BAZELE DE Teoria alegerii SOCIALE
Rezumat . Această lucrare oferă o scurtă introducere la unele din rezultatele fundamentale ale teoriei alegerii sociale. Topices includ: Nash îndeplinire şi teorema Muller-Satterthwaite imposibilitatea, anonim şi neutru corespondenţe sociale alegere, doua-parte de concurenţă în turnee, agende binare şi ciclul de top, şi teoreme median electorale. Lucrarea începe cu un exemplu simplu pentru a ilustra importanţa echilibre multiple în joc-teoretic modele de instituţii politice.
1.1 Un model introductivă a instituţiilor politice
Modele matematice în ştiinţele sociale sunt ca fabule sau mituri pe care le citesc pentru a obţine perspective în lumea socială în care trăim. Modelele noastre matematice se spune într-un limbaj tehnic de specialitate, care permite descrieri foarte precise de motivaţiile şi opţiunile de a diferitelor persoane în aceste poveşti. Când ne-am dovedi teoreme matematice în ştiinţele sociale, pe care le facem afirmaţii generale despre clase întregi de astfel de povesti dintr-o dată. Aici ne vom concentra pe joc-teoretice modele de instituţii politice.
Aşa că haideţi să ne începem studiul nostru a instituţiilor politice printr-un simplu joc de-teoretic model care spune o poveste de modul în care instituţiile politice pot apărea. Luaţi în considerare mai întâi simple de doua persoană "Bătălia sexelor", joc prezentate în tabelul 1.1.
Player 2
Jucătorul 1 f 0,0 3,6
gi 6,3 0,0
Tabelul 1.1. Bătălia sexelor a jocului.
Cei doi jucatori in acest joc, care poate fi numit jucatorul 1 si 2 jucatori, trebuie să aleagă independent una din cele două strategii posibile: de a amâna (FJ) sau pentru a apuca (GJ). În cazul în care jucătorii ambelor apuca să amâne sau ambele, atunci nici un jucător devine nimic, dar dacă un jucător exact apucă atunci el
primeste 6 răsplata în timp ce jucătorul devine deferent câştig 3.
Acest joc are trei echilibre. Există un echilibru în care jucătorul o bătaie în timp ce jucatorul 2 amână, oferind recompense (6,3). Există un alt echilibru, în care jucătorul o amână în timp ce jucatorul 2 graifere, oferindu-payoffs (3,6). Există, de asemenea, un echilibru simetric randomizat, în care fiecare jucător independent randomizes între hapsân, cu o probabilitate 2 / 3, şi de amânare, cu probabilitatea 1 / 3. În acest echilibru randomizat, payoffs aşteptate sunt (2,2), ceea ce este mai rău pentru ambii jucători decât oricare dintre echilibrelor nonsymmetric.
Acum gândiţi-vă de o insula cu o populaţie mare de indivizi. În fiecare dimineaţă, aceste insulari adune în centrul insulei lor, pentru a vorbi şi de ceas The Sun Rise. Apoi împrăştia insulari pentru a doua zi. În timpul zilei, locuitorii insulei sunt potrivite aleatoriu în perechi care se întâlnesc la puncte aleatorii în jurul insulei, şi fiecare dintre aceste perechi potrivite joacă Bătălia sexelor joc simplu de o singură dată. Acest proces se repetă în fiecare zi. Obiectivul fiecărui jucător este de a maximiza o medie longrun reduse a lui (sau ei) secvenţă de payoffs din aceste Bătălia de zi cu zi a meciurilor de sexelor.
Un echilibru pe termen lung al acestui proces este pentru toată lumea să joace echilibru simetric randomizaţi în său meci în fiecare zi. Dar, ridicandu-se la această anarhie primitiv, jucătorii ar putea dezvolta aşteptările culturale care rupe simetria dintre jucatori potrivite, astfel încât acestea vor împărtăşi o înţelegere de care ar trebui să apuca şi cine ar trebui să amâne.
O posibilitate este ca insularii s-ar putea dezvolta o înţelegere pe care fiecare jucător are o specială "dreptul de proprietate" relaţia cu unele regiune a insulei, astfel încât un jucător este de aşteptat să apuca ori de câte ori el este în regiunea pe care le deţine. Observaţi că acest sistem de drepturi de proprietate este un echilibru de sine aplicarea, pentru că celălalt jucător are mai bine de amânarea (mai degrabă decât obţinerea 3 0) atunci când se aşteaptă ca "proprietar" a apuca, şi aşa ar trebui să proprietarului, apuca, într-adevăr încredere.
Dar un astfel de sistem de drepturile tradiţionale hapsân s-ar putea să nu acopere numeroase situaţii potrivite în cazul în care nimeni nu are clar "dreptul de proprietate." Pentru a evita costisitoare echilibru simetric, în astfel de cazuri, alte moduri de a rupe simetrie de jucători sunt necesare. Un sistem de conducere pot fi folosite pentru a rezolva această problemă.
Aceasta este, insularii s-ar putea numi una din populaţia lor de a servi ca un lider, care va anunţa în fiecare dimineaţă, un set de instrucţiuni care specifică care unul dintre cei doi jucători ar trebui să
Apuca în fiecare din meciurile de zi cu zi. Atâta timp cât instrucţiunile de lider sunt clare şi complete, înţelegându-se că fiecare jucător va asculta aceste instrucţiuni este un echilibru de sine de executare. Un jucător care a apucat atunci când a fost instruit de a amâna ar reduce numai răsplata lui de aşteptat 3 - 0, dat fiind faptul că alt jucător este de aşteptat să urmeze instrucţiuni său pentru a apuca aici.
Pentru a face acest sistem de lucru guvernamentale de pe insula noastră, insularii nevoie doar de o înţelegere comună cu privire la cine este liderul. Liderul ar putea fi cel mai mare printre insulari, sau cel mai inalt, sau cel cu cel mai puternic vocea. Sau insularii ar putea determina pe liderul lor de către unii concurs, cum ar fi un turneu de şah, sau printr-o alegerea anuală în cadrul căreia toate vot insulari. Orice metodă de selecţie care insularii să înţeleagă poate fi utilizat, deoarece toată lumea vrea să asculte instrucţiunile liderului selectat atâta timp cât toţi ceilalţi se aşteaptă să-l asculte. Astfel, auto-aplicarea normelor pentru un sistem politic poate fi construite arbitrar de problema echilibrului de selecţie în acest joc.
Insularii ar putea impune limite la autoritate un lider în acest sistem politic. De exemplu, ar putea fi un lider al cărui instrucţiuni sunt respectate pe jumătatea de nord a insulei, şi un alt lider al cărui instrucţiuni sunt respectate pe jumatatea sudica. Insularii ar putea avea chiar modalitati de a elimina un lider, cum ar fi atunci când el pierde unele concurs re-electorale sau în cazul în care le emite instrucţiuni care încalcă anumite limite percepute. Dacă un fost lider încearcă să facă un anunţ în domeniul său de fosta autoritate, fiecare jucător ar fi de aşteptat să ignore acest anunt ca vorbesc ieftine irelevant.
Desigur, lumea reala este foarte diferit de insula simple a acestui fabulei. Dar, aşa cum în această insulă, jocuri de coordonare cu echilibre multiple sunt omniprezente în orice societate reală. Astfel, orice societate de succes trebuie să dezvolte structurile de conducere, care poate coordona aşteptările oamenilor în situaţii de echilibre multiple. Deci, primul punct al acestei fabule este nevoia socială de bază pentru conducere şi pentru instituţiile politice care îl pot oferi.
Al doilea punct al acestei fabule este că eficienţa oricărei instituţii politice pot fi obţinute pur şi simplu dintr-o înţelegere comună că este în vigoare, astfel cum Hardin (1989) a argumentat. Astfel, orice sistem politic poate fi unul dintre echilibre posibile multe de un joc de coordonare mai fundamental de selecţie constituţionale. Acesta este, procesul de selectare a unei constituţii poate fi privit ca o problemă de echilibru de selecţie, dar este problema echilibrului de selectare pentru a rezolva toate celelalte probleme de echilibru-selecţie.
Arbitrar al structurilor politice din această perspectivă de joc teoretic validează noastre tratându-le ca parametri exogeni explicative în economie politică. O întrebare ar putea fi reprezentate, de exemplu, ca să fie o formă de democraţie ar putea genera bunăstare economică mai mare decât alte forme de guvernare. O astfel de întrebare ar fi untestable sau chiar lipsite de sens în cazul în care forma de guvernământ au fost în sine determinată de nivelul de bunăstare economică. Dar fabula noastră sugerează că această condiţie esenţială necesară pentru democraţie nu este bogăţia sau educaţia, ci este pur şi simplu o înţelegere comună că democraţia va funcţiona în această societate (astfel încât un ofiţer care valuri pistolul în camera legislativă ar trebui să fie percepută ca un nebun în au nevoie de tratament psihiatric, nu ca noul lider al ţării).
1.2 O teoremă imposibilitatea generală de
Există o diversitate enormă de instituţii politice democratice, care ar putea exista. Teoria alegerii sociale este o ramură a ştiinţei sociale matematice care încearcă să facă declaraţii generale cu privire la toate aceste instituţii. Având în vedere diversitatea instituţiilor potenţial, puterea de a teoriei alegerii sociale poate fi destul de limitat, şi într-adevăr, rezultatele sale cele mai faimoase sunt teoreme negativ imposibilitate. Dar este bine să înceapă cu perspectiva generală a teoriei alegerii sociale şi a vedea ce se poate spune la acest nivel. Mai târziu, ne putem întoarce la teoria politică formală, în cazul în care ne vom concentra pe modelele inguste care ne permit să spunem mai multe despre anumite tipuri de instituţii politice care există în lumea reală.
Teoriei moderne alegere socială începe cu teorema mare de Arrow (1951). Această teoremă a dus la multe teoreme imposibilitatea, în special cu teorema de Gibbard (1973) şi Satterthwaite (1975). (A se vedea, de asemenea, Sen, 1970.) În această secţiune, ne concentrăm pe teorema de Muller şi Satterthwaite (1977), deoarece aceasta este teorema imposibilităţii care se aplică în mod direct la punerea în aplicare Nash de echilibru. Teorema Muller-Satterthwaite a fost prima dovedit a fi o consecinţă a Gibbard-Satterthwaite şi teoremele Arrow, dar l-am dovedi aici în mod direct,
Moulin următorul text (1988).
Fie N denota un anumit set de alegători individuale, apoi permiteţi-Y denota un anumit set de alternative
sau sociale cu variante de opţiuni, printre care alegătorii trebuie să selectaţi una. Noi presupunem că N şi Y sunt ambele seturi finite nevide. Fie L (Y) indica un set de orderings stricte tranzitive a alternativelor în Y. Având în vedere că există doar finit multe alternative, putem reprezenta preferinţa orice individ prin care se dispune în L (Y) de către o funcţie de utilitate U j astfel ca u j ( x) este numărul de alternative care consideră că i individuale care urmează să fie strict mai rău decât x. Deci, cu preferinţe stricte, L (Y), pot fi identificate cu set de unu-la-unu funcţii de la Y la setul {0,1 ,...,# Y-1}. (Aici # Y reprezintă numărul de alternative în Y. set)
Am lăsat L (Y) N denota set de profile de orderings astfel de preferinţă, unul pentru fiecare alegător în parte. Am indica un astfel de profil de preferinţă de către un profil de utilitate funcţii U = (u j) şi anume N, în cazul în care fiecare u j este în L (Y). Deci, dacă profilul alegătorilor "preferinţă este u, atunci inegalitatea u j (x)> u j (y) înseamnă că alegătorul i preferă x alternative peste alternative de y. Ipoteza de preferinţe stricte implică faptul că fie u j (x)> u j (y) sau u j (y)> u j (x) trebuie să deţină în cazul în care x = y.
Un sistem politic creează un joc care este jucat de către alegători, cu rezultate în setul de alternative Y. alegătorii vor juca acest joc intr-un mod care depinde de preferinţele lor individuale peste Y, şi aşa mai departe rezultatul realizat poate fi o funcţie de profilul de preferinţă în L (Y) N . Din perspectiva abstractă a teoriei alegerii sociale, o instituţie ar putea fi reprezentată de aplicaţia specifică faptul că aceste rezultate prezis în funcţie de preferinţele alegătorilor ". Deci, o funcţie de alegere socială este orice funcţie F: L (Y) N 6 y, unde F (u) poate fi interpretat ca alternativă Y, care ar fi ales (în conformitate cu un aranjament instituţional dat) în cazul în preferinţele alegătorilor au fost la fel ca în u.
Dacă există echilibre multiple în jocul nostru politic, atunci am putea avea pentru a vorbi în schimb despre un set de rezultate posibile echilibru. Deci, o corespondenţă alegere socială este orice G punct-la-set de cartografiere: L (Y) N 6 6 y. Aici, pentru orice profil de preferinţă U, G (u) este un subset de Y, care poate fi interpretată ca un set de alternative în Y care ar putea fi ales de către societate (în conformitate cu un aranjament instituţional) în cazul în preferinţele alegătorilor au fost la fel ca în U.
O sociale functia F alegerea este monotonă ddacă, pentru fiecare pereche de preferinţă profile U şi V în L (Y) N , şi pentru orice x alternativă Y, dacă x = F (u) şi
{Y Eu v (y)> v (x)} f {y | u (y)> U (x)}, V i e N, atunci x = F (v). În mod similar, un social G corespondenţă alegerea este monotone ddacă, pentru fiecare u şi v în
L (Y) N , şi pentru orice x din Y, dacă x e G (u) şi
(1) {y I v (y)> v (x)} f {y | u j (y)> U (x)}, V i e N,
atunci x e G (v).
Maskin (1985) a arătat că orice corespondenţă alegere sociale pe care este construit ca un set de rezultate echilibru Nash unui formular de joc fixe trebuie să fie monotone, în acest sens. Un formular de joc este o funcţie de forma H: Xj 0 n S ^ Y, în cazul în care fiecare S j este o strategie nevid stabilite pentru i. Rezultatele pur Nash de echilibru a formularului H joc cu preferinţe u este setat
E (H, u) = {H (s) | s e x adică N S j, i, V i e N, V, R j e S j, U i (H (s)) $ U I (H (e . i , r i ))}. Asta este, x este un rezultat echilibru Nash în E (H, u) dacă şi numai dacă există un profil de strategii S astfel încât x = H (e) şi nici un individ nu am putut obţine un rezultat de H că ar prefera strict în conformitate cu preferinţele u j în mod unilateral de către s se abat de la j la o altă strategie r J. Stare (1) de mai sus spune că setul de rezultate, care sunt strict mai bine decât x pentru orice jucător este aceeaşi sau mai mică atunci când modificaţi preferinţele de la u la v, şi aşa mai departe x = H (e) trebuie să fie în continuare un rezultat echilibru în temeiul v. Deci, dacă x e E (H, u) şi profilurile de preferinţă u şi v satisface condiţia (1) pentru x, atunci trebuie să avem x e E (H, v). Astfel, pentru orice formă H joc, sociale E corespondenţa alegere (H, ») este monoton.
Având în vedere orice socială F-alegere funcţie: L (Y) N 6 y, permiteţi-F (L (Y) N ) a indica intervalul funcţiei F. Asta este,
F (L (Y), N ) = {F (u) | U e L (Y) N }. Deci, # F (L (Y) N ) reprezintă numărul de elemente de alternative care ar fi ales de către F sub mai multe date preferinţă cel puţin unul. Teorema Muller-Satterthwaite afirmă că orice functie monotona alegere socială care are trei sau mai multe rezultate în gama sa trebuie să fie dictatoriale.
Teorema 1.1 . (Muller şi Satterthwaite, 1977.) În cazul în care F: L (Y) N 6 y este o funcţie monoton alegere socială şi # F (L (Y) N )> 2, atunci trebuie să existe unele h dictator în N, astfel încât F ( u) = argmax x e F (L (y) N ) la X ^ V, U e L (Y) N .
Dovada . Să presupunem că F este o funcţie monoton alegere socială. Fie X indica gama de F, X = F (L (Y) N ).
Am stat şi dovedească acum patru fapte de bază despre F, după cum leme.
Lema 1 . Dacă F (u) = x, x = y, şi
{I | uj (x)> uj (y)} f {i | vj (x)> vj (y)}
atunci y = F (v).
Dovada Lemei 1 . Să presupunem că F, x, y, u, şi v satisface ipotezele lemei, dar y = F (v), spre deosebire de lema. Fie U derivate din u, prin mutarea x şi y până la partea de sus a preferintelor fiecarui individ, păstrarea preferinţa individului între x şi y neschimbate. V provin din v în acelaşi mod. De monotonie, trebuie să avem x = F (u) şi y = F (v). Dar includerea asumate în lema implică faptul că monotonie pot fi aplicate pentru u şi v, cu concluzia că F (v) = F (u) = x. Dar x = y, şi această contradicţie se dovedeşte Lema 1. QED
Lema 2 . F (v) nu poate fi nici o alternativă y, care este Pareto-dominat, în conformitate cu acest profil v preferinţă, de către orice x altă alternativă, care este în X.
Dovada Lema 2 . Lema 2 rezultă direct din Lema 1, atunci când vom lăsa u fi orice profil de preferinţă, astfel încât x = F (u). Dominaţia Pareto dă includerea necesare în Lema 2, deoarece {i | vj (x)> vj (y)} este multimea tuturor alegătorilor NQED
În urma Arrow (1951), permiteţi-ne spun că un set de alegători T este decisiv pentru o pereche ordonate de alternative distincte (x, y), în XXX în cadrul sociale alegerea funcţiei F ddacă există unele mai multe date u preferinţă, astfel încât
F (u) = x şi T = {i | uj (x)> uj (y)}. Asta este, T este decisiv pentru (x, y) ddacă x poate fi ales de către F atunci când persoanele în T toate prefera x y peste toţi ceilalţi, dar preferă y peste x. Lema 1 afirmă că, dacă T este decisivă pentru (x, y), atunci y nu este ales de către F atunci când toată lumea preferă în T x pe y.
Lema 3 . Să presupunem că X #> 2. În cazul în care T este setat decisiv pentru unele pereche de alternative distincte în X XX, atunci T este decisivă pentru fiecare astfel de pereche.
Dovada Lema 3 . Să presupunem că T este decisiv pentru (x, y), unde x e X, Y e X, si x = y. Alegeţi orice altă alternativă, astfel încât z z e X si x = z = y. Să considerăm un v profil de preferinţă, astfel încât vj (z)> vj (x)> vj (y), V i e T,
VJ (y)> vj (z)> vj (x), V j e N \ T, şi v-a toata lumea prefera x, y, z şi peste toate celelalte alternative. Prin Lema 2, F (v) trebuie să fie în {y, z}, pentru că x şi toate celelalte alternative sunt dominate Pareto (prin z). Dar F (v) nu poate fi y, de Lema 1 şi de faptul că T este decisiv pentru (x, y). Deci, F (v) = z, şi T = {i | vj (z)> vj (y)}. Deci, T este de asemenea determinantă pentru (z, y).
Acum, în loc să ia în considerare o preferinţă mai multe date w astfel încât
w i (x)> w i (y)> w i (z), V i e T,
WJ (y)> wj (z)> wj (x), V j e N \ T, şi w are toata lumea prefera x, y, z şi peste toate celelalte alternative. Prin Lema 2, F (w) trebuie să fie în {x, y}, pentru că Z şi toate celelalte alternative sunt dominate Pareto (de y). Dar F (g) nu poate fi y, de Lema 1 şi de faptul că T este decisiv pentru (x, y). Deci, F (w) = x, şi T = {i | wj (x)> wj (z)}. Deci, T este de asemenea determinantă pentru (x, z).
Deci, hotărâre pentru (x, y) implica decisiv pentru (x, z) şi hotărârea pentru (z, y). Din situaţia generală a lemei 3 poate fi derivat direct din cererile repetate de acest fapt.
QED
Pentru a completa dovada a teoremei Muller-Satterthwaite, permiteţi-T să fie un set de dimensiuni minime între toate seturile care sunt decisive pentru perechi de alternative distincte în Lema X. 2 ne spune că T nu poate fi setat gol, deci T = 0 # .
Să presupunem că # T> 1. Selectaţi un h individuale în T, şi selectaţi alternative x, y, şi z în X, apoi permiteţi-U este un profil de preferinţă, astfel încât
U h (x) > U h (y) >
UJ (z)> uj (x)> uj (y), V i e T \ {h},
UJ (y)> uj (z)> uj (x), V j e N \ T, şi toată lumea preferă x, y, z şi peste toate celelalte alternative. Hotărâre de T implică faptul că F (u) = y. Dacă F (u) au fost apoi {x h} ar fi decisiv pentru (x, z), ceea ce ar contrazice minimality de T. Dacă F (u) au fost apoi T z \ h {} ar fi decisiv pentru (z, y) , ceea ce ar contrazice, de asemenea, minimality de T. Dar lemei 2 presupune F (u ) e {x, y, z}. Această contradicţie implică faptul că trebuie să fie egală # T 1.
Deci, există unele h individuale, astfel încât {h} este un set decisiv pentru toate perechile de alternative. Asta este, pentru orice pereche (x, y) de alternative distincte în X, există o preferinţă u profil, astfel încât
F (u) = {x şi h} = {i | uj (x)> uj (y)}. Dar, apoi, Lema 1 implică faptul că F (v) = y ori de câte ori VH (x)> v h (y). Astfel, F (v) nu poate fi nici o alternativă în X, altul decât cel care este cel mai preferat de către persoana fizică h. Acest lucru dovedeşte teorema Muller-Satterthwaite. QED
Această teoremă ne spune că singura modalitate de a proiecta un joc care are întotdeauna un echilibru Nash unic este de a oferi un individ toată puterea, sau de a restricţiona rezultatele posibile la doi. De fapt, multe instituţii ale guvernului se potrivesc de fapt, una dintre aceste două categorii. Procesul decizional în ramura executivă este adesea făcută de un singur factor de decizie, care poate fi presedinte sau ministru, cu responsabilitatea pentru un domeniu dat de alternative sociale. Pe de altă parte, atunci când un vot este numit într-o adunare legislativă, există, de obicei, doar două rezultate posibile: pentru a aproba sau a respinge unele propuneri specifice, care se află pe podea. (Desigur, votul curent poate fi doar o etapă într-o agendă mai mult, ca atunci când Adunarea consideră o propunere de modificare o altă propunere, care este programată a fi examinată ulterior Noi considerăm drept de vot secvenţiale în secţiunile 1.4 şi 1.5.. Moore şi Repullo, 1988, au arătat că, în general, mai multe mai multe funcţii sociale alegere pot fi puse în aplicare de către subgame-f. echilibre în forme joc mai multe trepte.)
Dar teorema Muller-Satterthwaite, de asemenea, ne lasă o altă cale de ieşire. Ipoteza crucial în teorema Muller-Satterthwaite este că F este o funcţie socială, nu alegere, o corespondenţă multi alegere sociale. Dropping această ipoteză înseamnă doar a recunoaşte că procesele politice ar putea fi jocuri, care au, uneori, echilibre multiple. Aşa cum Schelling (1960) a subliniat, atunci când un joc a echilibre multiple, deciziile luate de către jucătorii raţională poate depinde de cultura şi istoria (prin efectul de focal-point), cât şi de preferinţele individuale. Deci, putem folosi proceduri sociale alegere, care ia în considerare mai mult de două rezultate posibile la un moment dat şi care nu sunt dictatoriale, dar numai dacă vom permite ca aceste proceduri ar putea avea, uneori, echilibre multiple, care lasă un rol decisiv pentru tradiţiile culturale şi de alţi factori care ar putea influenţa alegătorilor "aşteptările colective.
1.3 Anonimatul şi neutralitatea
Având o dictatură ca o funcţie de alegere socială este îngrijorător pentru noi, deoarece aceasta este în mod evident incorect faţă de alte persoane. Dar nondictatorship este numai cerinţa cea mai slabă de capitaluri proprii. In teoria democraţiei, ar trebui să aspire la forme mult mai mare de capital în afară de
nondictatorship. O condiţie de capitaluri proprii naturale este faptul că o funcţie socială alegere sau corespondenţă ar trebui să trateze toţi alegătorii în acelaşi mod. În teoria alegerii sociale, tratament simetric al alegătorilor se numeşte anonimatul .
O permutare pentru orice set este o funcţie de unu-la-unu din acel set pe ea însăşi. Pentru orice u mai multe date preferinţă în L (Y), N , precum şi orice b permutare: N ^ N set de alegători, să u »B să fie profilul de preferinţă provenite de la u prin atribuirea individuale i preferinţele individuale în cadrul profil U; care este
(U * B) i (x) = U B (i) (x).
O funcţie alegere socială (sau a corespondenţei) F este declarat a fi anonim ddacă, pentru fiecare permutare b: N 6 şi N pentru fiecare preferinta u mai multe date în L (Y) N , F (u »b) = F (u).
Asta este, anonimatul înseamnă că Corespondenta alegerea social nu cere anumite persoane, care au fiecare dorinţă a comanda, astfel ca schimbarea numele persoanelor fizice cu fiecare comanda preferinţă nu s-ar schimba rezultatul ales. Anonimatul, evident, implică faptul că nu poate exista nici un dictator dacă # N> 1.
Există un alt fel de simetrie pe care le-ar putea cere o funcţie de alegere socială sau corespondenţă: că aceasta ar trebui să trateze diferitele alternative într-o manieră neutră sau nepărtinitoare. În teoria alegerii sociale, tratament simetric al diferitele alternative se numeşte neutralitatea . (O părtinire în favoarea status quo-ului este cea mai comuna forma de nonneutrality.)
Având în vedere orice p permutare: Y 6 y set de alternative, pentru orice profil de preferinţă u, permiteţi-u · P să fie profilul de preferinţă astfel încât clasamentul fiecărui individ de alternative x şi y este acelaşi ca clasamentul său de alternative p (x) şi p (y) în conformitate cu u. Asta este, (u · P) j (x) = uj (p (x)).
Apoi ne-am spune că F o funcţie socială alegere sau corespondenţă este neutră ddacă, pentru fiecare profil u preferinţă şi la fiecare permutare p: D 6 y pe set de alternative, p (F (u · P)) = F (u).
(Atunci când F este o corespondenta, p (F (u · P)) este {p (x) | x e F (u · P)}.) Observaţi că neutralitatea un F sociale funcţie de alegere presupune că gama sa trebuie să includă toate alternativelor posibile, este faptul că,
F (L (Y), N ) = Y.
Pentru a vedea imposibilitatea generală de a construi funcţii sociale alegere, care sunt atât anonim şi neutru, este suficient să se ia în considerare un exemplu simplu cu trei alternative Y = {a, b, c} şi trei alegători N = {1,2,3}. Luaţi în considerare preferinţa profil U, astfel încât
U x (a)> U x (b)> U x (c),
U 2 (b)> u 2 (c)> u 2 litera (a),
U 3 (c)> u 3 (a)>% (b).
Am putea numi acest exemplu, paradoxul ABC (în cazul în care "ABC" vine de la Arrow, negru, şi Condorcet, care a atras atenţia asupra astfel de exemple); este, de asemenea cunoscut sub numele de ciclul de Condorcet . Un exemplu ca aceasta a aparut la inima dovada a teoremei imposibilităţii în secţiunea anterioară. Orice alternativă în acest exemplu poate fi mapat la orice alte alternative printr-o permutare de astfel de Y că o permutare corespunzătoare a N se poate întoarce apoi profilul de preferinta originale. Astfel, o corespondenţă anonim neutru alegere socială trebuie să aleagă fie stabilite gol sau set de toate cele trei alternative pentru acest paradox ABC, şi aşa mai departe o funcţie de anonim neutru alegere socială nu poate fi definit.
Acest argument ar putea fi formulate, de asemenea ca o declaraţie cu privire la punerea în aplicare de către Nash de echilibru. În conformitate cu orice procedura de vot, care tratează alegătorii anonim şi este neutru pentru diferitele alternative, set de rezultate de echilibru pentru acest exemplu, trebuie să fie simetric în jurul valorii de trei alternative {a, b, c}. Astfel, un joc anonim vot neutru nu poate avea un unic pura strategie de echilibru care selectează doar unul din cele trei alternative pentru paradoxul ABC.
Acest argument nu generaliza la randomizat-strategie de echilibru. Simetria de acest exemplu ar putea fi îndeplinite de către un echilibru unic în strategiile randomizat, astfel încât fiecare alternativă este selectat cu probabilitatea 1 / 3. Teorema Muller-Satterthwaite nu ia în considerare randomizat funcţii sociale alegere, dar Gibbard (1978) a obtinut rezultate referitoare la strategia de punere în aplicare dominante, cu randomizare. (Gibbard caracterizează dominantă-strategie-implementabile randomizat funcţiile sociale şi amestecurile alegere probabilistă a funcţiilor unilaterale şi duple, care sunt generalizări de dictatură şi de vot binare.)
Randomizare confruntă teoriei democratice, cu aceeaşi dificultate ca echilibre multiple, cu toate acestea. În ambele cazuri, alegerea sociale în cele din urmă depinde de factori care nu au legătură cu preferinţele alegătorilor individuale "(factori de randomizare privat într-un caz, publice
factori focal în celelalte). Ca Riker (1982) a subliniat, o asemenea dependenţă de factori externi implică faptul că rezultatul aleasă de către un proces democratic nu poate fi caracterizată ca o expresie pură a voinţei alegătorilor ".
1.4 Turnee şi ordinea de zi binare
Când există doar două alternative, regula majorităţii este o procedură simplă şi convingătoare alegere sociale. K. mai (1952) a arătat că, atunci când Y = # 2 si # N este impar, alegerea alternativă, care este preferat de majoritatea alegătorilor este functia unica alegere sociale care respectă anonimatul, neutralitatea, şi monotonie.
Atunci când există mai mult de două alternative, am putea încerca în continuare să aplice principiul votului majoritar, prin împărţirea problema deciziei într-o secvenţă de întrebări binare. De exemplu, o agenda binar simplu pentru a alege între trei alternative {a, b, c} este după cum urmează. La prima etapă, există un vot cu privire la problema dacă pentru a elimina o alternativă b sau alternativ de la o examinare mai aprofundată. Apoi, la a doua etapă, există un vot între c alternativ şi alternativ între {a, b} care a supravietuit primul vot. Câştigătorul acestui al doilea vot este alegerea pusă în aplicare sociale.
Această ordine de zi binar este reprezentat grafic în Figura 1.1. Ordinea de zi a începe în partea de sus, şi în fiecare etapă alegătorii trebuie să aleagă pentru a muta jos copac ordinea de zi de-a lungul ramura la stânga sau la dreapta. Etichetele din partea de jos a arborelui ordinea de zi indică alegerea sociale pentru fiecare rezultat posibil, la sfârşitul ordinii de zi. Astfel, în partea de sus din figura 1.1, ramura din stânga reprezintă eliminarea b la primul vot, şi ramura din stânga reprezintă eliminarea a. Apoi, la fiecare dintre nodurile inferioare, ramura de drept reprezintă alegerea c şi ramura de stânga reprezintă alegerea altă alternativă, care nu a fost eliminat în prima etapă.
ac bc
Figura 1.1
Acum, să presupunem că alegătorii au preferinţe ca in exemplul de ABC paradoxul (descrise în secţiunea precedentă). Apoi, există o majoritate (alegătorilor 1 şi 3) care preferă o alternativă peste b, există o majoritate (alegătorilor 1 şi 2) care preferă alternativa b peste c, şi există o majoritate (alegătorilor 2 şi 3) care preferă alternative de c peste a. Să ne utilizează notaţia x>> y (sau echivalent y <<x) pentru a indica faptul că declaraţia majoritatea alegătorilor prefera x pe y. Apoi ne-am putea rezuma preferinţa majorităţii pentru acest exemplu, după cum urmează:
a>> b, b>> c, c>> a. (Acest ciclu, desigur, este ceea ce face acest exemplu paradoxal.)
Având în vedere preferinţele aceşti alegători ", care va fi rezultatul de pe ordinea de zi binare în Figura 1.1? La etapa a doua, o majoritate ar alege b alternativă împotriva c dacă o alternativă au fost eliminate în prima etapă, dar majoritatea ar alege c alternativă în cazul în care împotriva unui alternativă b au fost eliminate în prima etapă. Deci, o majoritate de alegători ar trebui să voteze pentru a elimina o alternativă la prima etapă (chiar dacă o majoritate preferă o peste b), deoarece acestea ar trebui să anticipeze faptul că rezultatul final va fi să pună în aplicare b, mai degrabă decât c, şi o majoritate preferă b alternative peste c. Această analiză înapoi este prezentat în Figura 1.2, care se afişează, în paranteze de mai sus pentru fiecare nod decizie, rezultatul final care va fi ales prin vot cu majoritate sofisticat în cazul în care procesul a ajuns la acest nod.
(B)
ACB c Figura 1.2
În general, având în vedere orice set finit de alternative Y, o agendă binar pe Y este un copac înrădăcinată care are două ramuri care ies din fiecare nod neterminal, împreună cu o etichetare care atribuie un rezultat în Y la fiecare nod terminal, astfel încât fiecare alternativă în Y, apare ca rezultat
pentru cel puţin un nod terminal. Având în vedere o agendă binar, o soluţie sofisticata de etichetare pentru a extinde toate nodurile, astfel încât, pentru fiecare nod neterminal 0, eticheta de la 0 este de alternativă Y care ar fi ales cu majoritate de voturi, printre alternative enumerate la cele două noduri care în mod direct urmaţi 0. Un rezultat sofisticat de o agendă binar este rezultatul atribuit nodul iniţial (sau rădăcină) din copac ordinea de zi într-o soluţie sofisticata.
Având în vedere orice profil de preferinţă pentru un număr impar de alegători, fiecare ordinea de zi binare pe Y are o soluţie unică sofisticat, care poate fi uşor calculată prin inducţie înapoi. (A se vedea Farquharson, 1969, şi Lenea, 1993.) Astfel, o dată pe ordinea de zi binar a fost specificat, acesta este simplu de a anticipa rezultatul care va fi aleasă în conformitate cu regula majoritatii, presupunând că alegătorii au o intelegere sofisticata a preferinţelor celorlalţi " şi de ordinea de zi.
Dar agende diferite pot duce la diferite majoritar regula rezultate pentru preferinţele alegătorilor aceleaşi ". Astfel, preşedintele, care stabileşte ordinea de zi ar putea avea puterea de a influenţa substanţial sofisticate majoritar regulă rezultat. Pentru a cuantifica gradul de astfel de stabilire a agendei de putere, ne-o dorim pentru a caracteriza set de alternative care pot fi realizate în conformitate cu ordinea de zi binare, pentru orice profil de preferinţă.
Pentru a calcula solutii sofisticate, este numai necesar să se cunoască, în fiecare pereche de alternative, care ar fi preferat de majoritatea alegătorilor. Asta este, avem nevoie doar să ştim, pentru fiecare pereche de alternative distincte x şi y din Y, dacă x>> y sau y>> x. (Citiţi ">>" aici ca "ar fi de preferat cu o majoritate de peste.")
Paradoxul ABC prezinta relaţia majoritate-preferinţa>> nu este neapărat tranzitiv, chiar dacă fiecare alegător preferinţele individuale sunt presupuse a fi tranzitive. De fapt, McGarvey (1953) a arătat că o relaţie>> pot fi generate ca relaţia majoritate-preferinţa pentru un numar impar de alegători ale căror preferinţe individuale sunt tranzitive dacă şi numai dacă îndeplineşte următoarele exhaustivitatea şi condiţii antisimetrie:
x>> y sau y>> x, dar nu ambele, V x e Y, V, Y e Y \ {x}. Orice astfel de raport>> pe Y poate fi numit un turneu .
1.5 Ciclul de top
Fie>> fi orice turneu fixe (complete şi antisimetrică) privind setul dat de
alternative Y. Considerăm acum trei definiţii că fiecare caracterizează un subset de Y.
Fie Y * (1) desemna set de toate alternativele x astfel că există o agendă binar pe Y pentru care x este rezultatul sofisticat. Asta este, Y * (1) este un set de rezultate care ar putea fi realizat prin ordinea de zi-manipulare, atunci când pe ordinea de zi-setter pot planifica orice serie de întrebări binare, sub rezerva doar pentru a constrângerii ca fiecare alternativă Y trebuie să fie admisă ca posibilitate în cadrul ordinii de zi, precum şi toate chestiunile vor fi rezolvate prin votul majoritatii sofisticate (de perspectivă).
Fie Y * (2) desemna set de alternative, astfel încât, pentru fiecare x de alternativă Y \ {y}, trebuie să existe unele lanţ (z y 0 , z 1 ,..., z m ), astfel încât x = z 0 , z m = y, z şi k-1 <<z k pentru fiecare k = 1 ,..., m. Asta este, o alternativă este în y Y * (2) dacă şi numai dacă, începând de la orice x anumit status quo-ului, alegătorii ar putea fi manipulate să renunţe la x pentru y printr-o serie de înlocuiri, astfel încât, în fiecare etapă, majoritatea ar fi întotdeauna preferă să renunţe la alternativa alese anterior pentru înlocuirea manipulator propuse în cazul în care consideră că această înlocuire ar fi ultima. In contrast cu Y * (1), care presupune sofisticate anticipative alegătorii, Y * (2) se bazează pe presupunerea că alegătorii sunt foarte naivi sau miop.
Fie Y * (3) să fie definit ca cea mai mică (în sensul set-incluziune) subset nevid de Y, care are proprietatea următorul text:
pentru orice pereche de alternative x şi y, dacă y este în subgrupul si x nu este în subgrupul apoi y>> x.
Un argument este necesar pentru a verifica dacă acest set Y * (3) este bine definit. Observaţi mai întâi că Y este ea însăşi o "subset", care are această proprietate (pentru că proprietatea este trivial îndeplinită în cazul în care nici un x din afara subsetul poate fi găsit). Observaţi următoarea faptul că, în cazul în care W şi Z sunt oricare două submulţimi care au această proprietate, atunci fie W f Z sau Z f W. (În caz contrar, am putea găsi W şi Z, astfel încât w e W, w £ Z, Z e Z, şi z £ W;. dar atunci ne-ar obţine w>> z şi z>> g, ceea ce este imposibil într-un turneu) Astfel, presupunând că Y este finită, există o mulţime mai mică nevidă Y * (3) care are această proprietate, şi care este un subset al tuturor pentru alte seturi de care au această proprietate.
Un rezultat fundamental în teoria turneu, din cauza Miller (1977), este faptul că cele de mai sus trei definitii caracteriza toate Y acelaşi set *. Acest set Y * se numeşte ciclu de top .
Teorema 1.2. Y * (1) = Y * (2) = Y * (3).
Dovada . Mai întâi arată că Y * (1) f Y * (2). Să presupunem că y este în Y * (1). Apoi, există unele arbore binar ordinea de zi, astfel încât soluţia de sofisticat este Y. Având în vedere orice x, putem găsi un nod terminal în copac în cazul în care rezultatul este x. Urmări calea de acum de la acest nod terminal de copii de rezervă prin intermediul structurii la nodul iniţial. Un lanţ satisface definiţia de Y * (2) pentru x şi y pot fi construite pur şi simplu prin luarea de soluţie sofisticata de la fiecare nod pe această cale, ignorând repetari. (Acest lanţ începe la ora x, se termină la Y, şi doar modificări de la o alternativă la altul că-l bate în turneu De exemplu, Figura 1.2 arată că b alternativă este în Y * (2), cu lanţuri. A <<c < <b si c <<b.)
Am următoare arată că Y * (2) f Y * (3). Dacă nu, atunci nu ar fi unele y astfel încât y e Y * (2), dar y £ Y * (3). Fie x în Y * (3). Pentru a satisface definiţia * Y (2), trebuie să existe unele lanţ, astfel încât x = z o <<z j <<... <<Z m = y. Acest lanţ începe în Y * (3) şi se încheie în afara de Y * (3), şi deci trebuie să existe unele k astfel încât z K-1 e Y * (3) şi z k £ Y * (3), dar apoi z k-1 <<z k contrazice definiţia lui Y * (3).
În cele din urmă ne arată că Y * (3) f Y * (1). Observaţi mai întâi că Y * (1) este nevid (deoarece ordinea de zi binare şi rezultatul lor sofisticate exista întotdeauna). Acum, să y fi orice alternativă Y * (1), apoi permiteţi-x nu existe nicio alternativă în Y * (1). Noi pretindem ca y>> x. Dacă nu, atunci ne-ar fi x>> y; dar atunci x ar fi rezultatul sofisticate pentru o agendă binar, în care prima alegere este între x şi un subarbore care este ea însăşi o agendă binare pentru care rezultatul sofisticate ar fi y, şi această concluzie ar contrazice ipoteza x £ Y * (1). Deci, la fiecare y din Y * (1) bate la fiecare x din afara Y * (1); şi aşa mai departe Y * (1) include Y * (3), care este un set mai mic nevidă care are această proprietate.
Astfel, avem Y * (1) f Y * (2) f Y * (3) f Y * (1). QED
În paradox ABC din secţiunea anterioară, ciclul de top include toate cele trei alternative {a, b, c}. Dacă adăugăm o d alternativă patrulea care apare imediat de mai jos c în clasament preferinţa fiecăruia (astfel încât b>> d şi c>> d, dar d>> a), atunci d este, de asemenea, inclusă în ciclul de varf pentru acest exemplu, chiar deşi d-Pareto este dominat de c.
În cazul în care ciclul de top constă într-un singur alternativă, această alternativă unică este numit un câştigător Condorcet . Asta este, un câştigător Condorcet este o alternativă, astfel încât y y>> x pentru fiecare
x altă alternativă în Y \ {y}. Cu privire la existenţa unui castigator Condorcet necesită configuraţii foarte speciale de preferintele individuale. De exemplu, să presupunem că preferinţele fiecărui alegător este selectat în mod aleatoriu din (# Y)! orderings posibil rang în L (Y), independent de preferinţe toate alţi alegători ". R. May (1971) a dovedit că, în cazul în care numărul de alegători este impar si mai mult de 2, atunci probabilitatea ca un câştigător Condorcet existente între alternative în Y merge la zero, ca # Y se duce la infinit. (A se vedea, de asemenea, Fishburn, 1973.)
McKelvey (1976, 1979) a arătat că, în conformitate cu unele ipoteze comune despre preferinţele alegătorilor ", în cazul în care un câştigător Condorcet nu exista, atunci ciclul de sus este, în general, foarte mare. Am stat acum şi să dovedească un rezultat simplu similare cu McKelvey lui.
Noi ne asumăm un set finit dat de alternative Y, şi de un anumit set finit ciudat de alegători N, fiecare dintre ei are preferinţe strict asupra Y. Fie A denota (Y), set de distribuţii de probabilitate peste setul de Y. Am putea identifica A ( Y), cu set de loterii sau proceduri randomizat, pentru a alege între alternative pură în Y. Presupunem că fiecare individ i are o funcţie de utilitate von NeumannMorgenstern Uj: D 6 FFI , astfel încât, pentru orice pereche de loterii, individuale i preferă întotdeauna la loterie care îi dă utilitate mai mare de aşteptat. Deci, dacă vom extinde setul de alternative prin adăugarea unor loterii de la A (Y), apoi Uj defineşte individ i preferinţele de pe acest set alternativ prelungit. Cu acest cadru, putem demonstra următoarea teoremă.
Teorema 1.3. În cazul în care ciclul de sus conţine mai mult de o alternativă, atunci, pentru orice z alternative, precum şi orice număr pozitiv 8, atunci putem construi un set alternativ extinsă, compusă din Y şi un subset finit de A (Y), astfel încât extins Ciclul de top include o loterie în care probabilitatea de a Z este de cel puţin 1-8.
Dovada . În cazul în care ciclul de sus nu este o alternativă unică, apoi ciclul de sus trebuie să includă un set de trei sau mai multe alternative {wj, w 2 , w K } astfel încît wj <<w 2 <<.. <<W K <<WJ.
Von Neumann-Morgenstern garanţii de utilitate teoria că fiecare persoană care preferă strict wj una peste wj, va prefera, de asemenea, strict (1-8) q + g [wj 1 ] de peste (1-8) q + g [wj] pentru orice loterie q. (Aici (1-8) q + g [wj] denotă loterie care oferă wj rezultatul cu probabilitate 8, şi pune în aplicare în caz contrar, rezultatul selectat aleatoriu de loterie q.) Astfel, prin continuitate, trebuie să existe unele M întreg mari, astfel încât fiecare individ care preferă strict wj + j peste wj, va prefera, de asemenea, strict
(1-8) ((1 - (m +1) / M) [wj] + ((m +1) / M) [z]) + g [wj + j]
peste
- M / M) [w 1 ] + (m / m) [z]) + g [w j ] pentru orice m între 0 şi M-1. Aceasta este, aceeaşi majoritate care ar vota pentru schimbarea de la wj la wj + i-ar vota, de asemenea, pentru a schimba de la wj la wj + j cu probabilitate 8 chiar şi atunci când această decizie presupune, de asemenea, o probabilitate (1-g) / M de schimbare de la wj la z.
Vom demonstra acum teorema folosind * Y (2) caracterizarea ciclului de top. Deoarece wj este în ciclul de sus, putem construi un lanţ de naiv din orice x alternativă la wj (x <<...<< wj). Acest lanţ de naiv poate fi continuat de la g j la A la Z, după cum urmează: wj = (1-g) [wj] + 8 [wj]
<<(1-8) ((1-1 / M) [w j ] + (1 / M) [z]) + g [w 2 ] <<(1-8) ((1-2 / M) [w j ] + (2 / M) [z]) + g [w 3 ] ... <<(1-g) [z] + g [wj] (pentru unele j). Deci, inclusiv toate loteriile din acest lanţ, ca alternative ne oferă o extensie de Y în care o loterie (1-g) [z] + g [wj] se poate ajunge printr-un lanţ naiv de la orice x. alternative QED
Demonstraţie a Teoremei 1.3 utilizează caracterizarea naiv-lanţ a ciclului de top (Y * (2)), dar teorema de echivalenţă ne spune că acest rezultat se aplică şi manipularea ordinii de zi cu alegătorii sofisticate. Aceasta este, în cazul în care preşedintele poate să includă randomizat social-planuri de alegere între rezultatele posibile ale unei agende, apoi, fie un câştigător Condorcet există, sau altceva preşedintele poate proiecta o ordine de zi binar care selectează orice alternativă arbitrară (chiar si unul care ar putea fi mai rău pentru tuturor alegătorilor), cu probabilitate mare în mod arbitrar rezultatul majoritar regulă sofisticate.
În cazul în care mai multe restricţii sunt impuse pe formularul de pe ordinea de zi care pot fi folosite, atunci setul de alternative care pot fi realizate prin manipularea ordinea de zi poate fi substanţial mai mici. De exemplu, Banks (1985) a caracterizat set de alternative care pot fi realizate ca rezultatele sofisticate ale succesive-eliminare ordinea de zi a forma următoare: alternative trebuie să fie puse într-o lista ordonata, prima întrebare trebuie să fie, dacă pentru a elimina primul sau a doua alternativă în această listă, şi, ulterior, următoarea întrebare este întotdeauna dacă pentru a elimina câştigătorul anterior sau subsidiar următor de pe listă, până când toate dar unul dintre
alternative au fost eliminate. Pentru orice turneu dat (Y ,>>), set de alternative care pot fi rezultatele de sofisticate, cum ar succesive-eliminare agendele se numeşte set Băncilor .
Având în vedere într-un turneu (Y ,>>), o alternativă x este acoperită dacă şi numai dacă există unele y altă alternativă, astfel încât y>> x şi
{Z | x>> Z} f {z | y>> Z}. Dacă x este Pareto-dominată de unele altă alternativă, atunci x trebuie să fie acoperite. Set descoperit este un set de alternative care nu sunt acoperite. (A se vedea Miller, 1980.) Set descoperit este întotdeauna un subset al ciclului de top, pentru că orice alternativă nu e in Y * (3) este acoperit de orice alternativă Y * (3). Pe de altă parte, set Banks este întotdeauna un subset al setului descoperit. (A se vedea şi Shepsle Weingast, 1984; Bănci, 1985; McKelvey, 1986; sau Moulin, 1986.) Astfel, Pareto dominate de alternative nu pot fi rezultate sofisticate de eliminare succesive-agende.
1.6 Două-parte de concurenţă
Am studiat agende binar, deoarece acestea ne permit să reducă problema de a alege între mai multe alternative la o secvenţă de voturi fiecare, care este binar, în sensul că aceasta are doar două rezultate posibile. Cu toate acestea, numărul de voturi binare, care sunt necesare pentru a lucra printr-un număr mare de alternative urca cel puţin la fel de jurnal (baza 2) din numărul de alternative. Când trecem de la vot în cadrul comisiilor mici la vot în naţiunile mari democratice, costul crescut al fiecărei runde de vot face imposibil de a lucra printr-o secvenţă lungă de voturi. Deci, democraţii, în general, se bazează pe liderii politici pentru a selecta un subset mic de alternative sociale potenţiale, şi apoi doar acest set mic selectate de alternative sociale vor fi luate în considerare de către alegători în alegerile generale. Speranţă pentru o democraţie de succes este faptul că concurenţa dintre liderii politici ar trebui să se asigure că aceştia vor încerca să selecta alternative care sunt foarte preferate de către o mare parte a populaţiei drept de vot.
Aşa că haideţi să ne gândim un model simplu de modul în care liderii politici s-ar putea selecta alternative pentru a pune în faţa alegătorilor într-o alegerile generale. Vom presupune că setul de toate alternativele posibile sociale Y este o mulţime finită nevid. Pentru a păstra binare de vot, vom presupune că aici există doar doi lideri politici, fiecare dintre ei trebuie să selectaţi o alternativă în Y, pe care o putem numi liderului poziţia politică . Realizarea cea mai simpla ipoteza cu privire la calendarul, permiteţi-ne să presupunem că doi politice
Liderii trebuie să aleagă poziţiile lor politice simultan şi independent.
Fie>> denota ceea ce priveşte preferinţa majorităţii, care îndeplineşte complet şi proprietăţile antisimetrie de un turneu. Vom presupune că liderul al cărui poziţie politică este preferat de majoritatea alegătorilor vor câştiga alegerile în cazul în care aleg poziţii diferite, şi fiecare lider are o probabilitate de 1 / 2 din câştigătoare în cazul în care atât liderii alege poziţia aceeaşi politică. Presupunând că fiecare lider este motivată doar de dorinţa de a câştiga, vom obţine o simplă cu două persoană joc de sumă nulă. În acest joc, atunci când liderul alege poziţia 1 x j şi 2 Sef alege poziţia x 2 , sunt payoffs
+1 Pentru liderul 1 şi -1 pentru 2 Sef dacă x j >> x 2 -1 pentru conducător 1 şi un lider pentru 2, dacă x 2 >> x j, si 0 pentru ambii conducatori dacă x j = x 2
Dacă Y conţine un câştigător Condorcet care bate orice altă alternativă în Y, atunci echilibrul unic al acestui joc este pentru atât liderii politici pentru a alege acest castigator Condorcet ca pozitia politica lor. Dar dacă nici o altă alternativă este o Condorcet-câştigător, atunci acest joc nu poate avea nici un echilibre în strategii pure, pentru că orice poziţie ar putea fi bătut de cel puţin o altă alternativă, şi aşa mai departe fiecare lider ar putea face singur câştigător sigur dacă el ştia ce poziţie ar fi alese de către adversarul său.
Teoremele generale existenţa von Neumann (1928) şi Nash (1951) ne asigură că acest joc trebuie să aibă cel puţin un echilibru în strategii mixte, chiar dacă un câştigător Condorcet nu exista. Ştim că toate echilibre trebuie să dea aceeaşi alocare payoff de aşteptat, deoarece acest joc este de două persoane cu sumă zero. Simetria ex-ante a liderilor care se joaca acest joc este evident că fiecare jucător trebuie să aibă acelaşi set de strategii de echilibru, precum şi alocarea payoff aşteptate în echilibru trebuie să fie (0,0). Asta este, probabilitatea de fiecare lider de a castiga alegerile trebuie să fie de 1 / 2 la inceputul jocului (înainte de strategiile randomizat sunt puse în aplicare).
Pentru exemplu, a paradoxului ABC de la secţiunea 1.3, strategia de echilibru unic pentru fiecare lider este de a aleator uniform peste cele trei alternative, alegerea fiecare cu probabilitatea 1 / 3. Apoi, există o probabilitate de 1 / 3 din 1 Sef alege o pozitie care bate poziţia de lider de 2 (în sensul că x j >> x 2); există o probabilitate de 1 / 3 din 1 Sef alege o poziţie
că este bătut de către poziţia de lider de 2, şi există o probabilitate de 1 / 3 din 1 Sef alegerea aceeaşi poziţie ca lider 2, caz în care fiecare are o probabilitate egală de a câştiga alegerile.
Dacă adăugăm o alternativă d patra, astfel încât fiecare alegător rândurile d imediat de mai jos c, atunci strategia de echilibru unic rămâne aceeaşi. Aceasta este, alternativa d nu ar ales de către oricare dintre lider, chiar dacă d este în ciclul de top. Observaţi că d este acoperit de c, în acest exemplu. De fapt, alternativele acoperite în orice turneu sunt tocmai strategiile dominat pură pentru liderii politici, în acest joc de-poziţionare.
Remarcabil, Fisher şi Ryan (1992) au arătat că există întotdeauna o strategie de echilibru unic în acest joc. Formularea noastre şi o dovadă a acestei teoreme unicitate aici se bazează pe Laffond, Laslier, şi Le Breton (1993).
Teorema 1.4 . Jocul două persoane de poziţii alege dintr-un turneu finit (Y,>>) are un unic echilibru Nash. În acest echilibru, fiecare alternativă că este un mai bun răspuns este atribuit probabilitate pozitiv.
Dovada . Fie p şi q să fie strategii randomizaţi în A (Y), în două echilibre Nash de acest joc. Cei doi jucatori din acest joc sunt simetrice, şi echilibre Nash a două persoane cu sumă zero jocuri sunt întotdeauna interschimbabile, şi aşa mai departe (p, p), (q, q), şi (p, q) trebuie să fie toate echilibre Nash de acest joc.
Lăsa
B = {y e Y | p (y)> 0 sau q (y)> 0}. Deoarece randomizare în conformitate cu p sau q este optimă pentru un jucător împotriva p sau q, toate alternativele în B trebuie să ofere rasplata echilibru aşteptat atât împotriva p şi q. Dar noi ştim că recompensa echilibru aşteptat este 0 in acest joc. Deci, alegerea orice alternativă B, trebuie să dea un jucător o probabilitate de câştig care este egală cu probabilitatea sa de a pierde, atunci când alt jucător randomizes în conformitate cu p sau q. Asta este,
E x »y p (x) = E x «y p (x X V y 0 B
E x »y q (x) = E x «y q (x X V y 0 B.
Acum, să d (x) = p (x) - q (x) pentru orice x in B. Deci ne-am
E x »y d (x) = E x «y d (x X V y 0 B E x e B d (x) = 0.
(Ecuaţia din urmă deţine, deoarece P (x) şi q (x) atât suma la 1.) Pentru a demonstra unicitatea, am
trebuie doar să demonstreze că acest sistem de ecuaţii pentru d nu are soluţii diferită de zero.
Deci, să presupunem că contrare că acest sistem de ecuaţii are unele soluţie diferită de zero pentru d. Apoi trebuie să aibă cel puţin o soluţie diferită de zero, astfel încât toate d (x) sunt numere raţionale, pentru că toţi coeficienţii sunt raţionale şi de aceste ecuatii liniare. În plus, prin înmulţirea de cel mai mic numitor comun, acest sistem de ecuaţii trebuie să aibă cel puţin o soluţie, astfel încât toate d (x) sunt numere întregi, şi (împărţirea cu 2, după caz) vă putem garanta că cel puţin un număr întreg d (y) trebuie să fie impar. Atunci, pentru această y alternativă, vom ajunge
0 = d (y) + 3 x <<y d (x) + E z »y d (z) = d (y) + 2 (3 x <<y d (x)). Dar, d (y) + 2 (3 x << y d (x)) este un număr întreg impar, si 0 este chiar. Această contradicţie se dovedeşte că nu poate fi diferită de zero pentru orice soluţii d. Astfel, p = q, şi astfel echilibrul este unic.
Componentele de p trebuie să fie numere raţionale, deoarece p este strategia de echilibru unic pentru un cu două persoană joc de sumă nulă, în care a payoffs numere raţionale. Acum, să p * denota cel mai mic multiplu pozitiv de p care are toate componentele întregi. Acest vector p * îndeplineşte
E x «y p * (x) = E x »y i ^ ^ O, pentru orice y strategie pură, care este cel mai bun răspuns la p strategia de echilibru (care include toate y
în B sale de suport), pentru că toate cele mai bune răspunsuri la zero de aşteptat să câştig. Cel puţin unul dintre p * (z) trebuie să
să fie impar (sau altfel am putea să le împartă toate de 2). Astfel, suma a componentelor
E x e B p * (x) = p * (z) + E x «z p * (x) + E x »z p * (x) = p * (z) + 2 (3 x <<z p * (x)) este un număr întreg impar. Pentru fiecare y, care este un mai bun răspuns la p strategia de echilibru, ne-am
* p (y) + 2 (3 x <<y * p (x)) = E x e B * p (x), şi aşa mai departe p * (y) este, de asemenea, un număr întreg impar. Dar 0 nu este impar. Astfel, în cazul în care y este cel mai bun răspuns la orice p strategia de echilibru, atunci
p (y) = p * (y ) / ((E x e B * P (x)) = 0. QED
Set de alternative care pot fi alese cu o probabilitate pozitivă de către liderii de partid în echilibru de acest joc de poziţionare politică se numeşte set bipartizana al turneului (Y ,>>). Setul bipartizana este un subset al setului descoperit, deoarece alternativele acoperite sunt strategiile dominat în acest joc de-politică de poziţionare, şi aşa mai departe set bipartisan este întotdeauna
cuprinse în ciclul de top. Laffond, Laslier, şi Le Breton (1993) au arătat, totuşi, faptul că setul bipartizana poate conţine alternative care nu sunt în bănci stabilite, precum şi setul Băncile pot conţine alternative care nu sunt în setul bipartizana.
1.7 teoreme mediană alegător
Am văzut că, dacă un câştigător Condorcet există, atunci ne putem aştepta ca rezultatul votului raţional, în orice ordine de zi binar, sau ca poziţia politică unică, care ar fi ales de către liderii de partid în două părţi-concurs. Dar atunci când un câştigător Condorcet nu există, apoi manipularea ordinea de zi cu alternative randomizat se poate realiza practic orice rezultat, şi rezultatul a două partide de poziţionare politică trebuie să aibă o imprevizibilitate. Deci, ar trebui să fim interesaţi şi de condiţii economice care implică existenţa unui câştigător Condorcet în Y. condiţia cea mai naturale, cum ar este exprimată de către alegător teoreme median.
Există două versiuni de bază ale teoremei alegătorului median. O versiune (de la Black, 1958) îşi asumă un singur-a atins apogeul preferinţe, şi o altă versiune (de la Gans şi Smart, 1994, Rothstein, 1990, 1991, şi Roberts, 1977) presupune o proprietate unică de trecere a frontierei.
Pentru a dezvolta proprietatea unică de trecere a frontierei, vom începe prin asumarea că a politicilor alternative prin Y sunt ordonate complet şi transitively, spun de la "stânga" la "dreapta" într-un sens. Putem scrie "x <y" să însemne că x alternativa este la stânga lui y alternative în spaţiul alternativelor de politici. De asemenea, presupunem că alegători (sau preferinţele lor politice) sunt ordonate în unele transitively spectrului politic, spun de la "stânga" la "dreapta", şi putem scrie "i <j", în sensul că alegător i este la stânga de alegător j în acest spectru politic.
Sensul această ordine de alegători este doar faptul că alegătorii de stânga tind să favorizeze politicile de stânga mai mult de alegători, care sunt de dreapta în preferinţele politice. Formal, vom presupune că, pentru oricare două alegătorii i şi j, astfel încât i <j, şi pentru oricare două politici alternative x şi y astfel încât x <y,
în cazul în care u i (x) < U i (y) , atunci u j (x) <
dar dacă UJ (x)> uj (y), atunci ui (x)> ui (y). Această presupunere este numit de proprietate unică de trecere a frontierei .
Să presupunem că numărul de alegători este impar şi ordonarea lor este completă şi tranzitiv. Apoi, există unele alegător median h, astfel încât # {i 0 N | i <h} = {j # 0 N | h <j}. Pentru orice
pereche de alternative x şi у astfel că x <y, în cazul în care alegătorul median prefera x apoi tuturor alegătorilor din stânga median sunt de acord cu el, dar în cazul în care alegătorul median prefera у apoi tuturor alegătorilor din dreapta median sunt de acord cu el . Oricum, există o majoritate a alegătorilor care sunt de acord cu alegătorului median. Deci, relaţia preferinţa majoritatea (>>) este aceeaşi ca preferinţă a alegătorului median. Astfel, alternative, care este cel mai preferat de către alegătorul median trebuie să fie un câştigător Condorcet. Asta este, ne-am dovedit următoarea teoremă.
Teorema 1.5 . Să presupunem că există un număr impar de alegători. În cazul în care alternativele la Y au o ordonare completă tranzitivă şi alegătorii într-N au o ordonare completă tranzitivă care îndeplinesc împreună proprietate unică de trecere, atunci punctul ideal de a alegătorului median este un câştigător Condorcet în Y.
În versiunea cu un singur peakedness a teoremei median-alegător, o ordonare completă tranzitiv (<), se presupune pe set de alternative Y numai. Pentru fiecare alegător i, se presupune că există un ideal punct de 0j în astfel de Y, care, pentru orice x si y din Y,
dacă 0j # x <y sau y <x # 0j atunci u (x)> u (y). Aceasta este, pe ambele laturi ale 0 P alegător i preferă întotdeauna alternative care sunt mai aproape de 0 V Această proprietate se numeşte peakedness singur presupunere. Presupunând că numărul de alegători este impar, punctul alegătorului median ideal este alternativa 0 *, astfel încât
# N / 2 $ 0j <0} * şi # N / 2 $ (I | 0 * <0j). Alegătorii care au puncte de la 0 ideală * şi pentru a forma o majoritate de stânga sale care preferă 0 * peste orice alternativă la dreptul de 0 *, în timp ce alegătorii care au puncte de la 0 * ideale şi pentru a forma dreptul său de o majoritate care preferă 0 * peste orice alternativă la stânga de 0 *. Astfel, acest alegător median este ideal punct de 0 * este un câştigător Condorcet în Y.
Single-o singură trecere a frontierei şi-peakedness ipoteze sunt diferite, şi nici nu este logic implicată de celelalte. Ambele ipoteze să ne dea un rezultat care spune că "punctul alegătorului median ideal este un câştigător Condorcet", dar există o diferenţă subtilă, în sensul acestor rezultate. Cu proprietatea unică de trecere a frontierei este vorba despre punctul ideal de a alegătorului median , dar cu o singură proprietate-peakedness vorbim despre median al punctelor de alegători "ideal . Observaţi, de asemenea, că preferinţa ceea ce priveşte majoritatea poate fi garantata a fi o ordonare completă tranzitiv în temeiul
ipoteza unic de trecere a frontierei, dar nu şi în ipoteza single-peakedness.
În ambele versiuni ale teoremei alegătorului median, set de alternative politică trebuie să fie în esenţă, o-dimensional, pentru că altfel nu putem pune alternative într-o ordine tranzitive. În general, cererile care nu au acest simplu unidimensional structura, nu ne aşteptăm, în general, să găsească o câştigător Condorcet.
1.8 Concluzii
Am considerat agendele binare şi două părţi de concurenţă, deoarece acestea sunt metode pentru reducerea problemelor sociale generale de alegere cu mai multe alternative într-un cadru de vot cu majoritate simplă pe perechi de alternative. Această reducere necesită unele de luare a deciziilor de către lideri politici: preşedintele, care stabileşte ordinea de zi, sau liderii care formula politica pentru cele două părţi majore. Deci, este firesc întreba, în ce măsură rezultatele de agendele binare sau două părţi de concurenţă depinde de luarea deciziilor de către lideri politici, mai degrabă decât pe preferinţele alegătorilor. Răspunsul, am văzut, este că manipularea a unui program-setter sau decizii arbitrare şi imprevizibile de poziţionare a liderilor politici pot afecta în mod substanţial rezultatul votului cu majoritate, cu excepţia cazului în special în cazul în care un câştigător Condorcet se întâmplă să existe.
Pentru a găsi modalităţi de a evita astfel de dependenţă pe o agendă setter sau un cuplu de lideri de partid, trebuie să mergem pe la studiu mai multe sisteme generale de vot, care permite alegătorilor să ia în considerare mai mult de două alternative la o dată. Teorema K. May 's (1952) ne-au asigurat că regula majorităţii este modul unic de evidenta a pune în aplicare principiile democraţiei (anonimat, neutralitate), în luarea deciziilor sociale atunci când doar două alternative sunt considerate la un moment dat. În contrast, există o mare varietate de sisteme de vot anonime neutre care au fost propuse pentru a alege între mai mult de două alternative (vot pluralitate, Borda, votarea de omologare, vot unic transferabil, etc), şi toate acestea merită să fie numit democratice. În plus, teoremele imposibilitatea de a teoriei alegerii sociale ne spun că nici un astfel de sistem de vot poate garanta un unic pură strategie de echilibru pentru toate profilurile din preferinţele alegătorilor ". Multitudine de echilibre înseamnă că rezultatul sociale poate depinde de orice factor care se concentreaza atentia publicului pe un echilibru. Aceşti factori focale pot include istorie, tradiţie culturală, şi discursurile publice ale liderilor politici. (A se vedea
Schelling, 1960, şi Myerson şi Weber, 1993.)
Fabulă noastre initiale au sugerat că instituţiile politice ar putea să apară dintr-o nevoie de a coordona mai bine pe echilibre în arene sociale şi economice, şi am constatat că o parte din această multiplicitate de echilibre pot rămâne inevitabil în orice sistem politic democratic. Dar, având în mai multe rezultate de echilibru pentru anumite profiluri preferinţă nu presupune faptul că totul trebuie să fie un rezultat echilibru pentru toate profilurile preferinţă. Joc-teoretică analiză a instituţiilor politice pot demonstra diferenţe semnificative în rezultatele echilibru în conformitate cu diferite instituţii politice. Dacă teoria alegerii sociale nu ne-a dat un sistem de vot perfect, atunci aceasta ne-a lăsat sarcina importantă de a caracterizează proprietăţile şi performanţele sistemelor de vot mai multe pe care le posedam.
REFERINŢE
KJ Arrow, Choice sociale şi valorile individuale , Wiley (1951). D. Negru, Teoria comitetelor şi Alegeri , Cambridge (1958).
Băncile J., "rezultatele sofisticate vot ordinea de zi şi de control," Alegerea şi protecţie socială 1
(1985), 295-306. R. Farquharson, Teoria de Votare , Yale, 1969. PC Fishburn, Teoria Social Choice , Princeton, 1973.
DC Fisher şi J. Ryan, "strategii optime pentru" foarfece, hârtie, piatră şi "un joc generalizat,"
American Mathematical 99 lunar (1992), 935-942. JS Gans şi M. inteligent, "vot cu majoritate, cu single-Crossing preferinţe," Journal of Public
Economie 59 (1996), 219-237. A. Gibbard, "Manipularea privind regulile de vot: un rezultat general," Econometrica 41 (1973), 587-601. A. Gibbard, "directitudinea de forme de joc cu loterii ca rezultate," Econometrica 46
(1978), 595-614.
R. Hardin, "De ce o Constituţie," în Federalist Papers şi Institutionalism Nou , Bernard
Grofman şi Donald Wittman, eds, NY:. Agathon Press (1989). G. Laffond, JF Laslier, şi M. Le Breton, "set bipartizan de un joc de turneu," Jocuri
şi comportamentului economic 5 (1993), 182-201.
E. Maskin, "teoria de punere în aplicare în echilibru Nash: un studiu," în L. Hurwicz,
D. Schmeidler, şi H. Sonnenschein eds,. obiectivelor sociale şi de organizare socială ,
Cambridge U. Press (1985), paginile 173-204. KO mai, "Un set de condiţii independente necesare şi suficiente pentru majoritate simplă
decizie, " Econometrica 20 (1952), 680-684. RM mai, "Unele observaţii matematice cu privire la paradoxul de vot," Behavioral Science 16
(1971), 143-151.
DC McGarvey, "O teoremă în construcţia de paradoxuri de vot," Econometrica 21 (1953),
608-610.
R. McKelvey, "Intransitivities în modele de vot multidimensionale şi unele implicaţii pentru controlul ordinii de zi," Journal of Economic Theory 12 (1976), 472-482.
RD McKelvey, "Conditii generale pentru intransitivities la nivel mondial în modele de vot formal," Econometrica 47 (1979), 1085-1112.
R. McKelvey, "Acoperirea, dominantă, şi instituţia fără proprietăţi de a alege sociale," American Journal of Political Science 30 (1986), 283-314.
N. Miller, "abordările teoretice Graph la teoria de vot," American Journal of Political Science 21 (1977), 769-803.
N. Miller, "O nouă soluţie stabilite pentru turnee şi votul majoritar," American Journal of Political Science 24 (1980), 68-96. (Erată 1983).
J. Moore şi R. Repullo, "Subgame punerea în aplicare perfectă," Econometrica 56 (1988), 11911220.
H. Moulin, "Alegerea dintr-un turneu," Alegerea Sociale şi Welfare 3 (1986), 271-291. H. Moulin, Axiomele de luare a deciziilor de Cooperare , Cambridge (1988).
E. Muller şi M. Satterthwaite, "echivalenţa asociere pozitivă puternică şi
strategie-proofness, " Journal of Economic Theory 14 (1977), 412-418 RB Myerson si RJ Weber,. "O teorie de vot echilibre," Ştiinţe Politice american
Review 87 (1993), 102-114. JF Nash, "Jocuri Noncooperative," Analele de matematică 54 (1951), 289-295. J. von Neumann, "Zur Teorii der Gesellschaftsspiele." Mathematische Annalen sute (1928),
295-320. Traducere engleză de către S. Bergmann în BR Luce şi AW Tucker, eds., Contribuţii la teoria Jocurilor IV (1959), pp. 13-42, Princeton University Press.
WH Riker, liberalismul împotriva Populismul , San Francisco, Freeman (1982).
KWS Roberts, "Votul peste program impozitul pe venit," Journal of Economics publice 8 (1977),
329-340.
P. Rothstein, "Ordinul-restricţionat preferinţele şi majoritatea regula" Alegerea Sociale şi Welfare 7 (1990), 331-342
P. Rothstein, "alegător Reprezentant teoreme" Public Choice 72 (1991), 193-212.
MA Satterthwaite, "Strategia de-proofness şi condiţii Arrow", a Journal of Teorie economică
10 (1975), 198-217. Amartya Sen K., Choice colective şi Protecţiei Sociale , Holden-Day, (1970). TC Schelling, Strategia conflictului , Harvard University Press (1960). K. Shepsle şi B. Weingast, "negarantate seturi şi rezultate sofisticate de vot, cu
implicaţii pentru instituţiile ordinea de zi, " American Journal of Political Science 28 (1984),
49-74.
B. Lenea, "teoria de vot şi de echilibre în jocuri noncooperative," Jocuri şi comportamentul economic 5 (1993), 152-169.
Autor Adresa: Departamentul Economie, Universitatea din Chicago, 1126 East 59 Street, Chicago, IL 60637. Telefon: 1-773-834-9071. Fax: 1-773-702-8490.
E-mail: myerson@uchicago.edu . URL: http://home.uchicago.edu/ ~ rmyerson /
Versiunea originală a acestui document a fost distribuit (septembrie 1996) ca documentul de discuţie # 1162 de
Centrul pentru Studii matematice în Economie şi Management Ştiinţă, Universitatea Northwestern.
Versiunea curentă este la http://home.uchicago.edu/ ~ rmyerson/research/schch1.pdf
Data aceasta versiune: 1/5/2011.