STOC 2011 - Teoria infinitului Ramsey randamentele o teorema dihotomie complexitate pentru CSP peste graficele

In acest post, voi discuta Teorema lui Schaefer pentru Grafice de Bodirsky si Pinsker, care Michael Pinsker prezentat la STOC 2011. Imi place tehnica dovada principal al acestui document: incepe cu un obiect finit, acesta lovitura de pana la un obiect infinit, utilizeaza tehnici de la teorie Ramsey infinitului pentru a arata ca obiectul infinit trebuie sa aiba regularitati, utilizeaza aceste regularitati pentru a obtine in limitele complexitate si P NP.

Teorema lui Schaefer

Versiunea standard a Teorema lui Schaefer este o declaratie cu privire la complexitatea de a gasi misiuni satisface pentru un set de relatii booleene. Este o teorema dihotomie: fie set de relatii se incadreaza in una din cele sase cazuri, in care caz este rezolvabil in , Sau nu, caz in care gasirea de misiuni este satisfacerea -Complet. Ca un "evident", de exemplu, in cazul in care set de relatii nu este intotdeauna false, dar este intotdeauna valabil in cazul in care toate variabilele sunt setate la TRUE, atunci gasirea unei solutii este (clar) polinomiala-timp calculabil. Ca un exemplu mai putin evident, un set de relatii, care este echivalenta cu o conjunctie de clauze binare pot fi rezolvate in timp polinomial.

Intr-un sens, atunci, se poate considera Teorema lui Schaefer a fi o "ramificatie" de tip SAT-fenomene: se explica mai exact atunci cand -Integralitatii va aparea. Intentia de suport de hartie cu Bodirsky si Pinsker este de a obtine o ramificatie similara in stabilirea relatiilor in cazul in care sunt definite peste universul de grafice, in loc sa fie relatii arbitrare Boolean. Destul de sigur, ei descopera o dihotomie similare - fie seturi de relatii sunt tractably solvabili, sau acestea sunt -Complet.

Graph-SAT

Fara a-mi-l definesc in mod oficial, haideti sa presupunem ca avem o logica de ordinul intai, care pot exprima cu privire la faptele noduri si muchii - un limbaj de grafice. Lasa sa fie un set finit de formule in aceasta limba de grafice. Autorii definesc problema satisfiabilitate urmatoarele.

Graficul-SAT ( ):

INSTANTA: Avand in vedere un set de variabile W si cu o formula in limba de graficele de forma in cazul in care fiecare pentru se obtine de la una dintre formulele in prin substituirea variabilelor din de variabile de la W,

INTREBARE: Este este satisfacator?

Teorema principale autorii dovedi este o versiune Shaefer Teorema lui de Graph-SAT.

Teorema: Pentru toate care sunt seturi finite de formule in limba de grafice, problema Graph-SAT ( ) Este fie -Complet, sau rezolvabil in timp polinomial.

Aceste seturi finite de formule pot fi considerate a fi probleme de satisfactie constrangere (de CSP) peste graficele, astfel incat sa putem lua in considerare aceasta teorema a raspunde la intrebarea, "Dat fiind un set de criterii am dori un grafic pentru a satisface, este posibil sa se construiasca un Graficul ca indeplineste aceste criterii, sau este greu intractably (atata timp cat -Complet este intractably greu)? "

Foarte vag dovada schita

Pentru a schita dovada de reale, mi-ar fi sa se introduca mai multe definitii de la algebra universal, si, ei bine, eu nu voi. Ma voi limita la urmatorul citat din hartie, si cateva observatii de propriile mele.

Pentru fiecare set de formule vom prezenta o structura relationala astfel incat Graph-SAT ( ) Este echivalent cu [intr-un anumit sens].... Structura relationala are o definitie de ordinul intai in... unic numarabil infinit Graficul omogen universal... Aceasta perspectiva ne permite sa foloseasca asa-numitele universal-algebrice abordare, si, in special, polimorfisme sa clasifice complexitatea de calcul a Graph-SAT probleme..... Dovada noastra se bazeaza pe rezultatele extrem de puternice de la teorie structurale Ramsey, vom folosi aceste rezultate pentru a gasi modele regulate in comportamentul de polimorfisme privind structura [Graficul universal], care, la randul sau, ne permite sa gaseasca analogii cu structuri pe domenii Boolean.

Algoritm pentru a determina daca un set de formule Graficul este nu este satisfacator cu urmatorul text: se determina care clona (aproximativ, set de operatiuni in algebra de Graficul universal numarabile) setul apartine. Exista mai multe clone finit, si toate sunt clasificate in lucrare, fie ca-polinomiale timp rezolvabil sau -Complet. (A se vedea figura 5 din hartie am legat, sau figura 1 din versiunea STOC, pentru o diagrama de clone, iar linia de demarcatie intre maleabil si greu de rezolvat.)

Manuel Bodirsky, si Michael Pinsker (2011). Teorema lui Schaefer pentru Proceedings Grafice de 43 anual ACM Simpozion pe tema Teoria de calcul
Useful Info