Dovada de Contradicţia
Iată câteva exemple mai mult.
Primes Infinit Multe
Una dintre primele dovezi de contradicţie este bijuterie următoarele atribuite Euclid.Teorema. Există numere infinit de multe prime.
Dovada presupunem contrare că există doar numere număr finit de prim, şi toate dintre ele sunt enumerate după cum urmează: P 1, P 2..., p n. Luaţi în considerare numărul q = p 1 p 2... p n + 1.? Numărul q este fie prim sau compozit. Dacă ne-am impartit la oricare dintre enumerate numerelor prime p i în q, nu ar rezulta un rest de 1 pentru fiecare i = 1, 2,..., n. Astfel, q nu pot fi compuse. Putem concluziona că q este un număr prim, nu printre numere prime enumerate mai sus, în contradicţie cu presupunerea noastră că toate numerele prime sunt în lista de p 1, p 2..., p n.
Dovada de contradicţie este adesea folosit atunci când doriţi să dovedească imposibilitatea de ceva. Vă asumaţi este posibil, şi să ajungă apoi o contradicţie. In exemplele de mai jos le folosim această idee pentru a demonstra imposibilitatea de anumite tipuri de soluţii ale unor ecuaţii.
Exemplu: o ecuaţie Diophantine
O ecuaţie Diophantine este o ecuaţie pentru care caută soluţii întregi. De exemplu, aşa-numitele triplete pitagoreice (x, y, z) sunt solutii pozitive întregi ale ecuaţiei x 2 + y 2 = z 2. Aici este o altă.Teorema. Nu există soluţii pozitive integer, pentru a ecuaţiei diophantine x 2 - y 2 = 1.
Demonstratie. (Demonstratie de contradicţie.) Să presupunem contrare că există o soluţie (x, y), unde x şi y sunt numere întregi pozitive. Dacă acesta este cazul, putem factor partea stângă: x 2 - y 2 = (xy) (x + y) = 1. Deoarece x si y sunt numere întregi, rezultă că, fie xy = 1 si x + y = 1 sau xy = -1 si x + y = -1. În primul caz, putem adăuga două ecuaţii pentru a obţine x = 1 si y = 0, contrazice ipoteza noastră că x şi y sunt pozitive. Al doilea caz este similar, obtinerea x = -1 si y = 0, în contradicţie din nou ipoteza noastră.
Exemplu: Radacini Rational
Există o formulă pentru rezolvarea ecuaţiei generale toporul cubi 3 + b 2 cx + d = 0, care este mult mai complicat decât ecuaţia qaudratic. Dar în acest exemplu, dorim să dovedească nu există nici o rădăcină raţională într-o ecuaţie cubi special fără a trebui să se uite la formula generală cubi.Teorema. Nu există soluţii raţionale la numărul ecuaţiei x 3 + x + 1 = 0.
Demonstratie. (Demonstratie de contradicţie.) Să presupunem contrare există un număr raţional p / q, în formă redusă, cu p nu este egal cu zero, care satisface ecuaţia. Apoi, ne-am p 3 / q 3 + p / q + 1 = 0. După înmulţirea fiecare parte a ecuaţiei de q 3, obţinem ecuaţia
Există trei cazuri să ia în considerare. (1) Dacă p şi q sunt ambele impare, apoi în partea stângă a ecuaţiei de mai sus este impar. Dar zero, nu este ciudat, care ne lasă cu o contradicţie. (2) În cazul în care p este chiar şi q este impar, atunci partea stângă este impar, din nou, o contradicţie. (3) Dacă p este impar şi q este chiar, ajungem la aceeaşi contradicţie. Al patrulea caz - chiar p şi q, chiar - nu este posssible pentru că am presupus că p / q este în formă redusă. Astfel se încheie dovada.
Converse de o teoremă
Converse a "Dacă P, atunci Q" este afirmaţia "Dacă Q, atunci P". De exemplu, a conversa "Dacă aceasta este masina mea, e roşu" este "Daca masina este de culoare roşie, apoi ei a mea." Ar trebui să fie clar de la acest exemplu că nu există nicio garanţie că conversa unui stement adevărat este adevărat.Dovada de contradicţie este adesea modul cel mai natural de a demonstra o teoremă a conversa deja s-au dovedit.
Converse a teorema lui Pitagora
Teorema lui Pitagora ne spune că într-un triunghi dreptunghic, există o relaţie simplă între două lungimi de picior (a şi b) şi lungimea ipotenuzei, c, a unui triunghi dreptunghic: a 2 + b 2 = c 2. Poate nu ştiţi că reciproca este valabila.Converse a Teorema Pythagporean. În cazul în care (diferită de zero), trei lungimi adverse ale unui triunghi - a, b, şi c - să îndeplinească o relaţie 2 + b 2 = c 2, atunci triunghiul este un triunghi dreptunghic. (Presupunem că teorema lui Pitagora a fost deja dovedit.)
Demonstratie. (Demonstratie de contradicţie.) Să presupunem triunghi nu este un triunghi dreptunghic. Eticheta nodurile A, B, şi C cu capac. (Există două posibilităţi pentru a măsura unghiului C: mai puţin de 90 de grade (poza din stânga) sau mai mare de 90 de grade (poza dreapta).)
Ridica un segment de linie perpendiculară pe CD-ul ca imaginea de mai jos.
Prin teorema lui Pitagora, BD 2 = a 2 + b 2 = c 2, şi aşa mai departe BD = c. Astfel, ne-am triunghiuri isoscele DCA şi ABD. Rezultă că avem unghiuri congruente CDA = CAD şi BDA = DAB. Dar acest lucru contrazice inegalităţilor în materie de aparente (a se vedea imaginea) BDA <CDA = CAD <DAB (imaginea din stânga) sau DAB <CAD = CDA <BDA (imagine dreapta).
Exerciţii
Utilizarea metodei de Dovada de Contradicţia pentru a dovedi fiecare dintre următoarele.- Rădăcină cub de 2 este iraţională.
- Nu există soluţii pozitive integer, pentru a ecuaţiei diophantine x 2 - y 2 = 10.
- Nu există nici o soluţie număr raţional pentru a ecuaţiei x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + 1 = 0.
- Dacă a este un număr raţional şi b este un număr iraţional, apoi a, b + este un număr iraţional.
Înainte ==> Dovada de Contrapositive
<== Inapoi la Dovezi directe
Useful Info