Back to site
Since 2004, our University project has become the Internet's most widespread web hosting directory. Here we like to talk a lot about web development, networking and server security. It is, after all, our expertise. To make things better we've launched this science section with the free access to educational resources and important scientific material translated to different languages.

Пошук функцый Грына для звычайных дыферэнцыяльных раўнанняў

Лінейныя метады прыкладной матэматыкі
М. Эванс Харрелл II і Джэймс В. Ірада *

* (З) Copyright 1994,1995,1996 Эванс М. Харрелл II і Джэймс В. Ірада. Усе правы абаронены.


Версія на 1 чэрвеня 1996 г.

Пошук функцый Грына для звычайных дыферэнцыяльных раўнанняў.

Пачнем з выпадку першага Фредгольма альтэрнатыва. Калі раўнанне у дадзеным выпадку, мы гарантаваныя, што яна мае адзінае рашэнне - але як яго знайсці?

Наш метад рашэння неаднароднага дыферэнцыяльнага раўнання будзе знайсці інтэгральнага аператара, які вырабляе рашэнні, задавальняе ўсіх зададзеных межавых умовах. Інтэгральны аператар мае ядро завецца Зялёны функцыі  , як правіла, пазначаецца G (т, х). Гэта памнажаецца на неаднародных тэрмін і аб'яднаных адной з зменных.

Ёсць некалькі метадаў пабудовы функцый Грына. Той, які мы прадставім першы, і падкрэсліць, гэта той, студэнты, падобна, аддаюць перавагу. Магчыма, гэта адбываецца таму, што яно лёгка запамінаецца і мае уласцівыя прастата. Іншыя метады, будуць уключаныя ў гэтыя нататкі для параўнання. Ёсць ідэі, якія іншымі метадамі выкарыстання, якія з'яўляюцца важнымі.

Як і раней, мы мяркуем пэўную форму для L дыферэнцыяльны аператар:

L (у) = ISU (р = 0, п) р (х) у  + A1 (х) у '(х)+ А0 (х) у (х).

Мы лічым, што я (х) не роўная нулю на [0,1], і што кожны член паслядоўнасці р (х), р = 0,..., п, мае па меншай меры п бесперапынных вытворных. Мы абмяркоўваем будаўніцтва Зялёны функцыі ў трох выпадках у залежнасці ад характару межавых умоў. Да асобага распараджэння, мы мяркуем, першая альтэрнатыва мае месца і будзе паўтараць гэта папярэджанне для выразнасці. Мы па-ранейшаму для абазначэння М і М * шматстатнасцяў, асацыіраваных з {L, B} і {L *, У *}, адпаведна.

У большасці нашых прыкладаў, і ў большасці прыкладанняў, дыферэнцыяльныя ўраўненні другога парадку. У канчатковым рахунку, гэта выцякае з сілу закон Ньютана, F = тая, якая з'яўляецца другой па парадку, так як паскарэнне з'яўляецца другой вытворнай.

Давайце пачнем з апісання алгарытму пабудовы G другога парадку праблемы. Мы абмяркуем, чаму гэта працуе ніжэй

Функцыя G залежыць ад двух зменных і валодае наступнымі ўласцівасцямі: калі т у (0,1), то

G (х, г), F ([[partialdiff]] (G (х,)),[[partialdiff]] існуе для 0 <х <т і т <х <1. Далей выкажам здагадку, што гэтыя вытворныя маюць бесперапыннае працяг у трохкутнай вобласці 0 <= х <= т і т <= х <= 1. Эфект гэтага пашырэння з'яўляецца тое, што

F ([[partialdiff]]

і

F ([[partialdiff]]

для р = 1,2

На мяжы мы будзем настойваць, што G (х, г) быць бесперапыннай. Для частковага G х, аднак, нам неабходна спецыяльная разрыву скакаць, як варта:

БУДАЎНІЦТВА G (X, T) для 2-га раўнанняў другога парадку Pick т у [0,1].  () L (G (., Т)) (х) = 0 для 0 <х <т і т <х <1, (б) G (., Т) належыць М (у) G (х, т) з'яўляецца бесперапыннай функцыяй.  (Г) [[partialdiff]] (G (T   = 1/a2 (т).

Вось што адбудзецца, калі Ёсць вытворных вышэйшых парадкаў:

Функцыя G павінна быць пабудавана на [0,1] х [0,1], каб валодаць наступнымі ўласцівасцямі: калі т у (0,1) і 0 < р < п, то

F ([[partialdiff]]

і

F ([[partialdiff]]

На дадзены момант, усе мы папрасілі з G з'яўляецца тое, што ён павінен мець бесперапынны н частковыя на закрытай трыкутнікаў 0 <х <т і т <х <1. Патрабаванне уздоўж мяжы будзе тое, што пры р <= п-2, у нас ёсць пераемнасць. Напрыклад, на р = 0, атрымліваецца, што G (т +, т) = G (т -, т). На самай справе, G (т +, т) = G (T, T -) = G (T, T +) = G (т -, т). І гэта адбываецца па р частковых да р = п-2. Для (п-1) -га частковае, дапускаецца разрыў першага, як прадпісана ў рэзюмэ ніжэй:

БУДАЎНІЦТВА G (X, T) для раўнанняў   () L (G (., Т)) (х) = 0 для 0 <х <т і т <х <1, (б) G (., Т) належыць М (у) пры 0 < = р <= п-2, [[partialdiff]]   (Г) [[partialdiff]]

Перш чым паказаць, што вышэй за рэцэпт сапраўды забяспечыць рашэнне N -га парадку ўраўненні, добра было б зрабіць, каб некалькі прыкладаў, пачынаючы з тыповай праблемай:

Прыклад (Першы альтэрнатыўны, пачатковых умоў): Вось праблема: пры F бесперапынная на [0,1], пабудаваць у такіх, што

у''+ 3y+ 2y = е з ў (0) = у '(0) = 0.

Давайце вызначыць важныя часткі тут.

L (у) = у''+ 3y+ 2y, В1 (у) = у (0), В2 (у) = у '(0),

і М = {ў: у (0) = у '(0) = 0}.

Мы знаходзімся ў першую альтэрнатыву, таму што для гэтага {L, В1, В2} сістэмы L (у) = 0, В1 (у) = В2 (у) = 0 мае толькі адно рашэнне і яно роўна нулю. Пабудуем G крок за крокам, з названых кірункаў.

Каб прытрымлівацца ўказанням стадыі (а) нам трэба агульнае рашэнне аднастайнага ўраўненні (у) = 0, гэта значыць, нам трэба агульнае рашэнне аднастайнага ўраўненні

у''+ 3y '2 у = 0.

Гэта не так цяжка бачыць, што лінейна незалежных вырашэння гэтага ўраўненні з'яўляюцца электронная -2x і электроннай . (У гэтым узросце, калі вы аддаеце перавагу, вы можаце знайсці гэтыя рашэнні з клёну, выкарыстоўваючы каманду dsolve ці Mathematica, выкарыстоўваючы DSolve.) Такім чынам, G задавальняе стадыі (а), калі

G (х, г) = BLC

Звярніце ўвагу, што A, B, C, D і сталыя ў х, але можа змяняцца з t. Мы chall вызначэння чатырох невядомых з бесперапыннасці і скакаць умовах.

Каб прытрымлівацца ўказанням стадыі (б), які патрабуе, што G (., Г) у М, мы павінны

G (0, т) = 0 і G х (х, г)) | х = 0 = 0

Наступствы гэтага ў тым, што

+ У = 0 і-2A - У = 0.

Гэта азначае, што = 0 і В = 0.

Каб прытрымлівацца ўказанням стадыі (з), які патрабуе, каб G (т +, т) = G (т -, т), мы павінны

(З -) е -2t+ (D - B) е = 0.

Ці, ведаючы, што A = B = 0,

Вось -2t+ Дэ = 0.

Каб выконваць указанні на стадыі (г), які патрабуе, каб

    G х | х = т+ - G х (х, г)) | х = т-= 1,

мы павінны

-2 (З -) е -2t - (D - B) е = 1.

Ведаючы, што A = B = 0,

-2Ce -2t -De = 1.

Гэта дае два раўнання, два невядомых у С і D. рашэнне

C =- е 2t і D = е т.

Пастарайцеся, каб атрымаць за сувязі з гэтым прыклад: пасля выяўлення двух лінейна незалежных рашэнняў ўраўненні другога парадку L (у) = 0, мы б ведалі, G ўмове, што мы вырашылі для A, B, C і D. Крокі бы, у, і сп даў четыре ўраўненні ў гэтых чатырох невядомых. Напісаная ў матрычнай форме,

У (ACO4 (1, 1, 0, 0, -2, -1, 0, 0, 0, 0,

Задача звялася да матрыцы раўнання! Мы вырашылі знайсці ўраўненні = 0, У = 0, з =- е 2t, і сп = е т. Канчатковы вынік:

G (х, г) = BLC {((0,

Мы ўпэўненыя, што калі F бесперапынная, то раўнаннем у = G е прадастаўляе рашэнне для L (у) = е з-за Практыкаванне 3 ўвядзення.

Непасрэдная праверка, што гэты метад дае рашэнні для ўраўненні другога парадку

Выкажам здагадку, што L (у) (х) = а2 (х) у''(х)+ a1 (х) у '(х)+ А0 (х) у (х). Дазваляць

і (х) = I (0,1,) G (X, T) F (T) Л.

Так як G (, т) належыць М, то і ў М. Застаецца заўважыць, што L (і) = f. Звярніце ўвагу, што

і (х) = I (0, х,) G (X, T) F (T) Л+ Я (х, 1,) G (х, г) е (т) Л, і '(х) =...

= I (0, х,) [[partialdiff]] (G (х,))/[[partialdiff]] х (т) Л+  Я (х, 1,) [[partialdiff]] (G (х,))/[[partialdiff]] х (т) Л.

Апошняе роўнасць справядліва ў сілу здагадкі, што G (х, х -) = G (х, х +).

Акрамя таго,

у''(х) =..  = F (X) / а2 (х)+ I (0, х,) [[partialdiff]]

Апошняе роўнасць выкарыстоўвае стан G х (х, х -)) - G х (х, х +)) = 1 / 2 (х). Нарэшце, мы выкарыстоўваем той факт, што G (х, г), а функцыяй ад х, задавальняе L (у) = 0 на [0, х] і [х, 1], каб атрымаць, што L (і) = f.


Прыклад (першы варыянт; несмешанные, два межавых ўмовы ачко):

Мы будзем будаваць Зялёны функцыю праблема

у''+ 3y+ 2y = е з ў (0) = 0 і ў (1) = 0.

Вось важныя часткі:

L (у) = у''+ 3y+ 2y, B 1 (у) = у (0), B 2 (у) = у (1),

і М = {ў: у (0) = у (1) = 0}.

Трохі працы неабходна зрабіць, каб пераканацца, што мы знаходзімся ў першым варыянце. Калі L (у) = 0, а затым Ёсць нумары і Ь, што

ў (х) = аё -2x + быць -х.

Патрабаваць, каб B 1 (у) = 0 і B 2 (у) = 0 патрабуе, каб

0 = A+ B

і 0 = аё -2+ быць -1.

Адзінае рашэнне гэтай пары раўнанняў = 0 = б, якая пацвярджае, што мы знаходзімся ў першым варыянце.

Канструкцыя для G з'яўляецца, як раней:

G (х, г) = BLC

Два межавых умоў і ўмоў бесперапыннасці прыводзяць да раўнаннях 0 = A+ B

0 = З ^ -2+ D электроннай -1

0 = (CA) е -2t+ (DB) е

1 = -2 (CA) е -2t - (DB) е .

Вядома, гэтыя ўраўненні могуць быць вырашаныя, хоць дэталі стомным. Вось ідэя лепей. Замест таго, выбіраючы е -2t і электроннай як лінейна незалежных рашэнняў ўраўненні L (у) = 0, выбраць іншую пару, якая валодае гэтымі ўласцівасцямі:

   U 1 (0) = 0, і 1 (1)> <0

   U 2 (0)> <0, і 2 (1) = 0.

(У гэтым прыкладзе, і 1 (т) = е -2t - е , а і 2 (т) = е -2 (т-1) - е - (т-1).)

Зараз, складаюць G такім чынам,

G (х, г) = BLC {((AU1 (х)+ bu2 (х) пры х <т, Cu1 (х)+ du2 (х)  для х> т))

Ужыванне межавых умоў:

0 = Bu 2 (0), адкуль вынікае, што B = 0,

і 0 = Сі 1 (1), адкуль вынікае, што З = 0.

Умовы бесперапыннасці даюць два раўнання

0 = G (T

З гэтых раўнанняў атрымаем

= І 2 (т) / 2 (т) т (т)

і D = u1 (т) / 2 (т) т (т)

дзе

W (T) = Е B (ACO2 (и1 (т), U2 (т), u1 '(т), U2 (т)))

называецца вронскиан ад і 0, а і 1.

Вось канчатковы вынік:

G (х, г) = BLC {((и2 (т) u1 (х) / а2 (т) т (т) пры х <т, u1 (т) и2 (х) / a2 (T), W (T) пры ^ <х)).

Існуе яшчэ адна важная частка інфармацыі, што вы будзеце вучыцца, ці нагадае, калі мы будзем працаваць з абедзвюх частак формулы G. Нагадаем, што

u1 (т) = е -2t - е , u2 (т) = е -2 (т-1) - е - (т-1).

І зараз, каб вылічыць W (T). Руцінную працу, што вылічэнне здаецца занадта стомнай будзе весела. Не хвалюйцеся! Паглядзіце уверх " вронскиан "некаторыя добрыя другакурснік дыферэнцыяльных раўнанняў кнігу, і вы знойдзеце зручныя формуле:

W (T) = W (0) ехр (Я (0, т,) - [a_ {N-1} (ы) / a_n (ы)] DS).

                                                                                                                 (15.1)

Звярніце ўвагу, што гэта асабліва проста, калі-1 = 0, як гэта часта бывае: вронскиан затым сталай.

Цяпер разлік просты:

W (0) = detB (ACO2 (0, е

і W (T) = (е 2 - е 1) е -3T.

Такім чынам

F (u1 (т) и2 (х), W (T)) = (Е   = Е

і

F (u1 (т) и2 (х), W (T)) = (е   = Е

Мы атрымалі больш з гэтага прыкладу, чым адказаць: мы атрымалі наступныя хуткі метад, які працуе для гэтага тыпу праблемы.

AD Hoc метад пабудовы функцый Грына для другога парадку, Першы Альтэрнатыўны, Unmixed дзве ўмовы межавай пункту

Pick U 1 і U 2 такі, што У 11) = 0, B 21)> <0, B 21) = 0, і B 12)> <0.

Затым

G (х, г) = BLC {((и2 (т) u1 (х) / а2 (т) т (т), для х <т, u1 (т) и2 (х) / а2 (т) т (т), пры £ <х)).

дзе з вронскиан ад і 1 і U 2.


Прыклад (першы варыянт, змешаныя, два межавых ўмовы ачко):

Меркаваць

L (у) = у'', B 1 (у) = у (0)+ ў (1) і B 2 (у) = у '(0)+ у' (1).

Па-першае, мы пераканаемся, што мы першыя альтэрнатыўныя B 2 мяркуючы, што

L (у) = 0 і B 1 (у) = У 2 (у) = 0.

Тады ў (х) = а+ Ьх, для канстант і b. З

у (0)+ у (1) = 0

Затым 2a+ Коммерсанта = 0.

З

у '(0)+ у' (1) = 0,

Затым 2а = 0.

Гэтыя два раўнання азначаюць, што а = б = 0. Цяпер мы пачынаем будаўніцтва Зялёны функцыі.

Выберыце 0 <* <1:

G (х, г) = BLC {((А+ ВХ, для х <т, C+ Dx пры * <х))

У нас ёсць чатыры канстанты, каб вызначыць, ажно чатыры ўраўненні:

0 = G (0, т)+ G (1, т) =+ C+ D,

0 = G х (0, т))+ G х (1, т)) = B+ D,

0 = G (T +, T) - G (т -, т) = (C -)+ (D - B) т,

1 / 2 (т) = G х+, т) - G х-, т)) = D - Б.

Рашэнне для гэтых чатырох раўнанняў = (2t - 1) / 4, У = -1 / 2,

З = - (2t+ 1) / 4 і D = 1 / 2.

Разуменне ўраўненні L (у) = дэльта (х - т).

Да цяперашняга часу вы павінны верыць, што за выключэннем арыфметычных дэталі, вы можаце працаваць любы з гэтых праблем. Мы падышлі да месца, дзе мы павінны атрымаць гэтую праблему ў перспектыве.

Мы ведаем, што патрабаванні кіраўніка XIV даць Кронекера сімвал дэльта,

\ Delta

для любога вектара V.

Такім чынам AG = Id ў кампанентах становіцца

Іса (А = 1, п, Ajk ГКМ) = DJM.

Пры спробе вырашаць дыферэнцыяльныя раўнанні, мы маглі б спадзявацца знайсці G (., Г) як рашэнне ўраўненні L (G (., Т)) = \ Delta (., Т). Некаторыя разуменні гэтага раўнання для таго, каб правая бок не з'яўляецца функцыяй у звычайным сэнсе. Як ужо адзначалася, гэта «абагульненая функцыя». Аналогіі з матрычнай задачы вельмі блізкія: дэльта-функцыя па сутнасці дае бесперапынны каардынаты адзінкавага аператара:

я (а, бы, дэльта (х) F (T)) = F (X),

для любога, бы з <х <b. Нагадаем, што інтэграл роду бесперапынную суму, так што гэта неабходна.

Мы прадстаўляем тут, а не доказ, але разуменне , што

L (G (, т).) (Х) = \ Delta (х - т).

                                                                                                                  (15.2)

Ідэі павінны быць правераныя і перагледжаны ў наступныя курсы, як тэорыя абагульненых функцый распрацаваны:

Выкажам здагадку, што

ў (х) = I (0,1,) G (X, T) F (T) Л

і, што раўнанне (15/02) мае месца. Інтуіцыя кіраўніцтва:

L (у) (х) = L (Я (0,1,) G (X, T) F (T) Л)=...= я (0,1) г (х, г) F (T) Л = F (X).

Калі б хто спытаў вырашыць раўнанне L (у) = F, дзе L з'яўляецца разумным аператар другога парадку, у кантэксце другакурснік курс дыферэнцыяльных раўнанняў, можна было б падумаць аб варыяцыі параметраў формулы. У тым, што налады, а для другога парадку з праблемамі u0, u1 лінейна незалежных рашэнняў аднастайнага ўраўненні,

ў (х) = З 0 (х) і 0 (х)+ З 1 (х) і 1 (х).

Тут,

F ([[partialdiff]] C0, [[partialdiff]] х) (х) и0 (х)+ F ([[partialdiff]] С1, [[partialdiff]] х) (х) и1 (х) = 0

і

F ([[partialdiff]] C0, [[partialdiff]] х) (х) и'0 (х)+ F ([[partialdiff]] С1, [[partialdiff]] х) (х) u'1 (х) = F (X) / а2 (х).

F ([[partialdiff]] C0, [[partialdiff]] х) (х) = F (- u1 (х) Р (х), а2 (х) (х))

F ([[partialdiff]] С1, [[partialdiff]] х) (х) = F (и0 (х) Р (х), а2 (х) (х))

Гэта кажа аб тым інтэрпрэтацыю «рашэнне» ўраўненні другога парадку:

L (G (., Т)) (х) = \ Delta (х, г).

А менавіта, G (., Г) з'яўляецца бесперапыннай функцыі, зададзенай

() G (X, T) = C 0 (х, г) і 0 (х)+ З 1 (х, г) і 1 (х)

дзе

F ([[partialdiff]] С1, [[partialdiff]] х) (х) и1 (х) = 0

і

(З) F ([[partialdiff]] C0, [[partialdiff]] х) (х) и'0 (х)+  F ([[partialdiff]] С1, [[partialdiff]] х) (х) u'1 (х) = D (X, т) / а2 (х).

Як і вышэй, размеркаванне раўнанняў павінна мець рашэнне

(Г) F ([[partialdiff]] C0, [[partialdiff]] х) (х) = F (- u1 (х) д (х, г), а2 (х) (х)); (е) F ([[partialdiff]] С1, [[partialdiff]] х) (х) = F (и0 (х) д (х, г), а2 (х) (х)).

Тэарэма. Калі для кожнага т, G (., г) у M і L (G (., т)) (х) = д (х, г), то G задавальняе чатырох раўнанняў Кіраўнік XIV.

Доказ. Мы спадзяемся, прызнаць чатырох раўнанняў, якія мы выкарыстоўвалі для вызначэння G другога парадку, што праблемы, звязаныя з вышэйпералічаным патрабаванням для G. Два з гэтых раўнанняў прыходзяць ад пытання, што G (., Г) павінна задавальняць двум раўнаннях мяжы. Яшчэ адна, G (T +, T) - G (т -, т) = 0, паходзіць ад патрабаванні, што G павінна быць бесперапыннай (, т.). Для высновы ўраўненні

G х+, т) - G х-, т) = 1 / 2 (т),

вылічым спачатку G х (х, г).

   G х (х, г) =
       = C 0, х (х, г) і 0 (х)+ З 0 (х, г) і 0 (х)+ З 1, х (х, г) і 1 (х)+ З 1 (х, г) і 1 '(х)
       = З 0 (х, г) і 0 (х)+ З 1 (х, г) і 1 '(х).

Апошняе роўнасць вынікае з (б). Каб знайсці

G х+, т) - G х-, т) = [C 0+, т)-C 0-, т)] і 0 '(т)+ [C 1+, т)-C 1-, т)] u'1 (т),

мы павінны ацаніць

[C0 (T

Такім жа чынам,

[C 1 (T +, T) - C 1-, т)] = і 0 (т) / 2 (т) т (т).

Такім чынам,

[[Partialdiff]] G (X, T) / [[partialdiff]] х | х = т+ - [[partialdiff]] G (X, T) / [[partialdiff]] х | х = т-= F (- u1 (т) и0 (т)+ и0 (т) u1 '(т), а2 (т) т (т)) = F (1, а2 (т))

Такім чынам, зваротны L дыферэнцыяльны аператар на мностве M атрымліваецца знайсці функцыю G (, т) у М, задавальняе (15,2),

L (G (., Т)) (х) = \ Delta (х).

                                                                                          Што і патрабавалася даказаць

(15.2)


Другая альтэрнатыва

Цяпер мы абмяркуем праблемы там, дзе другі альтэрнатыва мае месца. Здагадка, што існуе нетрывіяльнае рашэнне для L (у) = 0, B 1 (у) = У 2 (у) = 0. Фредгольма тэарэмы запэўніваюць нас, што калі F бесперапынная, гэта значыць рашэнне для L (у) = е, з B 1 (у) = У 2 (у) = 0 пры ўмове,

<Е, ш> = I (0,1) (х) (х) Ах = 0

для ўсіх рашэнняў ш ўраўненні L * (са) = 0, B 1 * (са) = B 2 * (ш) = 0. Як і раней, мы будзем будаваць Грына G функцыі, такія, што ў выпадку F задавальняе пералічаным вышэй патрабаванням, то

ў (х) = I (0,1,) G (X, T) F (T) Л

забяспечвае рашэнне для L (у) = f.

У гэтай другой альтэрнатывы, можа быць шмат рашэнняў для ўраўненні L (у) = f. Такім чынам, мы чакаем, што там можа быць шмат функцый Грына. У методыцы, распрацаванай ніжэй, G (, т) заўсёды знаходзіцца ў

   М = {ў: B 0 (у) = B 1 (у) = 0}.

Гэта не заўсёды дакладна для функцый Грына пабудаваны з дапамогай іншых метадаў: гл., напрыклад, будаўніцтва знойдзены Дон Джонс у той час як выпускнік навуковы супрацоўнік Georgia Tech і прыведзены ў дадатку.

Мы зноў падзяліць праблемы на тры выпадкі ў залежнасці ад характару межавых умоў. Праілюструем метадаў будаўніцтва.

Першы выпадак, каб разгледзець, калі межавыя ўмовы ўзнікаюць у пачатковыя ўмовы. Гэты выпадак не мае дачынення да пачатковая задача мае адзінае рашэнне. Такім чынам, выпадак адзін заўсёды ў першым варыянце.

Прыклад: (другі варыянт, несмешанных, дзве ўмовы межавай пункту)

Выкажам здагадку, што L (у) = у''+ у '- 2у, B 1 (у) = у (0) - у '(0), і Б 2 (у) = у (1) - у '(1). Гэта мэта гэтага прыкладу, каб паказаць, што няма функцыі G такія, што L (G (., Т)) (х) = д (х, г). Звярніце ўвагу, што L * (г) = г''-г '-2z і М * = {ў: 2г (1) = г' (1), 2г (0) = г '(0)}. Нетрывіяльныя функцыі ў nullspace з {L *, B 1 *, У 2 *} кратных электроннай 2t. Такім чынам, мы ў другой альтэрнатывай. Фредгольма тэарэмы Альтэрнатыўныя мяркуе, што не будзе функцыя G такая, што калі т у (0,1), то L размеркаванне раўнання (G (, т)) (х) = д (х, г) мае месца, калі

 Я (0,1) дэльта (х, г) е

Вядома, значэнне гэтага інтэграла не роўная нулю.

Для гэтай сітуацыі, мы павінны змяніць будаўніцтва функцыя Грына.

БУДАЎНІЦТВА G У якасці другой альтэрнатывы, п -га ПАРАДКУ

Step (1) Знайсці nullspace з {L *, М *}

Step (2) Знайсці ортонормированный базіс для гэтага nullspace. Назавем гэта аснова V 1, V 2,... V м, м < n.

Step (3) Пабудаваць такую, што Ь (р) = у р, р = 1, 2,... n.

Step (4) Пабудаваць G такія, што L (G (, т)) (х) = д (х, г) - Іса (р = 1, т,) у

Тэарэма Калі 0 <т <1, то ёсць G (., т) такая, што

L (G (, т)) (х) = д (х, г) - Іса (р = 1, т,) у

СВЕДЧАННІ доказы. Па Фредгольма тэарэмы Альтэрнатыўная, там будзе такая функцыя G пры ўмове,

0 = <д (х, г) - Іса (р = 1, п,) ур (х) р (т), W (T)> I (0,1) [д (х, г)-ISU (р = 1, п,) ур (х) р (т)] т (т) Л

для ўсіх т у nullspace з L *. У гэтым можна пераканацца, запісаўшы ш ва ўмовы гэтага ортонормированный базіс, і ацэнка скалярнага твора.
(Х) = ISU (р = 1, п,) [[альфа]] р ур (х),

Як пабудаваць G такія, што

L (. G (, т)) (х) = дэльта (х, г) - Іса (р = 1, п,) ур (х) р (т).

Па-першае, знайсці лінейна незалежных рашэнняў у р, р = 1,..., п, аднастайнага ўраўненні L (у) = 0. Затым, знайсці рашэнні і р, р = 1,..., т <п, для раўнання L (і р, р = 1,...,)(х) = у р, р = 1,..., (х). Гэта не абавязкова, што гэтыя рашэнні павінны задавальняць любыя спецыяльныя межавыя ўмовы.

Задача знаходжання G цяпер задачу знаходжання пастаянных З Р і Д р такія, што

G (х, г) = BLC {((ГИП (р = 1, п,) ср ур (х) -, Іса (р = 1, п,) Dp ур (х) -)) (ГИП (р = 1, т) р (т) да (х), калі х <т, Іса (р = 1, т) р (т) да (х), калі т <х). Сталыя З Р і Д р вызначаецца гэтымі 2n раўнанняў:

(А) У

Працяг папярэдняга прыкладу

Нагадаем, што L (у) = у''+ ў '-2у, B 1 (у) = у (0) - у '(0), і Б 2 (у) = у (1) - у '(1). Лінейна незалежныя рашэнні для L (у) = 0 з'яўляюцца электронная -2x і электроннай х. Нармаваны базіс для аднамерных nullspace з {L *, B 1 *, У 2 *} з'яўляецца альфа электроннай 2x, дзе альфа станоўчы нумар, прысвоены

 Рашэнне і для ўраўненні ў''+ ў '-2y = альфа электроннай 2x ёсць і (х) = альфа электроннай 2x / 4.

Зараз, G вызначаецца па формуле:

G (х, г) = BLC

Чатыры канстанты - A, B, C, і D - можа быць вырашана з гэтых чатырох раўнанняў:

(1) 0 = B 1 (G (, т)) = G (0, T) - G х (0, T) = 3А+ [[альфа]] 2 E т / 4

(2) 0 = B 2 (G (, т)) = G (1, т) - G х (1, т) = 3Ce -2+ 2 E 2 (1+ т) / 4,

(3) 0 = G (T +, T) - G (т -, т) = (CA) е -2t+ (DB) е т і

(4) 1 = G х+, т) - G х-, т) = -2 (CA) е -2t+ (DB) е т.

Вырашаючы гэтую сістэму з чатырох раўнанняў і чатыры невядомых, бясконцасць рашэнні будуць знойдзеныя вызначаецца гэтымі трыма раўнаннямі:

= - Альфа- 2 электроннай 2t / 12, C = АЕ 4, DB = е / 3.

                                                                                     Што і патрабавалася даказаць

Практыкаванне: Для кожнага з наступных, дайце L *, B 1 *, У 2 *, Г.

() L (у) = у''+ ў '-2у, B 1 (у) = у (0)-у '(0), B 2 (у) = у (1) - у '(1).

(Б) Л (у) = 4y''-у, У 1 (у) = у (0) - 2у '(0), B 2 (у) = у (1) - 2у '(1).

(З) L (у) = у''-2y '- 3г, B 1 (у) = 3г (0) - у '(0), B 2 (у) = 3г (1) - у '(1).

Прыклад (Другі Альтэрнатыва, змешаныя, дзве ўмовы межавай пункту.)

Выкажам здагадку, што L (у) = у'', B 1 (у) = у (0)+ ў (1), B 2 (у) = у '(0) - у' (1). Тады L * (г) = г'', B 1 * (г) = г (0) - г (1), B 2 * (г) = г '(0)+ г' (1). Усё рашэнні {L, B 1, B 2 } кратным 2х - 1. Нетрывіяльнае рашэнне [L *, B 1 *, У 2 *} з'яўляецца пастаяннай функцыяй 1. Акрамя таго, функцыя V (х) = 1 служыць асновай для нуль-прастору 0 = L * (г) у М *. Функцыя і (х) = х 2 / 2 задавальняе L (і) = 1. Такім чынам

G (х, г) = BLC {((А+ ВХ - х 2 / 2, калі х <т, C+ Dx - х 2 / 2, калi т <х))

У нас ёсць чатыры невядомых, мы маем наступныя чатыры ўраўненні:

(1) 0 = G (0, т)+ G (1, т) =+ C+ D - 1 / 2

(2) 0 = DG (X, T) / дх | х = 0 - DG (X, T) / дх | х = 1 = B - (Д-1)

(3) 0 = G (T +, T) - G (т -, т) = CA+ (DB) т

(4) 1 = DG (X, T) / дх | х = т+ - DG (X, T) / дх | х = т-= DB.

Як і чакалася, ёсць бясконцае мноства рашэнняў гэтых раўнанняў, якія можна знайсці, выбраўшы D, а затым

B = D - 1

2С = - (т+ D)+ 1 / 2

= З+ t.

                                                                                     Што і патрабавалася даказаць


Практыкаванні XV

(Агляд агульны метад або адмысловы метад пабудовы функцый Грына.) XV.1. Знайсці Зялёны функцыя такая, што калі F бесперапынная, то раўнаннем у = G е прадастаўляе рашэнне для L (у) = е, у (0) = у '(0) = 0, дзе L такі, як вызначана ніжэй. У любым выпадку, спачатку даць L * і М * і пераканацца, што першая альтэрнатыва мае месца.

() L (у) = у''(б) Л (у) = у''+ 4 \ Pi 2 у (з) L (у) = 2у''+ у '- у (г) L (у) (х) = (е х у '(х))'. (Адказы)

XV.2. (Спецыяльны метад) Выкажам здагадку, што і ёсць функцыя на [0,1], які

задавальняе L (і) = 0, і (0) = 0, і '(0) = 1/a2 (т). Хай Н (х, т) = 0, калі х <т і = і (х), калі т <х Паказаць, што Н Зялёны функцыі задача {L, B 1 (у) = у (0), B 2 (у) = у '(0)}.

XV.3. (Эквівалент інтэгральнае раўнанне) Няхай G (х, г) Зялёныя функцыі для задачы I ​​(а) вышэй. Выкажам здагадку, што б і е з'яўляюцца бесперапыннымі функцыямі. Хай А функцыі, зададзенай

г (х) = I (0,1,) G (X, T) F (T) Л

і Н (х, т) функцыі, зададзенай Н (х, т) = G (X, T) B (T) (Заўвага: Тут H з'яўляецца ня Хевисайда функцыя). Паказаць гэтыя эквівалентныя:

(А) у''(х) - Ь (х) у (х) = F (х), у (0) = у '(0) = 0, а

(Б) у (х) = I (0,1) Н (х, т) у (т) Л+ Л (х).

XV.4. Пабудаваць L *, У * і G для наступных мэтаў:

() L (у) = у'', B 1 (у) = у (0), B 2 (у) = у (1),

(Б) Л (у) = у'', B 1 (у) = у (0)+ у '(0), B 2 (у) = у (1)+ у '(1).

(З) L (у) = у'', B 1 (у) = у (0)+ у '(0), B 2 (у) = у (1) - у '(1),

(Г) Л (у) = у''+ 4 \ Pi 2 ў, У 1 (у) = у (0)+ у '(0), B 2 (у) = у (1) - у '(1).

(Е) л (у) = 2у''+ у'-у, У 1 (у) = у (0)+ у '(0), B 2 (у) = у (1) - у '(1).

(F), L (у) (х) = (е х у '(х))', B 1 (у) = у (0)+ у '(0), B 2 (у) = у (1) - у '(1).

(Адказы)

XV.5. Так што вы будзеце памятаць, чаму мы будуем Зялёны функцый, выкарыстанне вышэй выніку, каб забяспечыць рашэнне для ўраўненні ў''(х) = х 2, у (0)+ у (1) = 0, і ў '(0)+ у '(1) = 0.

XV.6. Дайце фармальны аргумент, перастановай межы і інтэгралы, таму, калі G задавальняе ўмове (15,2), то

і (х): = я (0,1, G (X, T) F (T))

вырашае

L (і) = f.

Звярніце ўвагу, што інтэграл жа, як і

XV.7. Дайце фармальны аргумент, каб паказаць, што д (х) з'яўляецца цотным функцыяй, у тым сэнсе, што г (-х) = д (х). (Выкарыстоўвайце замены пераменных.)

XV.8. Хай 1 (х, т) і G 2 (х, г)-два зялёных функцыі для дыферэнцыяльнага раўнання

у''(х) - і (х) = F (X).

Так як межавыя ўмовы не былі вызначаныя, што будзе шмат зялёных функцыя для дыферэнцыяльнага раўнання

у''(х) - і (х) = F (X), і (0) = і (1) = 0.

(А) Класіфікаваць G (х, г) як інтэгральнае ядро ​​як і ў чале XII. Гэта сепарабельных? Гэта невялікія (у любым сэнсе)?

(Б) Абмеркаваць, як можна было б вырашыць інтэгральнае раўнанне

ў (х) = я (0,1, G (х, г) у (т))+ F (X)

з метадамі Раздзел XII. У якой дыферэнцыяльнага раўнання гэта эквівалент?

XV.10. Пераканайцеся, што кожная з гэтых праблем з'яўляецца другі варыянт і знайсці L *, B 1 *, У 2 *, Г.

() L (у) = у'', B 1 (у) = у (0) - у (1), B 2 (у) = у '(0) - у' (1),

(Б) Л (у) = у''+ 9 [[пі]] 2 ў, У 1 (у) = у (0) - у (1), B 2 (у) = у '(0)+ у '(1),

(З) L (у) = у''+ у '- 2у, B 1 (у) = еу (0) - у (1), B 2 (у) = е ў '(0) - у' (1).

XV.11. Пабудаваць L *, У * і G для кожнага з наступных адзінак і з перыядычнымі межавымі ўмовамі ў (0) = у (1), у '(0) = у' (1):

() L (у) = у'',

(Б) Л (у) = у''+ \ Pi 2 у

(З) L (у) = 2у''+ у '- у,

XV.12. (Неаднародным межавымі ўмовамі)

Для рашэння раўнанняў L (у) = F, B 1 (у) = альфа-, B 2 (у) = \ бэта, спачатку пабудуем G па праблеме L (у) = F, B 1 (у) = 0, У 2 (у) = 0. Затым пабудаваць функцыі Z 1 і Z 2 такі, што У 11) = 0, B 21)! = 0, і B 12)! = 0, B 22) = 0. Рашэнне для зыходнай задачы

ў (х) = I (0,1,) G (X, T) F (T) Л+ \ betaF (г

                                                                                     Што і патрабавалася даказаць

XV.13. Знайсці формулу для і, калі і''= е і

(А) і (0) = і (1) = 0.

(Б) і (0) = і '(0) = 0.

(З) і (0) = 3, і (1) = 5,

(Г) і '(0) = 3u (0), і' (1) = 5 і (1),

(Е) і (0) = і (1), і '(0) = і' (1),

(Е) і (0) = 3, і '(0) = 5,

(Г) і '(0) = 3, і (0) = 5,

(А) і (0) = 0, I (0,1) і (х) Ах = 0.

(адказы)

XV.14. Знайсці формулу для і, калі і''+ 9u = е і

(А) і (0) = 3, і '(1) = 5.

(Б) і (0) - і '(0) = 3, і (1) = 5.

XV.15. Знайсці формулу для і, калі (х '(х))' = е, а і (1) = 0, і (2) = 5.

XV.16.   

(А) Пры якіх умовах на F для таго, каб у''+ 4 \ Pi 2 і = F, U (0) = і (1), і '(0) = і' (1) павінна мець рашэнне.

(Б) Дайце зялёны функцыі для дадзенай задачы.

(З) Знайшоўшы функцыі Грына для задачы L (у) = у'', у (0) = у (1), у '(0) = у' (1), перапішам гэта раўнанне ў якасці неад'емнай раўнанне тыпу вывучалася ў папярэдняй чале.

XV.17. Вось лінейнага дыферэнцыяльнага аператара з краявымі ўмовамі:

L (у) (х) = (е х у ')' і B 1 (у) = у (0), B 2 (у) = у '(0).

(А) Пакажыце, што (е х у ')' г - у (е х г ')' = [е х (гу '- г' у)] '.

(Б) Дайце L * і У *.

(З) Дайце зялёны функцыі праблемай L (у) = е з B 1 (у) = У 2 (у) = 0.

(Г) Перапішыце праблемы (е х у ')'+ грэх (х) у (х) = F (х), у (0) = у '(0) = 0 як інтэгральнае раўнаньне ў форме

у = Да (у)+ F.

Будзьце ўпэўненыя, каб вызначыць K і F старанна.

XV.18. Разгледзім дыферэнцыяльнае раўнанне: F бесперапынная на [0, \ р] і

(Грэх (х) у '(х))'+ 2 грэх (х) у (х) = F (X)

у (0) = 0 = у (\ Pi).

() У рамках гэтага курса, тое, што адпаведныя прасторы і лінейнага аператара?

(Б) Што такое спалучаны L ў гэтай прасторы? Абгрунтуйце свой адказ.

(З) Ці з'яўляецца гэта праблемай 1 або 2 альтэрнатывы?

(Г) Калі магчыма, вырашыць гэтую праблему з F (X) = x. Калі гэта немагчыма, растлумачыць, чаму няма.

Published (Last edited): 05-07-2011 , source: http://www.mathphysics.com/pde/green/g15.html