂ (у) = 0 пры ўмове,

для ўсіх рашэнняў ш ўраўненні L * (са) = 0, B ₁ * (са) = B ₂ * (ш) = 0. Як і раней, мы будзем будаваць Грына G функцыі, такія, што ў выпадку F задавальняе пералічаным вышэй патрабаванням, то

забяспечвае рашэнне для L (у) = f.

У гэтай другой альтэрнатывы, можа быць шмат рашэнняў для ўраўненні L (у) = f. Такім чынам, мы чакаем, што там можа быць шмат функцый Грына. У методыцы, распрацаванай ніжэй, G (, т) заўсёды знаходзіцца ў

   М = {ў: B ₀ (у) = B ₁ (у) = 0}.

Гэта не заўсёды дакладна для функцый Грына пабудаваны з дапамогай іншых метадаў: гл., напрыклад, будаўніцтва знойдзены Дон Джонс у той час як выпускнік навуковы супрацоўнік Georgia Tech і прыведзены ў дадатку.

Мы зноў падзяліць праблемы на тры выпадкі ў залежнасці ад характару межавых умоў. Праілюструем метадаў будаўніцтва.

Першы выпадак, каб разгледзець, калі межавыя ўмовы ўзнікаюць у пачатковыя ўмовы. Гэты выпадак не мае дачынення да пачатковая задача мае адзінае рашэнне. Такім чынам, выпадак адзін заўсёды ў першым варыянце.

Прыклад: (другі варыянт, несмешанных, дзве ўмовы межавай пункту)

Выкажам здагадку, што L (у) = у''+ у '- 2у, B ₁ (у) = у (0) - у '(0), і Б ₂ (у) = у (1) - у '(1). Гэта мэта гэтага прыкладу, каб паказаць, што няма функцыі G такія, што L (G (., Т)) (х) = д (х, г). Звярніце ўвагу, што L * (г) = г''-г '-2z і М * = {ў: 2г (1) = г' (1), 2г (0) = г '(0)}. Нетрывіяльныя функцыі ў nullspace з {L *, B ₁ *, У ₂ *} кратных электроннай ^2t. Такім чынам, мы ў другой альтэрнатывай. Фредгольма тэарэмы Альтэрнатыўныя мяркуе, што не будзе функцыя G такая, што калі т у (0,1), то L размеркаванне раўнання (G (, т)) (х) = д (х, г) мае месца, калі

Вядома, значэнне гэтага інтэграла не роўная нулю.

Для гэтай сітуацыі, мы павінны змяніць будаўніцтва функцыя Грына.

БУДАЎНІЦТВА G У якасці другой альтэрнатывы, п ^-га ПАРАДКУ

Step (1) Знайсці nullspace з {L *, М *}

Step (2) Знайсці ортонормированный базіс для гэтага nullspace. Назавем гэта аснова V ₁, V ₂,... V _м, м < n.

Step (3) Пабудаваць такую, што Ь (_р) = у _р, р = 1, 2,... n.

Step (4) Пабудаваць G такія, што

Тэарэма Калі 0 <т <1, то ёсць G (., т) такая, што

СВЕДЧАННІ доказы. Па Фредгольма тэарэмы Альтэрнатыўная, там будзе такая функцыя G пры ўмове,

для ўсіх т у nullspace з L *. У гэтым можна пераканацца, запісаўшы ш ва ўмовы гэтага ортонормированный базіс, і ацэнка скалярнага твора.

Як пабудаваць G такія, што

Па-першае, знайсці лінейна незалежных рашэнняў у _р, р = 1,..., п, аднастайнага ўраўненні L (у) = 0. Затым, знайсці рашэнні і _р, р = 1,..., т <п, для раўнання L (і _р, р = 1,...,)(х) = у _р, р = 1,..., (х). Гэта не абавязкова, што гэтыя рашэнні павінны задавальняць любыя спецыяльныя межавыя ўмовы.

Задача знаходжання G цяпер задачу знаходжання пастаянных З _Р і Д _р такія, што

Сталыя З _Р і Д _р вызначаецца гэтымі 2n раўнанняў:

Працяг папярэдняга прыкладу

Нагадаем, што L (у) = у''+ ў '-2у, B ₁ (у) = у (0) - у '(0), і Б ₂ (у) = у (1) - у '(1). Лінейна незалежныя рашэнні для L (у) = 0 з'яўляюцца электронная ^-2x і электроннай ^х. Нармаваны базіс для аднамерных nullspace з {L *, B ₁ *, У ₂ *} з'яўляецца альфа электроннай ^2x, дзе альфа станоўчы нумар, прысвоены

Рашэнне і для ўраўненні ў''+ ў '-2y = альфа электроннай ^2x ёсць і (х) = альфа электроннай ^2x / 4.

Зараз, G вызначаецца па формуле:

Чатыры канстанты - A, B, C, і D - можа быць вырашана з гэтых чатырох раўнанняў:

(1) 0 = B ₁ (G (, т)) = G (0, T) - G _х (0, T) = 3А+ [[альфа]] ² E ^т / 4

(2) 0 = B ₂ (G (, т)) = G (1, т) - G _х (1, т) = 3Ce ^-2+ ² E ^{2 (1+ т)} / 4,

(3) 0 = G (T ⁺, T) - G (т ^-, т) = (CA) е ^-2t+ (DB) е ^т і

(4) 1 = G _х (т ⁺, т) - G _х (т ^-, т) = -2 (CA) е ^-2t+ (DB) е ^т.

Вырашаючы гэтую сістэму з чатырох раўнанняў і чатыры невядомых, бясконцасць рашэнні будуць знойдзеныя вызначаецца гэтымі трыма раўнаннямі:

= - Альфа- ² электроннай ^2t / 12, C = АЕ ⁴, DB = е ^-т / 3.

                                                                                     Што і патрабавалася даказаць

Практыкаванне: Для кожнага з наступных, дайце L *, B ₁ *, У ₂ *, Г.

() L (у) = у''+ ў '-2у, B ₁ (у) = у (0)-у '(0), B ₂ (у) = у (1) - у '(1).

(Б) Л (у) = 4y''-у, У ₁ (у) = у (0) - 2у '(0), B ₂ (у) = у (1) - 2у '(1).

(З) L (у) = у''-2y '- 3г, B ₁ (у) = 3г (0) - у '(0), B ₂ (у) = 3г (1) - у '(1).

Прыклад (Другі Альтэрнатыва, змешаныя, дзве ўмовы межавай пункту.)

Выкажам здагадку, што L (у) = у'', B ₁ (у) = у (0)+ ў (1), B ₂ (у) = у '(0) - у' (1). Тады L * (г) = г'', B ₁ * (г) = г (0) - г (1), B ₂ * (г) = г '(0)+ г' (1). Усё рашэнні {L, B ₁, B ₂ } кратным 2х - 1. Нетрывіяльнае рашэнне [L *, B ₁ *, У ₂ *} з'яўляецца пастаяннай функцыяй 1. Акрамя таго, функцыя V (х) = 1 служыць асновай для нуль-прастору 0 = L * (г) у М *. Функцыя і (х) = х ² / 2 задавальняе L (і) = 1. Такім чынам

G (х, г) = BLC {((А+ ВХ - х ² / 2, калі х <т, C+ Dx - х ² / 2, калi т <х))

У нас ёсць чатыры невядомых, мы маем наступныя чатыры ўраўненні:

(1) 0 = G (0, т)+ G (1, т) =+ C+ D - 1 / 2

(2) 0 = DG (X, T) / дх | х = 0 - DG (X, T) / дх | х = 1 = B - (Д-1)

(3) 0 = G (T ⁺, T) - G (т ^-, т) = CA+ (DB) т

(4) 1 = DG (X, T) / дх | х = т+ - DG (X, T) / дх | х = т-= DB.

Як і чакалася, ёсць бясконцае мноства рашэнняў гэтых раўнанняў, якія можна знайсці, выбраўшы D, а затым

B = D - 1

2С = - (т+ D)+ 1 / 2

= З+ t.

                                                                                     Што і патрабавалася даказаць

(Агляд агульны метад або адмысловы метад пабудовы функцый Грына.) XV.1. Знайсці Зялёны функцыя такая, што калі F бесперапынная, то раўнаннем у = G е прадастаўляе рашэнне для L (у) = е, у (0) = у '(0) = 0, дзе L такі, як вызначана ніжэй. У любым выпадку, спачатку даць L * і М * і пераканацца, што першая альтэрнатыва мае месца.

() L (у) = у''(б) Л (у) = у''+ 4 \ Pi ² у (з) L (у) = 2у''+ у '- у (г) L (у) (х) = (е ^х у '(х))'. (Адказы)

XV.2. (Спецыяльны метад) Выкажам здагадку, што і ёсць функцыя на [0,1], які

задавальняе L (і) = 0, і (0) = 0, і '(0) = 1/a2 (т). Хай Н (х, т) = 0, калі х <т і = і (х), калі т <х Паказаць, што Н Зялёны функцыі задача {L, B ₁ (у) = у (0), B ₂ (у) = у '(0)}.

XV.3. (Эквівалент інтэгральнае раўнанне) Няхай G (х, г) Зялёныя функцыі для задачы I ​​(а) вышэй. Выкажам здагадку, што б і е з'яўляюцца бесперапыннымі функцыямі. Хай А функцыі, зададзенай

і Н (х, т) функцыі, зададзенай Н (х, т) = G (X, T) B (T) (Заўвага: Тут H з'яўляецца ня Хевисайда функцыя). Паказаць гэтыя эквівалентныя:

(А) у''(х) - Ь (х) у (х) = F (х), у (0) = у '(0) = 0, а

XV.4. Пабудаваць L *, У * і G для наступных мэтаў:

() L (у) = у'', B ₁ (у) = у (0), B ₂ (у) = у (1),

(Б) Л (у) = у'', B ₁ (у) = у (0)+ у '(0), B ₂ (у) = у (1)+ у '(1).

(З) L (у) = у'', B ₁ (у) = у (0)+ у '(0), B ₂ (у) = у (1) - у '(1),

(Г) Л (у) = у''+ 4 \ Pi ² ў, У ₁ (у) = у (0)+ у '(0), B ₂ (у) = у (1) - у '(1).

(Е) л (у) = 2у''+ у'-у, У ₁ (у) = у (0)+ у '(0), B ₂ (у) = у (1) - у '(1).

(F), L (у) (х) = (е ^х у '(х))', B ₁ (у) = у (0)+ у '(0), B ₂ (у) = у (1) - у '(1).

(Адказы)

XV.5. Так што вы будзеце памятаць, чаму мы будуем Зялёны функцый, выкарыстанне вышэй выніку, каб забяспечыць рашэнне для ўраўненні ў''(х) = х ², у (0)+ у (1) = 0, і ў '(0)+ у '(1) = 0.

XV.6. Дайце фармальны аргумент, перастановай межы і інтэгралы, таму, калі G задавальняе ўмове (15,2), то

вырашае

L (і) = f.

Звярніце ўвагу, што інтэграл жа, як і

XV.7. Дайце фармальны аргумент, каб паказаць, што д (х) з'яўляецца цотным функцыяй, у тым сэнсе, што г (-х) = д (х). (Выкарыстоўвайце замены пераменных.)

XV.8. Хай ₁ (х, т) і G ₂ (х, г)-два зялёных функцыі для дыферэнцыяльнага раўнання

у''(х) - і (х) = F (X).

Так як межавыя ўмовы не былі вызначаныя, што будзе шмат зялёных функцыя для дыферэнцыяльнага раўнання

у''(х) - і (х) = F (X), і (0) = і (1) = 0.

(А) Класіфікаваць G (х, г) як інтэгральнае ядро ​​як і ў чале XII. Гэта сепарабельных? Гэта невялікія (у любым сэнсе)?

(Б) Абмеркаваць, як можна было б вырашыць інтэгральнае раўнанне

з метадамі Раздзел XII. У якой дыферэнцыяльнага раўнання гэта эквівалент?

XV.10. Пераканайцеся, што кожная з гэтых праблем з'яўляецца другі варыянт і знайсці L *, B ₁ *, У ₂ *, Г.

() L (у) = у'', B ₁ (у) = у (0) - у (1), B ₂ (у) = у '(0) - у' (1),

(Б) Л (у) = у''+ 9 [[пі]] ² ў, У ₁ (у) = у (0) - у (1), B ₂ (у) = у '(0)+ у '(1),

(З) L (у) = у''+ у '- 2у, B ₁ (у) = еу (0) - у (1), B ₂ (у) = е ў '(0) - у' (1).

XV.11. Пабудаваць L *, У * і G для кожнага з наступных адзінак і з перыядычнымі межавымі ўмовамі ў (0) = у (1), у '(0) = у' (1):

() L (у) = у'',

(Б) Л (у) = у''+ \ Pi ² у

(З) L (у) = 2у''+ у '- у,

XV.12. (Неаднародным межавымі ўмовамі)

Для рашэння раўнанняў L (у) = F, B ₁ (у) = альфа-, B ₂ (у) = \ бэта, спачатку пабудуем G па праблеме L (у) = F, B ₁ (у) = 0, У ₂ (у) = 0. Затым пабудаваць функцыі Z ₁ і Z ₂ такі, што У ₁ (г ₁) = 0, B ₂ (г ₁)! = 0, і B ₁ (г ₂)! = 0, B ₂ (г ₂) = 0. Рашэнне для зыходнай задачы

                                                                                     Што і патрабавалася даказаць

XV.13. Знайсці формулу для і, калі і''= е і

(А) і (0) = і (1) = 0.

(Б) і (0) = і '(0) = 0.

(З) і (0) = 3, і (1) = 5,

(Г) і '(0) = 3u (0), і' (1) = 5 і (1),

(Е) і (0) = і (1), і '(0) = і' (1),

(Е) і (0) = 3, і '(0) = 5,

(Г) і '(0) = 3, і (0) = 5,

(А) і (0) = 0, I (0,1) і (х) Ах = 0.

(адказы)

XV.14. Знайсці формулу для і, калі і''+ 9u = е і

(А) і (0) = 3, і '(1) = 5.

(Б) і (0) - і '(0) = 3, і (1) = 5.

XV.15. Знайсці формулу для і, калі (х '(х))' = е, а і (1) = 0, і (2) = 5.

XV.16.   

(А) Пры якіх умовах на F для таго, каб у''+ 4 \ Pi ² і = F, U (0) = і (1), і '(0) = і' (1) павінна мець рашэнне.

(Б) Дайце зялёны функцыі для дадзенай задачы.

(З) Знайшоўшы функцыі Грына для задачы L (у) = у'', у (0) = у (1), у '(0) = у' (1), перапішам гэта раўнанне ў якасці неад'емнай раўнанне тыпу вывучалася ў папярэдняй чале.

XV.17. Вось лінейнага дыферэнцыяльнага аператара з краявымі ўмовамі:

L (у) (х) = (е ^х у ')' і B ₁ (у) = у (0), B ₂ (у) = у '(0).

(А) Пакажыце, што (е ^х у ')' г - у (е ^х г ')' = [е ^х (гу '- г' у)] '.

(Б) Дайце L * і У *.

(З) Дайце зялёны функцыі праблемай L (у) = е з B ₁ (у) = У ₂ (у) = 0.

(Г) Перапішыце праблемы (е ^х у ')'+ грэх (х) у (х) = F (х), у (0) = у '(0) = 0 як інтэгральнае раўнаньне ў форме

у = Да (у)+ F.

Будзьце ўпэўненыя, каб вызначыць K і F старанна.

XV.18. Разгледзім дыферэнцыяльнае раўнанне: F бесперапынная на [0, \ р] і

(Грэх (х) у '(х))'+ 2 грэх (х) у (х) = F (X)

у (0) = 0 = у (\ Pi).

() У рамках гэтага курса, тое, што адпаведныя прасторы і лінейнага аператара?

(Б) Што такое спалучаны L ў гэтай прасторы? Абгрунтуйце свой адказ.

(З) Ці з'яўляецца гэта праблемай 1 ^-й або 2 ^-й альтэрнатывы?

(Г) Калі магчыма, вырашыць гэтую праблему з F (X) = x. Калі гэта немагчыма, растлумачыць, чаму няма.