Back to site
Since 2004, our University project has become the Internet's most widespread web hosting directory. Here we like to talk a lot about web development, networking and server security. It is, after all, our expertise. To make things better we've launched this science section with the free access to educational resources and important scientific material translated to different languages.

(Non) Monotonie şi votare scurgerea Instant

Prin Warren D. Smith; puternic revizuite martie 2009 după învăţarea despre suport de hârtie cu Quas Anthony. ( Treci la rezumat )

Monotonie este proprietatea un sistem de vot că ambele

  1. Dacă cineva creşte votul lor pentru candidatul C (lăsând restul neschimbat vot lor) că nu ar trebui să inrautati şansele C lui din câştigarea alegerilor.
  2. Dacă cineva scade votul lor pentru candidatul B (lăsând restul privind votul lor neschimbate) care nu ar trebui să îmbunătăţească şansele B lui a câştiga alegerilor.

One can also consider sets of voters increasing their vote for C in (I), causing (if monotonicity fails) C to stop winning, etc.

Din păcate, Instant scurgerea Votare (IRV) nu este monotone; într-adevăr, eşuează ambele criterii. Două reală-lumea alegeri IRV (ambele desfăşurate în 2009) ilustreze aceasta ar Burlington VT (SUA) şi Frome Australia .

Exemple demonstrând nonmonotonicity de IRV

Criteriul I eşuează: atunci când două alegătorii schimba votul lor la C, că opreşte C din câştigătoare.

Detalii: C victorii această alegeri 17-alegător IRV (B este eliminat şi 1 mai din său 5 voturi transferul la C decât la A, cauzand C să câştige 9:8 peste A). Dar după cele două A> C> B alegătorii da loc votul lor la C, apoi B victorii. (În alegerile noua, A este eliminat şi lui 4 voturi transfer la B, cauzând B să câştige 9:8 peste C.)

Aceasta a apărut în alegerilor guvernatorului Louisiana 1991 , care era o alegeri (non-instant) balotaj cu 12 candidaţi dar numai top 3 luat peste 410,000 voturilor fiecare; restul 9 candidaţii fiecare nimerit sub 83,000 individual şi sub 125.000 în agregatul. Este apărut de asemenea în Burlington Vermont 2,009 (alegeri IRV veritabil pentru care avem set complet buletinelor de vot) şi Peru 2006 (alegeri top-2 runoff în care top 3 candidaţi primit 79% din voturi).

# Alegătorii lor vot
6C> A> B
2B> A> C
3B> C> A
4A> B> C
2A> C> B

Criteriul II eşuează: atunci când două alegătorii schimba votul lor departe de B, care determină B la câştiga.

Detalii: C victorii această 17-alegător electorale IRV (A este eliminată şi lui 4 voturi transfera C astfel încât C victorii 9:8 peste B). Dar după 2 din B> A> C alegătorii da loc votul lor la A, apoi B victorii. (În alegerile noua, C este eliminată şi voturile sale transferul la B astfel încât B victorii 11:6 peste A.)

Aceasta a apărut în Frome Australia 2009 şi asemenea (într-o formă modificată, cu alegătorii suplimentar Currie adăugată, din) Irish 1990 alegerilor prezidenţiale , care era o alegeri IRV cu 3 candidaţii.

# Alegătorii lor vot
5C> B> A
4A> C> B
8B> A> C

Cele două special exemple electorale sus atât facilitate "cicluri Condorcet" C> A> B> C şi C> B> A> C respectiv. Toate acestea, ambele aceste tipuri de nonmonotonicity poate apărea asemenea fără un ciclu:

Criteriul I eşuează: atunci când două alegătorii schimba votul lor la C, că opreşte C din câştigătoare.

Dar după cele două A> C> B alegătorii da loc votul lor la C, apoi B victorii.

# Alegătorii lor vot
4C> B> A
2C> A> B
2B> A> C
3B> C> A
4A> B> C
2A> C> B

Criteriul II eşuează: atunci când două alegătorii schimba votul lor departe de B, care determină B la câştiga.

Detalii: C victorii această alegeri 17-alegător IRV. Dar după 2 din B> A> C alegătorii da loc votul lor la A, apoi B victorii.

# Alegătorii lor vot
5C> B> A
4B> C> A
4B> A> C
4A> C> B

In toate exemplele de mai sus, C fost câştigătorul IRV timp ce neteda- pluralitatea Castigatorul a fost altcineva (sau era o cravată). Tip-II (dar nu tip-I) insuficienţă poate apărea asemenea în situaţii (ambele cu sau fără un ciclu Condorcet) unde C simultan este atât the IRV şi câştigător pluralitate:

Criteriul II eşuează: atunci când două alegătorii schimba votul lor departe de B, care determină B la câştiga. Există un ciclu Condorcet în acest exemplu: C> A> B> C.

Detalii: C victorii această alegeri 21-alegător IRV. (Asemenea pluralitatea neteda-câştigător.) Dar după 2 din B> A> C alegătorii da loc votul lor la A, apoi B victorii.

# Alegătorii lor vot
8C> A> B
3B> A> C
3B> C> A
5A> B> C
2A> C> B

Criteriul II eşuează: atunci când două alegătorii schimba votul lor departe de B, care determină B la câştiga. Acest exemplu are niciun ciclu.

Detalii: C victorii această alegeri 21-alegător IRV. (Asemenea pluralitatea neteda-câştigător.) Dar după 2 din B> A> C alegătorii da loc votul lor la A, apoi B victorii.

# Alegătorii lor vot
3C> A> B
5C> B> A
3B> C> A
3B> A> C
2A> C> B
5A> B> C

Există o harului mântuitor pentru IRV, deşi: nu este posibil pentru both tip-I şi tip II eşecul să apară în aceloraşi alegeri în acelaşi timp în acelaşi mod. Că este, nu există nici alegerilor IRV în care X, prin giving away unii voturi la circulante IRV-câştigător W, poate provoca X la câştige şi W pentru a opri câştigătoare. Această disjointness este usor de vedea si va stau la baza implicit calculele noastre probabilitate mai jos.

Cât de des face eşecuri astfel monotonie întâmpla în alegerile balotaj instant?

Pentru acum, să considerăm numai alegerile 3-candidat IRV. (Vom considera alegeri IRV cu mai mult 3 candidaţi mai târziu ; în ele eşecuri monotonie probabil sunt mai frecvente Dacă există sunt două sau mai puţine candidaţi, esec este imposibil În limita unui număr mare de candidaţi, vom vedea eşec devine copleşitor.. probabil) În. "random modelul alegeri" [care are de asemenea fost numit "Cultura imparţial" în literatura, vedea, exemplu Ilia Tsetlin, Michel Regenwetter, Bernard Grofman: Cultura imparţial maximizează probabilitatea de ciclurilor majorităţii , Choice Sociale şi Welfare 21,3 (Dec 2003) 387-398; William V. Gehrlein: norme Weighted notare, condiţia cultura imparţial, şi omogenitatea , Calitate si Cantitate 20,1 (1986) 85-107; etc] eşecuri monotonie de tip ( I) apar despre o dată pe 45 alegerile şi de tip (II) apară o dată pe 8.2 alegeri. În total, insuficienţă monotonie apare o dată la fiecare 6.9 alegeri, adică 14,5% din timp.

Avocaţii IRV au fals susţinut că non-monotonie în alegeri IRV este foarte rară.

Un motiv fost o lucrare publicat de Crispin Allard în care el făcut un calcul incorect de acestor numere. Allard făcut cel puţin 3 erori diferite, toate de care împins numărul său de eronat prea mic.

  1. Mod greşit uitat să multiplice către 6; Allard redus problema la calcul un anumit volum, dar există într-adevăr au fost 6 copii ale că volumul cauza din 6 moduri de a redenumi 3 candidati.
  2. Apoi când el calculat că (6 ori prea mici) volumul, a făcut el aceasta greşit, obţinerea unei număr mult-mai mic chiar decât numărul factorul-6 prea-mic el ar au ajuns.
  3. Allard examinat numai tip-II nonmonotonicity şi aparent fost ignora faptul că tip-I asemenea existat.

Ca rezultat al aceste erori, Allard primit un număr aproximativ 1000 ori mai mic decât adevărul. Hârtie Lui incorecte era Estimarea probabilitatea eşecului monotonie într-un alegerilor Regatul Unit General, Votare materie 5 (ianuarie 1996).

Un al doilea motiv fost percepţia către avocaţii IRV că dacă fenomenele place non-monotonie apărut la alegeri reali importantă, apoi apăsaţi ar striga toate despre asta; deoarece erau constienti de presei vreodată faci că, prin urmare, aceasta niciodată trebuie apară în viaţa reală. Deoarece avem menţionat foarte importante reala-lumea alegerile mai sus în care monotonie (şi proprietăţi alte prea!) Eşuat (şi apăsaţi, cât pot spune niciodată, menţionat că chiar odată) ştim că percepţie fost eronată. Eşec IRV proprietate este destul de comună in viata reala - aceasta apare la rate comparabile cu cele prezis către alegerile aleatorii şi modele Dirichlet - pofida lipsei de menţionează de că în presa.

Cum ştim că?

Acesta efectiv Este posibilă să obţină formule exacta pentru acestor probabilităţi folosind "funcţii Schläfli" (vezi puzzle # 4 ).

Aici este un program de calculator simplu care face acest pentru tip-I nonmonotonicity:

pentru NNL 2 la 5 face 
NN: = 6 * 10 ^ NNL; # NN = nr. de experimente a încerca = 600, 6000, 60000, 600000 
FailCt: = 0; # counter iniţial zero, 
CAwinsCt: = 0; # contraanaliza asemenea iniţial zero, 
pentru i la 1 la NN face efectua # experimente NN 
   pas # 1: genera obişnuit aleatorie numere ca 6 tipuri privind votul count 
   ABC: = RandomNormal (); 
   ACB: = RandomNormal (); 
   BAC: = RandomNormal (); 
   BCA: = RandomNormal (); 
   CAB: = RandomNormal (); 
   CBA: = RandomNormal (); 
   dacă (CAB + CBA> BAC + BCA şi # B elimd în formă originală alegerilor IRV 
      ABC + ACB> BAC + BCA şi # B elimd în formă originală alegerilor IRV 
      CAB + CBA + BCA> ABC + ACB + BAC # C victorii alegerilor IRV versiunea originală 
   ) then    
      CAwinsCt := CAwinsCt+1; #to simplify, we only examine elections which "C" won with "A" second t := min(BAC+BCA, 0.5*(CAB+CBA+ACB+ABC), ABC); # CORECTAREA adaugă martie 2009 
      dacă (# după voturi ACB (plus ABC-t voturile de formă ABC) mutat la A la C atunci A elimd ... 
         t + BCA + BAC> CAB + CBA + ACB + ABC-t # .. după care B victorii alegerile IRV noua. 
      ) apoi 
         FailCt: = FailCt +1: # counter incrementului deoarece exemplu insuficienţă mono-I data vazut 
      Fi; 
   Fi; 
od; 
imprimare (FailCt, "out of", CAwinsCt, "tip-I mono eşecurile unde C câştigat dar se opreşte câştigătoare dacă dat voturi ACB "); 
OD;
      

Notă corecţie (în roşu ) adaugă martie 2009. Codul vechi necorectată citise

      dacă (ABC <BAC + BCA şi # după voturi ACB mutat la A la C atunci A elimd ... 
         ABC <CAB + ACB + ACB şi          
         ABC + BCA + BAC> CAB + CBA + ACB # ... B după care câştigă nou IRV alegerilor 
      )

Acest cod vechi subestimat probabilitatea tip-I non-monotonie deoarece eronat crezut că era numai merita conversia voturi ACB voturilor C la opri C câştigătoare. De fapt, uneori asemenea ajută pentru convertirea unele voturilor ABC prea.

Ieşirea acestui program (două ruleaza, folosind orice distribuţia normală cu mult mai mari medie pozitivă decât deviaţia sale standard) fost:

   13 din 92 tip-I eşecurile mono unde C câştigat dar se opreşte câştigătoare dacă dat voturi ACB 
  125 stele din 1015 eşecuri mono tip-I unde C câştigat dar se opreşte câştigătoare dacă dat voturi ACB 
 1278 stele din 9985 eşecuri mono tip-I unde C câştigat dar opreşte câştigătoare dacă dat voturi ACB 
12134 stele din 100008 eşecuri mono tip-I unde C câştigat dar se opreşte câştigătoare dacă dat voturi ACB 

    8 stele din 89 eşecuri mono tip-I unde C câştigat dar se opreşte câştigătoare dacă dat voturi ACB 
  123 stele din 1021 tip -I eşecuri mono unde C câştigat dar se opreşte câştigătoare dacă dat voturi ACB 
 1240 stele din 10003 eşecuri mono tip-I unde C câştigat dar se opreşte câştigătoare dacă dat voturi ACB 
12088 stele din 99549 eşecuri mono tip-I unde C câştigat dar se opreşte câştigătoare dacă dat ACB voturile

Deci putem încheia tip-I probabilitatea eşec pentru IRV 3-candidat alegerilor este

(13 125 1,278 12,134 + 8 123 1240 12088) / (92 1015 9985 100,008 + 89 1,021 10003 99549)
= 27009/221762
= 12.18%
care cu un bar eroare generos este (12,2 ± 0,1)%, sau 1 failure per 8.2 alegeri.

Aici este programul analog pentru eşec monotonie de tip-II; aceasta randamentele (2.312 ± 0,001) rată de eşec%.

pentru NNL 2 la 5 face 
NN: = 6 * 10 ^ NNL; # NN = nr. de experimente a încerca = 600, 6000, 60000, 600000 
FailCt: = 0; # counter iniţial zero, 
CBwinsCt: = 0; # contraanaliza asemenea iniţial zero, 
pentru i la 1 la NN face efectua # experimente NN 
   pas # 1: genera obişnuit aleatorie numere ca 6 tipuri privind votul count 
   ABC: = RandomNormal (); 
   ACB: = RandomNormal (); 
   BAC: = RandomNormal (); 
   BCA: = RandomNormal (); 
   CAB: = RandomNormal (); 
   CBA: = RandomNormal (); 
   dacă (CAB + CBA> ABC + ACB şi # O elimd în formă originală IRV alegerilor 
      BAC + BCA> ABC + ACB şi # O elimd în formă originală alegerilor IRV 
      CAB + CBA + ACB> BCA + BAC + ABC # C victorii alegerilor IRV versiunea originală 
   ) apoi 
      CBwinsCt: = CBwinsCt +1; # a simplifica, vom examina doar alegerile care "C" castigat cu "B" secundă 
      x: = min (BCA + BAC-CAB-CBA, 0.5 * (CBA + BCA + BAC-ABC- ACB-CAB)); 
      dacă (x> 0 si OEC + CBA <ABC + ACB + x şi OEC + CBA <BAC + BCA-x   
           # după x BAC (Andor BCA) voturi mutat la B la A apoi C elimd & B victorii 
           # în ani muncă mai mari înapoi, am uitat această ultimă condiţie şi deci luat "rată de eşec 4.9%"; 
           # când program mai vechi este corectata, este de acord cu această unul. 
      ) apoi 
         FailCt: = FailCt +1: # counter increment deoarece mono-II exemplu eşec data vazut 
      Fi; 
   Fi; 
od; 
imprimare (FailCt, "out of", CBwinsCt, "tip de-II eşecurile mono unde C câştigat dar B câştigă dacă B oferă o voturi"); 
OD;

Fericire acest program pare să nu prezintă nici eroare analogă cea I corectată (martie 2009) în primul program.

Un model diferite probabilistic (Dirichlet)

Un model diferite probabilistic este uneori propus în care cele 6 votul-numere (pentru cele 6 tipurile vot ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, ACB) sunt să fie alese uniform în simplex 5-dimensional

ABC+ACB+BAC+BCA+CAB+CBA=100, ABC≥0, ACB≥0, BAC≥0, BCA≥0, CAB≥0, CBA≥0

(Folosind 3-litere nume variabilă). Eu numesc această "modelul Dirichlet." Dacă înlocuiţi "RandomNormal ()" în programelor pentru calculator de mai sus prin "RandomExponential ()" atunci veţi primi în acest sens (ca Dirichlet fost primul să sublinieze).

În modelul Dirichlet, pentru alegeri IRV 3-candidat am găsit în acest fel folosind necorectate programul că probabilitatea de tip-I eşec monotonie fost (2.2140 ± 0.0057)% care acord uşor bine cu Eivind Stensholt constatarea [ Nonmonotonicity în AV , Votare materie 15 (iunie 2002) ] că "2.17% din profile sunt nemonoton." ( Întâmplător, Stensholt probabil eronat crede că modelul Dirichlet este aceeaşi ca model de culturi imparţial, şi eronat este conştienţi de tip II eşecului. Stensholt nu a citează eronată hârtie Allard, care dacă el văzuse ar fi lăsat l stiti despre tip-II. ) toate acestea, acest era greşit! Credeam era potrivit pentru câţiva ani datorită acordului cu Stensholt, dar apoi am gasit o hârtie către Quas Anthony în care el găsit o număr substanţial mare, şi imediat după am gasit eroare (care Stensholt şi am avut ambele făcut)! După rularea corectate programului, găsesc că

Probabilitatea de tip-I eşec monotonie este (4.5133 ± .0008)%.

Acest acord cu Quas lui exacta constatarea de 13/288 = 4.513888 ...%

Anthony Quas: rezultatelor anormale în votului preferenţial ( pdf ), Stochastics & Dynamics 4,1 (2004) 95-105.

şi găsirea independent calculat (asemenea exact) de 13/288 asemenea prin

D.Lepelley, F.Chantreuil, S.Berg: The likelihood of monotonicity paradoxes in run-off elections Mathematical Social Sciences 31,3 (June 1996) 133-146.

Este surprinzător cât de mult schimbă numărul atunci când vom schimba modelul subiacente probabilistic în acest mod: 12,2% în primul model versus numai 4,5% în al doilea.

Pentru tipul-II monotonie, timp ce noi în nostru original model Cultura imparţial găsit o 2.312% monotonie-eşec rata, în modelul Dirichlet ajungem (0,98 ± 0.094)%. Un program de computer am avut scris independent ani înainte în scopul de corectare calcul Allard lui găsise (1.050 ± 0,001)% care acord fin cu, şi confirmă noastră prezentă (0,98 ± 0.094)%; dar păcate un mai târziu mai rula programului meu prezenţi gasit (0.90935 ± 0,0001)%. Numărul incorect Allard lui era 0.025%.
( fapt ar trebui să fie posibilă în modelul Dirichlet a exprima toate aceste probabilităţi ca numere exacte raţionale decurg din polytope-volum Raporturile, spre deosebire de noastre aproximative Monte-Carlo Rezultate obţinute. Poate numărul prezent este 1 / 110 = .0090909 ... )

Încă alt model probabilistic (1-dimensionale "spectru politic")

În acest model, candidaţii N sunt random-uniforme puncte privind intervalul reale (0,1). Alegătorii sunt distribuţia uniformă privind această interval acelaşi. Fiecare Comenzi alegător cei mai buni candidati-to worst-în ordinea crescătoare distanţă departe de ea.

Quas spune că el a evaluat probabilitatea unui eşec monotonie tip-I, atunci când N = 3 în acest model şi este exact 5/72 = 6.9444 ...%. Computerul meu (Monte-Carlo calcul) constată (6.945 ± 0,002)%, confirmând Quas. Quas [după unele clarificarea redactare său] creanţele caracterizarea următoarele de 3-candidat tip-I-nemonoton alegerile IRV în model spectrul politic:

Există este un non-monotone [tip I] alocare voturilor dacă şi numai dacă candidatul centrale devine mai mult de 25% din vot şi este primul să fie eliminate. (În acest caz, centrist automat este un " câştigător Condorcet . ") Pentru a vedea această, reţineţi că în acest caz, candidatul non-câştigător exterior poate da câştigătorul suficient privind votul ei să aibă voturi uşor mai mic decât centrist. Ea apoi atunci este eliminată (având în acum cele mai putine voturi) şi toate ei voturilor transferul către centriste mai degrabă decât să câştigătorului mai extreme, permiţând centrist să devină câştigător nou.

Asta a fost, în fapt, exact ce sa întâmplat în Burlington 2009 .

Aparent 3-candidat tip-II-nemonoton alegerile IRV sunt imposibile la acest model. Mulţumim Peter J. Sloan pentru indicare această out.

La început, confuz, am avut crezut alegerile următoarele fost non-monotone [tip II]. [Ca o imagine:
      0 ============== P ======= M =============== E = 1
Cu Votul scurgerile Instant (IRV cu alegători cinstit), E este eliminată, apoi M victorii (versus P). Cu pluralitate , P doar câştigă.
Dar dacă unele susţinătorii P necinstit & strategic da voturile lor P la E (adică schimba voturile lor cinstit P> M> E la E> M> P), atunci M este eliminată în IRV, după care P victorii . Asta e nonmonotonicity:. Mai puţine voturi P provoca P, să câştige ]

My computer constată frecvenţa apariţiei de care tip de eşec este (2.7778 ± 0,0003)%, care sugerează pentru mine că răspunsul exactă este 1/36 = 2.7777 ...% . Totuşi această nu corespunde definiţia tehnică a nonmonotonicity! Aceasta alegeri este un exemplu de inversare vot strategic care este de fapt un chiar nebuna patologie decât nonmonotonicity - maximal minciuna despre preferinţele dumneavoastră cauzele favorit dvs. spre câştiga, timp ce votarea onest ar i provoace să piardă. Dar deoarece strategi sunt asemenea fiind necinstit despre M vs E, această vorbind strict nu este "nonmonotonicity" care ar implica necinste despre P numai.

Dovadă peter Sloan lui imposibilitate (schiţă):

Să numim câştigătorul pluralitatea P, M candidatul centrale, pentru moderată, şi E candidate celelalte ("extremiste"). Clasament numai onest pentru alegătorii P lui permis temeiul spectrul politic 1D este P> M> E. Acum a obţine o nonmonotonicity tip-II paradox, avem nevoie unii alegători IRV să retrogradaţi P în vot lor, cauzand P să câştige. Acest lucru nu va lucra dacă alegătorii clasat cinstit doilea sau al treilea P deoarece nu va modifica ordinea eliminare IRV (excepţia probabil prin eliminarea P). Deci trebuie să avem unii alegători P comutarea de la P> M> L fie L> M> P sau L> P> M, paradoxal cauzând P să câştige. Asta e nepermis deoarece această nu nu părăsesc clasamentul relativă a restul (adică L şi M) neschimbate. Clasamentul onest este M> L. Sau sfârşit, P> M> L ar putea comuta la alte M> L> P sau M> P> L, dar aceasta nu va ajuta la eliminarea M, deci nu va lucra. Concluzie: tip-I non-monotonie este genul permisă numai în o cursa trei candidat temeiul modelului spectrului politic. QED

Limita de unui număr mare de candidaţi

TEOREMA: Luaţi în considerare N-candidat alegerile fie în

  1. The "random Alegerile modelul" (toate voturilor N! egal de probabil pentru fiecare de alegători V independent, V → infinit alegători) sau
  2. Modelul Dirichlet (tipurile N! privind votul-contează suma intre la 100% şi fiecare sunt ≥ 0, şi toate astfel N!-tupluri egal de probabil; solicită Quas această "model simplex").
Apoi: probabilitatea că alegerea IRV rezultată este "non-monotone" în sensul tip-I cã trecerea voturi de la X la Y (unde Y este câştigătorul IRV) va provoca Y la opri câştigătoare ... abordări 100% ca N devine mari. Într-adevăr, probabilitatea de monotonie este <N -0.99 pentru toate N. suficient de mare Într-adevăr, continuare, această monotonie non-aproape sigur întâmplă în un număr uriaş de moduri simultan, adică pentru un număr uriaş (crescânde pentru infinit cu N) de posibile înlocuire-câştigător candidaţii X.

SCHITA DOVADA: caz Dirichlet a această teoremă fost dovedit de Quas (în articolul noi citată) ca său "teorema 1." Caz alte poate fi dovedit prin un argument paralel subliniat către Warren D. Smith în 2009. În ambele cazuri argumentul veniturile aproximativ cum urmează.

Let X be the IRV winner and let Y be preferred over X by a majority (earlier lemmas by Smith & Quas had shown Y exists with probability→1 since X is a Condorcet winner with probability→0 since indeed with probability→1 no Condorcet Winner există; vedea acest puzzle pentru dovezile acestor lemelor). Voturilor Schimbarea spunând "X> Y" to vot acum X top (aparent "îmbunătăţire" pentru X). Acum uşor mai puţin de jumătate buletinele spun X este de top. Dar Y este acum câştigătorul IRV cu probabilitate → 1 deoarece este clasat top prin aproximativ 1 / N din alegătorilor (versus circa 0,5 / N pentru oricine altcineva langa X) deci cu probabilitatea → 1 Y supravietuieste la rundă IRV finală apoi bate X. (Această, să fie solid, necesară adevărat unele estimări, dar Quas le făcut.) Deci "îmbunătăţire" stopped X câştigătoare.

Mai multe detalii: În cazul 1 (modelul alegerilor aleatoare cu V → ∞), distribuirile beta Quas lui deveni distribuirile normale (cele corelat cu corelatii cunoscute). Quas lui constatarea (la top de p.104 în articolul său publicat) că "1-probi (S 1 ∩ S 2 ) = O (n -0.99 ) " asemenea, este adevărat în Model aleatorie Alegeri: S 2 parte este deoarece din această puzzle şi S 1 parte este trivial deoarece în V → ∞ limiteze varianţei în fiecare vot-totalului este zero, . (Întâmplător, argumentul Quas pentru S 1 în model Dirichlet poate fi simplificat considerabil dacă ştiţi că atunci când N → ∞ "aproape toate masa unui regulat N-simplex cu margini unitate constă în o minge de radiusαN -1 / 2 "). Restul Argumentul Quas lui atestă teoremei lui 1 atunci trece prin nealterat (ca schitate sus) la dovedi teorema noastre. QED

OBSERVAŢIE: teorema mai sus şi dovada (cu modificări uşoară) ar trebui să funcţioneze asemenea pentru WBS-IRV loc de IRV. Pentru BTR-IRV aceasta va funcţiona condiţia că, odată procesul BTR-IRV aceasta winnows jos la 3 supravieţuitori, fie ultimele două langa X atât luate două câte două-înfrângerea X, sau cel care nu este luate două câte două-învins către celălalt. Aceste cerinţe nu sunt neapărat vor fi îndeplinite de înşişi (deşi ei trebuie mulţumiţi cu o probabilitate decent, spun 0,4 sau aşa), dar pot fi probabil asigurată cu probabilitatea → 1 cu unele cantitate mica de premeditare - supravieţuitorii nedorite necesitatea de a fi eliminate în runde mai devreme deoarece X devine invocat înaintea ele în buletine un pic mai des.

Conjectura: În modelul 1D spectrului politic cu candidaţii N, alegerile IRV este non-monotone (tip-I insuficienţă) cu probabilitatea ≥ 1-N -0.2 pentru toate N. suficient de mare

SCHITA DOVADA: Am schiţa acum unei dovezi de conjectura Quas lui că alegerilor IRV în model 1D spectrul politic este nonmonotone cu probabilitate → 1 atunci când N = # candidaţi → ∞. Sunt optimist această schiţă probei este, în fapt, convertibile în o dovadă veritabil, dar (ca din 20 martie 2009) nu încă dispus să spun Sunt sigur.

Prin lui Black teoremei singlepeakedness , un Condorcet câştigător Y există şi este candidatul situat mai apropiat la 1 / 2. Fie X fi câştigător IRV.

Să ne selectează C candidat oarecum mai aproape la 1 / 2 decât X (dar pe aceeaşi parte) şi (spunem) având o regiune relativ mare Voronoi iniţială (adică număr comparativ mare iniţială de top-rank voturi). [Vom nevoie de un Ierna aici că cu probabilitate> 1-O (ε), distanţa între X şi 1 / 2 depăşeşte ε şi există sunt candidaţi numeroase situate între 1 / 2 şi X.]

Considerăm un cabală, organizat de mine, de alegătorilor care ridica X în voturilor lor şi ale căror strategic obiectiv este de a crea un "zonă tampon de siguranţă" pentru C. Asta este, unele dintre votanţi care preferă Z> C> X, va ridica X anterior Z. Ideea este această va provoca rivali apropiere C lui (Z) să fie eliminată înainte de C este eliminată (chiar dacă C mod normal ar fi fost eliminate deoarece strivite între două rivali). În acest fel mi se pare putem pastra C viaţă. În acelaşi mod mi se pare putem spori supravieţuirea de candidaţi alte selectate. Facem IRV vântura candidaţilor jos conform unui fix timp-evolutia distribuţie, şi cu supravietuitorii artificial uniform-distanţate. (Punctul de spaţierea uniforme este mici schimbări vârful soldului; ". Bucks cheltuite" dă ne mai mult control pentru mai puţine) Eventual C va deveni câştigătorul IRV, întregime datorită alegătorilor ridicarea vechi IRV-câştigător X în voturile lor cu fără alte schimbare.

Presupunem în etapa unde există supravieţuitori M, Distanţe toate candidatul inter-sunt uniform const / M dar cu aditiv "zgomot" de ordine ± (N / M) P / M pentru unele exponent constantă P cu 0 <P <1. (Cred că acest toate va funcţiona cu P = 2 / 3.) Apoi vom ar trebui să fie capabil sa controleze lucruri la elimina candidaţilor chiar-numerotate, astfel obtinerea M / 2 supravieţuitorii asemenea foarte-uniform distanţate, timp ce cheltuind aproximativ const · ( N / M) P vot-alterari (adică ridicarea X în acea fracţiune a voturi).

Înainte de a începe argumentul mai sus, lăsăm procesul IRV ruleze normal (neperturbat) până are winnowed stabilire a câmp la, spunem, N 4/5 supravieţuitori, şi numai după acel punct încercaţi să perturbe procesul. IRV natural, deoarece elimină candidaţi cu regiunile Voronoi mici, va tind să uniformize inter-candidat Distanţe. Într-adevăr, consider că poate fi indicat ca un Ierna care (cu probabilitatea → 1 atunci când N → ∞), după IRV a winnowed stabilire a câmpul la O (N κ ) candidaţii cu 0 <κ <1, Distanţe între candidaţi rămaşi automat vor fi uniforme la în cadrul un factor constant. Dacă vom selectaži un mănunchi a tuturor candidaţi în, spun N -3/5 din N 1/5 -spaţiate puncte zăbrele şi asiguraţi-vă (via manipulare vot) există este unul supravieţuitor în fiecare mănunchi atunci obţinem o situaţie cu lângă- uniformă spaţiere.

După aceea, modificările vot ("sensibilizare X sus Z") poate fi făcut pentru manipula fiecare procesului IRV fara a afecta etapelor premergătoare. De exemplu, presupunem avem o vot de forma "Q> Q> Q> Q> Z> C >...> X >..." unde Qs standului pentru candidaţii eliminate în precedent runde IRV. Putem ridica apoi X mai sus Z pentru a obţine "Q> Q> Q> Q> X> Z> C >..." şi toate deciziile precedente eliminare sunt afectate. (Putem gaj niciodată să ridice X la top-rank;. cu probabilitatea → 1 că nu va sacrifica suficient controla să rănesc nimic) Prezenta fel, dacă lucrăm stele manipulări să facă câmpul după IRV rundă # 2 57 (spunem) provin efectuează cale vrem, putem apoi pot adăuga asemenea manipulări să facă câmp # 2 58 iasa asa cum doriti fără distruge gambits precedente că avut manipulat câmpurile după runde 2 57 , 2 56 , etc .

Cheltuielile total (adică # buletine de vot modificate) asupra procesului IRV întregul este apoi upperbounded prin aproximativ const · Σ k (N / 2 K ) P care este o serie convergent geometrică cu suma intre = const ° N P . Aceasta a fost o schiţă a (practic) o dovadă inductiv care putem controla întreaga istorie alegerilor IRV (cu probabilitatea succes → 1), prin ridicarea X din cadrul const ° N P buletine de vot. În acest caz la sfârşitul zilei procesului IRV va au winnowed jos pentru a X versus C. În context C va avea o regiune Voronoi mare decât X şi deci va câştiga deoarece voturilor suplimentar X luat, anume const ° N P , este sublinear nu şi suficient să modifice concluzia că C este majoritate-preferat peste X (cu probabilitatea succes> 1-N P-1 sau aşa, oricum - exemplu dacă X nefericire erau situate foarte aproape la 1 / 2 acestui sistem nu ar funcţiona ).

Se pare decât multe (spun cel puţin N .1 ) Alternative din "C" ar fi posibilă în acest argument, dovedind nu numai că nonmonotonicity aproape-sigur se întâmplă, dar asemenea aproape sigur întâmplă în un număr imens de moduri simultane. QED

OBSERVAŢIE: Problema conjecturilor mai sus şi schiţa dovadă va nu lucra pentru WBS-IRV si Pentru BTR-IRV loc de IRV, deoarece ambele alege întotdeauna câştigători Condorcet, unu există cu probabilitate → 1 la acest model, şi raisng un câştigător Condrocet în voturi întotdeauna încă lasă el un câştigător Condorcet.

Quas avut în minte un diferit dovada-argument pentru această conjectură [el dă chiar înaintea începerii de secţiunii 3 din hârtie său]. Idee Lui ar fi pentru X-sensibilizare alegătorii a încerca să spori supravieţuirea candidaţilor situate în apropiere la X care mod normal ar fi fost eliminate. Apoi la unele X punct vor găsi sine înconjurat de două rivali surprinzator-încă-viu, şi deci vor fi eliminate. Quas notează Ierna că, în acest model 1D, orice candidat care, în orice etapă în procesul IRV, este o " minim local, ", adică căror vecinii fiecare au mai top-rang voturi decât o face, nu poate câştiga. Astfel, ridicarea X în voturilor opreşte X câştigătoare.

Indiferent dacă putem dovedi, conjectura pare sa fie adevărat deoarece Quas îmi spune el are "dovezi calculator convingătoare" pentru ea.

O altă problemă deschis -? Ce despre "nr-show paradoxurile" Este o întrebare deschisă dacă un analog din prezentul "→ teoremă eşec 100%" detine nu numai pentru nonmonotonicity, ci asemenea pentru "eşec participare." (Conjecturally, o face.) Vedea puzzle # 55c .

Rezumat

3-candidat IRV alegerilor
Probabiliste modelul tip-I insuficienţă pro tip-II insuficienţă pro monotonie insuficienţă prob
Întâmplare-alegeri = imparţial cultură (12.157 ± 0,001)% (2.3119 ± 0,0005)% ( 14.469 ± 0,002 )%
Dirichlet [uniformă în 5-simplex] 13/288 = 4.513888 ...% (.90935 ± 0,0001)% ( 5.4232 ± .0001 )%
1D "politice spectru" 5/72 = 6.9444 ...% (2.7778 ± 0,0003) *% sau 0 ( 9.7222 ± 0.0003 )% sau 5/72
* Fapt% 2.7778 este pentru "vot inversarea" strategia nu şi tip-II nonmonotonicity. Vorbind strict urmă este imposibilă.

Cele mai bune apropierea realităţii probabil află undeva între modelele Dirichlet şi imparţial Cultură ... şi Quas lui "1D politică spectru" modelul evident nu.

N-candidat alegerile IRV în N → ∞ limită
Probabiliste modelul tip-I insuficienţă pro monotonie insuficienţă prob
Întâmplare-alegeri = imparţial cultură → 100% → 100%
Dirichlet [uniformă în (N! -1)-simplex] → 100% → 100%
1D "politice spectru" → 100% (intuite) → 100% (intuite)

Asemenea reţineţi că multiple alegerile winner STV poate fi aproximativ considerată ca o secvenţă de IRV unice câştigător alegeri şi alegerile multiwinner tind să aibă o mulţime de candidaţi. Prin urmare, ar părea practic garantată că alegerile astfel STV va expune non-monotone jenante - cu câştigătorii mai şi candidaţi mai efectuarea aceste jenante mai probabil.

Vă rugăm notifică warren.wds AT gmail.com ale oricăror valori îmbunătăţite / corectate.


Înapoi la pagina principală