Back to site
Since 2004, our University project has become the Internet's most widespread web hosting directory. Here we like to talk a lot about web development, networking and server security. It is, after all, our expertise. To make things better we've launched this science section with the free access to educational resources and important scientific material translated to different languages.

Simetria in Cristalografie

Cuprins

Introducere

In cristalografie, simetria este utilizat pentru a caracteriza cristale, pentru a identifica repetarea parti din molecule, si sa simplifice atat de colectare a datelor si aproape toate calculele. De asemenea, simetria de proprietatile fizice ale unui cristal, cum ar fi conductivitatea termica si activitatea optica trebuie sa includa simetrie ale cristalului. 1 Astfel, o cunoastere aprofundata de simetrie este esentiala pentru o Cristalograful. O descriere clara, scurta de simetrie cristalografice a fost pregatita de Robert Von Dreele.

Un obiect este descrisa ca fiind simetric cu privire la o transformare in cazul in care obiectul pare sa fie intr-un stat care este identic cu starea sa initiala, dupa transformare. In cristalografie, cele mai multe tipuri de simetrie poate fi descrisa in termeni de o miscare aparenta a obiectului, cum ar fi un anumit tip de rotatie sau de traducere. Miscarea aparenta se numeste operatie de simetrie. Locatiile in cazul in care operatiunile de simetrie sa apara cum ar fi o axa de rotatie, un plan oglinda, un centru de inversiune, sau un vector de traducere sunt descrise ca fiind elemente de simetrie.

Simetria in cristale

Discutia noastra de simetrie in cristalografie ar trebui sa inceapa cu o descriere de cristale. Cristalele sunt definite ca solide, care au o structura atomica cu raza lunga de actiune, 3-dimensionale comanda. Din pacate, acest ordin raza lunga de actiune nu poate fi absolut confirmate de catre orice alta metoda decat o tehnica difractie. Cu toate acestea, exista cateva observatii care pot fi realizate, care va sugereaza cu tarie ca un esantion este cristalina inainte de un experiment de difractie se intreprinde.

De obicei, cristale au fete plate si margini ascutite. De asemenea, multe cristale vor avea una sau mai multe directii, care poate fi desfacut curat. Probele cu o forma rotunda natural, sau probe care au un model de fractura concoidal sunt aproape intotdeauna descris ca fiind un "pahar", avand in nici un semnificativ, cu raza lunga de, 3-D ordine.

Cand te uiti la mai multe cristale de la un material, veti observa ca in curand, desi cristalele pot avea dimensiuni diferite, toate cristalele au aceeasi forma sau obicei. In special, unghiurile intre anumite perechi de fete ale diferitelor cristale va fi aceeasi. Aceasta observatie a fost facuta de primul Nicholas Steno in 1669. 2 Aceasta observatie a devenit cunoscuta ca legea a constantei unghiuri interfaciale.

Cristale cu diferite forme

Figura 1. Modele de cristale care prezinta unghiuri constante. 3

Steno si altele, in secolul 17 au fost interesati si de specificul aduce de cristale, care le-ar permite sa mentina aceeasi unghiurile dintre perechi de fete. 4 Aceste oamenii de stiinta credeau ca cristalele trebuie sa se faca in mod regulat a unor componente-se repeta. Prin aceste studii timpurii, Rene-Just Hauy a fost in masura sa presupunem ca, daca cristale de calcit si granate cubi au fost construite din blocuri de mai multe mici, atunci aceste blocuri ar putea fi usor folosit pentru a descrie fetele acestor cristale din punct de vedere al indicilor rationale 5 Prezentul. dreptul de indici rationale constituie baza de cristalografie optice.

Rhombdodecahedron construit din blocuri dePentagondodecahedron construit din blocuri deScalenohedron construit din blocuri de

Figura 2. Modele de Hauy lui Traite de mineralogie (1801) - sub forma de cristal au fost redesenat in rosu 5.

Aceste componente sunt repetabile periodic-acum cunoscut sub numele de "celule de unitate". Dimensiunile unei celule unitate sunt descrise de lungimi de cele trei axe, a, b, si c, si cele trei unghiuri interaxial,?,?, si?. In cele mai multe lucrari publicate lungimile axiale sunt exprimate in termeni de A (angstromi), precum si unghiurile interaxial sunt exprimate in termeni de ° (grade).

Unitatea de celulare

Figura 3. Unitatea de celule care prezinta parametri de celule.

Exista mai multe optiuni de a repeta blocuri in orice latice dat. Principiile de baza care definesc Lattice este ca fiecare punct grilaj trebuie sa fie intr-un mediu identic ca orice punct de zabrele alte, si ca blocurile individuale in zabrele trebuie sa aiba cel mai mic volum posibil. Deseori, exista multe moduri pentru a selecta vectori dintre punctele de zabrele si chiar spatiile de reteaua de ei insisi puncte. Acestor vectori unic zabrele sunt numite vectori baza sau un set de baza. Cateva exemple 2-dimensionale din aceste alegeri cu zabrele sunt prezentate mai jos.

Grile posibil 2D pentru o gama de obiecte 2D

Figura 4. Optiuni diferite de vectori zabrele si zabrele puncte 6.

Atunci cand cercetatorii discuta despre un material special, care au nevoie pentru a lucra de la o descriere standard sau conventionale din celula unitate pentru acel material. Astfel, crystallographers au ales urmatoarele criterii de selectare a celulelor unitate. Prin conventie marginile unitatea de celule sunt alese pentru a fi dreptaci (a? b este directia de c), pentru a avea cea mai mare simetrie, si sa aiba volumul mai mic de celule. Daca alte considerente simetrie nu pot trece peste, atunci celula este ales astfel incat a? b? c, si?,?,? si toate <90 ° sau toate cele 90? °. Acest tip de celule se numeste redus de celule. Exista mai multe reguli pentru a obtine alte celula conventional redusa pentru un anumit material. 7

Materialelor cristaline sunt separate in 7 sisteme de cristale diferite. Aceste sisteme de cristal sunt cel mai usor identificate prin constrangerile asupra parametrilor celulei. Retineti, totusi, ca in ciuda constrangerilor celula parametru sunt doar conditii necesare. Astfel, o anumita proba ar putea avea parametri de celule care par sa cada intr-o categorie in eroare experimentale, dar sunt de fapt mai mici de simetrie.

7 sisteme de cristal sunt enumerate in Tabelul 1 de mai jos. In sistemul cel mai mic simetrie, triclinic, nu exista restrictii privind valorile parametrilor celulei. In alte sisteme de cristal, simetria reduce numarul de parametri zabrele unice asa cum se arata in tabel. Anumite conventii au fost urmate in Tabulating parametrii. In sistemul monoclinic, una dintre axe este unic, in sensul ca acesta este perpendicular pe celelalte doua axe. Aceasta axa este selectat prin conventie, fie ca axa b sau c, astfel incat fie? sau? sunt? 90 °, respectiv. Retineti ca c-unic celulele monoclinic sunt comune in literatura franceza si b-unic celulele sunt comune in cele mai multe alte limbi. In sistemele tetragonal, trigonala, si hexagonale, o axa de simetrie contine mai mare. Prin conventie acestei axe este selectat ca axa c.

Tabelul 1. Sisteme de cristal
Crystal System # Parametrii de celule
Triclinic 6 o? b? c;?????
Monoclinic 4 o? b? c;? =? = 90 °,?? 90 °
Ortorombica 3 o? b? c;? =? =? = 90 °
Tetragonal 2 a = b? c;? =? =? = 90 °
Trigonal
Hexagonal 2 a = b? c;? =? = 90 °,? = 120 °
Romboedric 2 a = b = c;? =? =?? 90 °
Hexagonal 2 a = b? c;? =? = 90 °,? = 120 °
Cub 1 a = b = c;? =? =? = 90 °

Cele sapte sisteme de cristal fiecare descrie metode separate pentru ca simpla 3-dimensional paravane pot fi construite. Ca cu toate sistemele de zabrele, Grile cristaline sunt considerate a fi "puncte de zabrele" pe colturile celulei unitatii. Lattice puncte sunt selectate astfel incat mediul local in jurul valorii de orice punct zabrele special, este identic cu mediul in jurul valorii de orice punct de zabrele alte.

Unele Grile trigonal poate fi exprimata pe baza fie un spatiu hexagonal sau romboedric. Aceste Grile sunt prezentate in desenele de mai jos. Retineti ca vectorii romboedric zabrele poate fi exprimat intr-o orientare avers a), sau intr-o orientare inversa b) de mai jos.

Latice romboedric in orientarea aversLatice romboedric in orientarea inversa

Figura 5. Grile romboedric in orientarile avers si revers.

Este posibil ca, uneori pentru a genera un spatiu cu simetrie mai mare in cazul in care vectorii zabrele sunt alese astfel incat unul sau mai multe puncte de zabrele sunt, de asemenea, in centrul de o fata de Lattice sau in interiorul celulei unitatii. Aceste Grile cu zabrele de puncte suplimentare sunt descrise ca paravane centrat. Grile de puncte cu zabrele doar pe la colturi sunt numite primitive si sunt desemnate cu simbolul P. Retineti ca celulele redus descrise mai sus sunt intotdeauna primitive. In 1849, Auguste Bravais constatat ca toate cristale regulat ar putea fi descrisa in termeni de tipuri Lattice doar 14 pentru cele 7 sisteme de cristal. 8

geometrice a transforma un spatiu primitiv pentru un spatiu C-centrat

Figura 6. Un zabrele c-centric arata vectorii a si b zabrele si a vectorilor A 'si B' al celulei primitive 9.

Non-primitiv paravane poate avea una, doua, sau trei puncte suplimentare zabrele per celula unitate. Grile cu un punct zabrele suplimentare, cum ar fi un A -, B -, sau C-centrate celule au un punct de zabrele suplimentar situat pe centrul de unele fata de cristal. Puncte suplimentare latice in A-centrat celulele apar pe fetele bc. In mod similar, puncte suplimentare grilaj in B-centrat celulele apar pe fetele ac, si puncte de zabrele vor aparea pe fetele AB a C-centrat celule. Grile cu corpul-centrat, I-centrat, celulele au un punct de latice suplimentare in centrul celulei. Celulele romboedric care se bazeaza pe un spatiu hexagonala mod conventional puncte de zabrele de la (2 / 3, 1 / 3, 1 / 3) si (1 / 3, 2 / 3, 2 / 3). Face-centrat, F-centrate celule au puncte de zabrele pe toate fetele.

Simetrie, in general, mai mare metrice este identificat de catre programe de calculator. Cu toate acestea, aceste paravane centrat pot fi uneori identificate printr-o examinare simpla a parametrilor celulei. Cand doua lungimi de celule de un spatiu redus sunt aproximativ egale si cele doua unghiuri de celule corresponging sunt, de asemenea, aproximativ egale, atunci celula este, probabil, centrat.

Urmatorul tabel listeaza cele 14 tipuri de Bravais zabrele. Simbolurile Bravais sunt o combinatie a sistemului de cristal si desemnarea zabrele. Triclinic tipuri incepe cu litera "a" care vine de la "anorthic" din anorthite mineral un mineral gasit pentru a avea triclinic simetrie. Celelalte tipuri zabrele, in general, incepe cu prima litera a sistemului de cristal.

Tabelul 2. Bravais Lattice Simetria
Cristal
Sistem
Bravais
Zabrele
Laue
Simetrie
Triclinic P ( C i ) 1 (C i)
Monoclinic m P, m S 2 / m (C 2h)
Ortorombica o P, S * o, ° F, o am mmm (D 2h)
Tetragonal t P, n-am 4 / m (C 4h), 4/mmm (D 4h)
Trigonal #
hexagonal h P ( C 3i ), 3 m ( D 3d ) 3 (C 3i), 3 m (D 3d)
romboedric R R ( C 3i ), 3 m ( D 3d ) 3 (C 3i), 3 m (D 3d)
Hexagonal h P 6 / m (C 6h), 6/mmm (D 6h)
Cub c P, F c, c-am ( T h ), m 3 m ( O h ) m 3 (T h), m 3 m (O h)

† Simbolul S pentru paravane monoclinic reprezinta un spatiu cu A, C,, sau am centrare (b-unic) sau A, B,, sau am centrare (c-unic).
* Simbolul S pentru paravane ortorombica reprezinta pentru oricare dintre cele trei tipuri de grilaj lateral-centric, A, B, sau C.
# Deoarece zabrele P trigonal si un spatiu hexagonal P sunt identice in aparenta, aceste doua sisteme sunt considerate pentru a face un singur tip Bravais zabrele.

14 Bravais Grile

Figura 7. Grile Bravais 10

Simetria de rotatie

Doua metode distincte de a descrie operatiunile de rotatie exista simetrie. Aceste doua seturi de descriptori sunt nomenclatura Hermann-Mauguin 11 si 12 din nomenclatura Schonflies. Hermann Carl - Charles Mauguin sistem este de obicei folosit pentru a descrie cristale si simetrie cristalografice. The Arthur Schonflies conventie este in primul rand folosit pentru a descrie simetria in molecule discrete, in spectroscopie optica, si in mecanica cuantica. In aceste note, Hermann-Mauguin notatie va fi listat primul, urmat de notatia corespunzatoare Schonflies in paranteze.

Exista doua tipuri de baza de operatiuni simetrie de rotatie rotatii corespunzatoare a muta un obiect,. Dar nu schimba neindemanare a obiectului. Rotatii necorespunzatoare include o rotatie adecvata, precum si o componenta care inverseaza neindemanare a obiectului.

Un n-ori (C n) functionarea corecta de rotatie reprezinta o miscare contra-sensul acelor de ceasornic (360 / n) ° jurul unui ax prin obiect. Daca o operatiune de n-ori mai mare de rotatie se repeta de n ori, apoi obiectul revine la pozitia initiala. Urmatoarea descriere a operatiunilor de simetrie de rotatie este similara cu cea data de Prof. Stephen Nelson. 3 In desenele urmatoare, axa de simetrie perpendiculara se extinde de la pagina.

O rotatie necorespunzatoare poate fi gandit ca apar in doua parti, in primul rand o rotatie corespunzatoare se efectueaza, urmata de o inversare printr-un anumit punct de pe axa de rotatie. In Nomenclatura HM, rotatii necorespunzatoare sunt numite uneori roto-inversiuni., where n represents the type of proper rotation component of the operation. Rotatii necorespunzatoare sunt desemnati de catre simbolul n, unde n reprezinta tip de componenta de rotatie corecta a operatiunii. (i), 2 (?), 3 ( S 6 ), 4 ( S 4 ), and 6 ( S 3 ) improper rotations are commonly observed in crystals. Ca si in operatiunile de rotatie corespunzatoare, numai 1 (i), 2 (?), 3 (S 6), 4 (S 4), si 6 (S 3) rotatii necorespunzatoare sunt frecvent observate in cristale. Aceste axe sunt pronuntate ca "bar 3" in Statele Unite si "bar 3" in multe tari europene. Retineti ca, in notatie Schoflies, axe necorespunzatoare rotatie sunt considerate ca fiind roto-reflectie axe - o rotatie adecvata, urmata de un proces de reflectie prin plan perpendicular pe axa de rotatie. in HM is equivalent to S 6 in Schonflies. Astfel, 3 din HM este echivalenta cu S 6 in Schonflies.

Anumite tipuri de axe de rotatie necorespunzatoare apare frecvent si sunt date a denumirilor de constructii. Acestea includ un centru de inversiune (sau centru de simetrie), precum si un plan oglinda. operation (i) is simply an inversion center. O operatiune 1 (i) este pur si simplu un centru de inversiune. operation (?) represents a mirror operation that is perpendicular to the corresponding proper rotation axis. O operatiune 2 (?) reprezinta o operatiune de oglinda, care este perpendiculara pe axa de rotatie corespunzatoare corespunzatoare. In notatia HM, oglinzile retrovizoare sunt etichetate ca "m".

( S 4 ) operation contains neither a 4-fold rotation axis ( C 4 ) nor an inversion center. Retineti ca nu este necesar nici pentru operatiunea de rotatie sau din centrul de inversie sa existe ca o operatiune de grup pentru axa de rotatie necorespunzatoare sa existe, de exemplu, 4 (S 4) operatiunea nu contine nici o axa de 4 ori rotatie (C 4 ), nici un centru de inversiune.

Un site web care ilustreaza grupurile de puncte de baza speciilor moleculare este disponibil la adresa: http://symmetry.otterbein.edu/gallery/. Retineti ca acest site foloseste software-ul Jmol, astfel incat Java trebuie sa fie activat in browser-ul dumneavoastra.

Proiectii stereographic

Desen operatiunile tridimensionala simetrie pe o suprafata bidimensionala, cum ar fi aceasta pagina a fost o problema dificila. O modalitate de a depasi aceasta problema este prin utilizarea de o proiectie stereographic. Asemenea cifre sunt, de asemenea, eficiente in descrierea relatiile unghiulare dintre fetele unui cristal.

Pentru a construi o proiectie stereographic, imagineaza-ti ca obiect cu o simetrie data sau de suprafata se afla in centrul unei sfere. Luati in considerare sfera de a avea o axa polar, care este taiata in doua de un plan ecuatorial. Caracteristici proiect de interes cu privire la obiectul din centru, afara la suprafata sferei. Apoi, proiectul puncte de pe suprafata sferei, prin planul ecuatorial, pana la punctul in care intersecteaza axa polare sfera in emisfera opusa. Proiectia stereographic este dat de planul ecuatorial si toate intersectiile din planul de puncte proiectate. In cazul in care punctul de proiectie a inceput in emisfera nordica, apoi proiectia acesteia pe planul ecuatorial este reprezentat ca un "plus". Subliniaza originare din emisfera sudica sunt notate cu un "cerc". Uneori, punctele generate de operatiunile de simetrie necorespunzatoare sunt, de asemenea, notate cu o virgula pentru a indica neindemanare opus.

Celula axa cu cea mai mare unitate de simetrie este, de obicei selectat ca axa polare. Axele de rotatie nu sunt incluse in planul ecuatorial sunt desenate cu simbolul reprezinta tipul de axa in punctul de proiectie pe planul ecuatorial. Axe de rotatie in planul ecuatorial sunt trase in afara de proiectie se termina in sageti. Avionului Mirror sunt desenate ca linii de ingrosat. Centrele de inversiune sunt desenate ca cercurile deschise in centrul axei polare.

Stereographic Proiectie Descriere

Figura 8. De proiectie Stereo 13.

EJW Whittaker a pregatit o discutie mai aprofundata a Proiectii Stereo.

Grupuri cristalografice Obiective

Simetria operatiuni pot fi combinate pentru a genera alte operatiuni simetrie. Atunci cand aceste operatiuni sunt scrise matematic, operatiunile sunt aplicate intr-o ordine de la dreapta la stanga. Astfel, in expresia de mai jos, x obiect este operat in primul rand prin C si apoi de catre B. Simbolul operatiunea "*" indica doar faptul ca unele transformare este aplicat la obiect.

A * x = B * C * x

Aceste operatiuni pot fi astfel combinate pentru a forma un grup de operatiuni simetrie. Aceste grupuri de operatiuni sunt numite grupurile de puncte, deoarece elementele de simetrie ale acestor operatiuni toate trec printr-un singur punct al obiectului. In studiul de grupuri, matematicienii au descoperit ca astfel de grupuri au intotdeauna urmatoarele proprietati.

1. Identitatea Unul functionare a grupului trebuie sa existe ca, atunci cand functioneaza, fie inainte sau dupa orice alta operatiune alt grup produce transformarea aceeasi ca cea a operatiunii celuilalt grup. Uneori, operatiunea de identitate se numeste "nu face nimic" operatiune. (A * E = E * A = A, E este operatiunea de identitate)

2. Inverse Pentru fiecare operatiune de grup trebuie sa existe oa doua operatie, care atunci cand sunt combinate cu prima operatiune produce operatiunea de identitate. Operatiunea inversa anuleaza efectul de orice operatiune. Operatiunea de identitate este, de asemenea, inversul sau. (A * B = B * A = E, E este identitatea, B este inversul A)

3. Asociativitatea ordinea de combinare a operatiunilor nu conteaza. [A * (B * C) = (A * B) * C]

In plus fata de aceste proprietati, toate grupurile cristalografice simetrie poseda proprietatea urmatoare.

4. Ridicarea Atunci cand oricare doua operatiuni ale grupului sunt combinate, atunci operatiunea rezultanta trebuie sa fie un membru al grupului. (A = B * C, A, B, C sunt operatiuni ale grupului)

In cele din urma, unele grupuri prezinta, de asemenea, proprietatea de comutativitatea. Ordinea de operatiuni in grupuri comutative nu conteaza. (A * B = B * A)

In cazul in care operatiunile corespunzatoare si necorespunzatoare rotatie descrise mai sus sunt combinate in conformitate cu normele de grupuri, acestea duc la un total de 32 de grupuri unic punctul cristalografice. Aceste grupuri sunt enumerate in tabelul de mai jos. Grupurile centrosymmetric punct sunt prezentate in caractere aldine.

Tabelul 3. Grupuri cristalografice Obiective
Sistem Esential Punct
Simetrie Grupuri
Triclinic nici unul 1, 1
Monoclinic 2 sau m 2, m, 2 / m
Ortorombica 222 mm sau 2 1 222, mm 2, mmm
Tetragonal 4 sau 4 , 4/ m, 4 mm, 4 2 m, 4/ mmm 4, 422, 4, 4 / m, 4 mm, 4 2 m, 4 / mmm
Trigonal 3 sau 3 , 32 2, 3 m 2, 3 m 2 3, 3, 32 2, 3 m 2, 3 m 2
Hexagonal 6 sau 6 , 6/ m, 6 mm, 6 2 m, 6/ mmm 6, 622, 6, 6 / m, 6 mm, 6 2 m, 6 / mmm
Cub 23 , 432, 4 3 m, 4/ m 3 2/ m = m 3 m 23, 2 / m 3, 432, 4 3 m, 4 / 3 2 m / m = m 3 m

1 mm Simbolul 2 reprezinta, de asemenea, grupurile de puncte de 2 mm si m 2 m.
2 Aceste grupurile de puncte reprezinta seturi de grupuri, de exemplu, 32 reprezinta 321 si 312

Prin conventie urmatoarele norme au fost adoptate pentru a descrie grupurile de puncte. Atunci cand o axa de rotatie este urmat de o bara oblica si de un "m", atunci aceasta oglinda este perpendiculara pe axa de rotatie. Pentru sistemele ortorombica cele trei personaje descriu simetrie de-a lungul celor trei axe, a, b, si c, respectiv. Pentru celulele de tipul tetragonal, trigonala, si hexagonale, axa C este unic, iar primul simbol din grup punctul prezinta simetrie de-a lungul axei unic. 0]} directions. In sistemele tetragonal, simbolul doua prezinta simetrie de-a lungul {[100] si [010]} de ghidare si simbolul treilea prezinta simetrie de-a lungul {[110] si [1 1 0]} de ghidare. 0]}, and the third symbol shows symmetry along {[1 1 0], [120], and [ 21 0]}. In celulele trigonal si hexagonale, simbolul doua prezinta simetrie de-a lungul {[100], [010] si [11 0]}, si simbolul treilea prezinta simetrie de-a lungul {[1 1 0], [120], si [21 0 ]}. 0], [01 1 ], and [ 1 01]}. In sistemele romboedric pe axele romboedric, primul simbol prezinta simetrie de-a lungul [111], iar al doilea simbol simetria prezinta de-a lungul {[1 1 0], [01 1], si [1 01]}. ], [ 1 1 1 ], [ 11 1]} in the second symbol and {[1 1 0], [110], [01 1 ], [011], [ 1 01], and [101]} in the third symbol. Cubic simboluri arata {[100], [010], [001]} in primul simbol, {[111], [1 11], [1 1 1], [11 1]} in simbol a doua si a {[1 1 0], [110], [01 1], [011], [1 01], si [101]} in simbol al treilea.

Urmatoarele exemple demonstreaza cum stereographic proiectiile poate ajuta sa inteleaga grupurile de puncte.

De 2 ori simetria care arata relatia de simetrie si coordoneaza

Figura 9. Proiectia stereographic de axa de rotatie a 2-ori. Cruce in partea de sus, dreapta a desenului este alocat, coordonatele (x, y, z), operatiunea de identitate. Daca elementul de 2 ori simetria este paralel cu axa de b atunci crucea in partea de jos, partea stanga a desenului este alocat coordonatele (-x, y,-z).

Raport 2 / m simetrie care arata de simetrie si coordoneaza

Figura 10. Proiectie stereographic de 2 / m rotatie. In plus fata de punctul in figura precedenta, aceasta proiectie prezinta un cerc in regiunea din stanga jos cu coordonatele (-x,-y,-z), care este un loc generat de centrul de inversiune. Retineti ca o combinatie de axa de rotatie de 2 ori si centrul de inversiune conduce la o alta operatiune - un plan oglinda normal de 2 ori. Coordonatele relativa a unui punct legat de oglinda din b sunt (x,-y, z). Generarea unei oglinda prin adaugarea unui centru de inversiune la o axa de 2 ori este un exemplu de proprietate inchidere al grupului. Oglinda este indicat de cercul exterior puternic al proiectiei.

Alte grupuri si punctul lor de simetrie legate de coordonate pot fi obtinute intr-o maniera similara cu cea aratata mai sus. Toate cele 32 de grupurile de puncte de cristalografice sunt prezentate in proiectiile stereographic de mai jos.

Proiectie stereographic de grupuri mici la punctul de simetrieProiectie stereographic de grupuri de ridicat la punctul de simetrie

Figura 11. Proiectiile stereographic celor 32 de grupurile de puncte de cristalografice

Micro-traduceri

Operatiuni de rotatie simetrie pot fi combinate cu traducerile parte din celule unitatii crearea de operatiuni complet nou simetrie. Rotatii adecvate combinata cu traducerile da nastere la operatiunile descrise ca fiind axe surub. Avionului oglinda care sunt combinate cu traduceri da nastere la operatiuni de aterizare avionul.

Simbolul pentru o axa surub este n m, unde n indica tipul de rotatie si traducerea este (m / n) a celulei unitatii. Astfel, o axa 3 1 surub este un 3-ori invers acelor de ceasornic rotatie, urmata de o traducere de 1 / 3 a celulei unitatii. Efectua aceasta operatie de trei ori este echivalenta cu o traducere integrala celula unitate. Retineti ca un surub 3 2 axe se roteste in directie opusa ca 3 1.

Operatiunile de Glide apar atunci cand o operatiune de oglinda, planul de aterizare, este urmata de o traducere, vectorul de alunecare. Traducere de ghidare sunt fie paralel cu o directie celula unitate sau sunt paralele cu o combinatie de ghidare de celule. Atunci cand aluneca sunt descrise separat, ele sunt date simbolurile f g in care scrisoarea g indica directia componentei oglinda si f indica directia de traducere. Astfel, o alunecare a, b este un plan o alunecare in directia b, ceea ce inseamna ca obiectul este reflectata intr-un plan paralel cu planurile (010) si apoi traduse printr-un / 2. Glide operatiuni avionul exista in toate cele trei directii si in perechi de ghidare. Aluneca care traduce de catre jumatate din celula in doua directii diferite sunt numite n aluneca. Un obiect este supus unei operatii n c atunci cand este reflectata in planul (001), si tradus de (a + b) / 2. Aplicarea doua operatiuni identice de aterizare la un obiect, este echivalenta cu aplicarea unui traducere celula unitate la acel obiect.

a, b,, sau c alunecare Un exemplu de un plan a, b, c sau alunecare.

n alunecare Un exemplu de un plan n alunecare.

Exista un tip suplimentar de avion alunecare, alunecare de diamant, d. Ea apare doar in grupurile de spatiu cu celule fata sau corp-centrat, si este caracterizat de o traducere de (± un ± b) / 4, (b ± ± c) / 4, (c ± ± a) / 4, sau traduceri similare. Ca numitor presupune, 4 aluneca consecutive d sunt necesare pentru a reveni un obiect la o versiune grilaj-traduse de el insusi.

Intr-o recenta versiune a Mese International pentru Cristalografie, Vol.. A, dublu alunecare numit e-alunecare este descris. 14 alunecare e loc numai in celulele centrat si este definita printr-un plan perpendicular cu doua vectori aterizare legate de o operatiune de centrare. Acest tip de aterizare a fost propus de Raportul Nomenclatura a treia a IUCr 15.

Simetria de Lattice reciproca

Parametrii reale de celule sunt determinate de pozitiile relative ale punctelor de Lattice reciproce. De fapt, parametrii reciproce de celule sunt determinate in timpul unui proces cunoscut sub numele de indexare modelul difractie. Din parametrii de celula reciproca a parametrilor reali de celule sunt apoi calculate in functie de relatiile de mai jos.

a = b * c * x = (b * c * pacat? *) / V *

b = c * a * x = (c * a *? pacat *) / V *

c = a * b * x = (a * b * pacat? *) / V *

* V = 1 / V = a * b * c * (1-cos 2? *- cos 2? *- cos? 2 * + 2 cos?, cos? * * * cos?)

cos? = (cos?, cos? * * - cos?) / (? pacat * pacat? *)

cos? = (cos? * cos? * - cos?) / (pacat? * pacat? *)

cos? = (cos?, cos? * * - cos?) / (pacat? *? * pacat)

Clasa Laue

Intensitatile relative intr-un model de difractie sunt dependente de densitatea de electroni de distributie a esantionului. Aceasta distributie densitatea de electroni trebuie sa respecte simetria de cristal in sine. Aceasta simetrie este numit clasa Laue. Clasa Laue pentru un esantion este descris ca unul dintre cele 11 grupe punctul centrosymmetric. Retineti ca grupul corespunzatoare punctul centrosymmetric sau clasa Laue pentru un esantion poate fi identificat prin adaugarea unui centru de simetrie la operatiunile grupului punctul de vedere al grupului special punctul cristalografica a probei.

Legea lui Friedel

Centrul de suplimentare de simetrie se datoreaza, cel putin aproximativ, la faptul ca efectele de difractie sau interferenta sunt in mod inerent centrosymmetric. Intensitatea la punctul (hkl) in zabrele reciproc vine de la imprastierea de densitatea de electroni care este paralel cu planurile (hkl) in cristal. ) point comes from the electron density in planes parallel with the ( hkl ) planes in the crystal. In mod similar, intensitatea a punctului (hkl) provine din densitatea de electroni, in planuri paralele cu avioane (hkl), in cristal. ) planes are simply opposite in direction, then the intensities of the ( hkl ) and ( hkl ) points in the reciprocal lattice should be, at least approximately the same. Dar din moment ce avionului (hkl) si planuri (hkl) sunt pur si simplu in directia opusa, atunci intensitatile (hkl) si (hkl), puncte in reteaua de reciproca ar trebui sa fie, cel putin aproximativ aceeasi. ) is called Friedel's law. Aceasta relatie egalitatea intre intensites de (hkl) si (hkl) se numeste legea lui Friedel.

Pentru datele de intensitate de la un compus chiral, legea Friedel poate fi rupt prin imprastierea anormale de atomi de grele. In aceste seturi de date reteaua de reciproce are simetrie ca si simetrie al grupului punct din cristal. Astfel, in cazul in care grupul de simetrie punctul de cristal este dovedit a fi 222, atunci intensitatile ar expune 222 simetrie. Imprastierea anormal de atomi de grele, nu este un efect puternic, astfel incat intensitatile va expune in continuare de aproximativ legea lui Friedel.

Simetria-echivalente intensitatile

O modalitate simpla pentru a determina care datele ar fi trebuit sa intensitati echivalent bazat pe simetria este de a considera proiectia stereographic din grupul de puncte de proba. Dintr-o simpla examinare a proiectiei stereographic, puteti determina simetria legate de (x, y, z) coordonatele. Pur si simplu conversia la coordonatele x h, y coordonatele la k, si Z coordonatele la valorile l. Intensitatile simetria-echivalente sunt apoi determinate.

Un cristal monoclinic, are simetrie Laue de 2 / m. Coordonatele echivalente, presupunand o axa b-unice, sunt date ca (x, y, z), (-x, y,-z), (-x,-y,-z), si (x, y-, z). k l ), ( h k l ), and ( h k l ) lattice points should have equivalent values. Astfel, intensitatile (HKL), (h k l), (h K L), si (h k l) puncte zabrele ar trebui sa aiba valori echivalente. ), ( h kl ), ( h k l ), and ( h k l ) should also be equivalent to each other but are not necessarily equivalent to ( hkl ), etc. Retineti ca acest lucru inseamna, de asemenea ca intensitatile (hk l), (h KL), (h K L), si (h k l) ar trebui sa fie, de asemenea, echivalente cu ele, dar nu sunt neaparat echivalente cu (HKL), etc.

In cazul in care un compus monoclinic este chiral atunci intensitatile ar fi de asteptat sa aiba numai 2 simetrie grupul de puncte. k l ) data. Astfel, intensitatile de date (hkl) sunt echivalente cu intensitatile de date (h k l). ) = I ( h kl ); I ( h k l ) = I ( h k l ); and I ( h k l ) = I ( h k l ). In mod similar, I (HK l) = I (h KL); I (h K L) = I (h k l); si I (h K L) = I (h k l).

Daca un cristal se intampla sa aiba toate cele trei unghiuri de celule = 90.0 ° in eroare experimentale, atunci majoritatea lucratorilor ar putea ghici ca proba a avut simetrie ortorombica. In cele mai multe cazuri, acest lucru cred ar fi corect, dar nu in toate cazurile. k l ) and I ( h k l ) = I ( h k l ), but I ( hkl )? I ( h k l ), then the sample has monoclinic not orthorhombic Laue symmetry. Daca I (hkl) = I (h k l) si I (h K L) = I (h k l), dar I (hkl)? I (h K L), apoi proba a monoclinic simetrie Laue nu ortorombica. Simetria clasei Laue este dictata de simetrie al intensitatilor Lattice nu reciproce simetria aparenta a parametrilor celulei. Parametrii celulei numai dicta simetria cea mai mare posibila a probei.

Absentele sistematica

Unele operatiuni simetrie pot fi usor identificate de informatii specifice in intensitatile de difractie. In special, celula de centrare, axe cu surub, si operatiunile de alunecare avionul pot fi identificate prin faptul ca acestea provoaca anumite grupuri de puncte de difractie care urmeaza sa fie sistematic absent. Aceste operatiuni includ toate, o simetrie de traducere micro-.

Luati in considerare un set de date care are o operatiune de c alunecare reflecta in planul normal la axa b. Operatiunile de simetrie ar putea fi (x, y, z) si (x,-y, z +1 / 2). Daca exista N atomi in celula unitate, atunci exista N / 2 atomi unic. Summations de mai jos sunt peste atomii j si a alerga de la 1 la N / 2.

F (hkl) = f? j exp i 2? (HX j + j + ky LZ j) +
F? j exp 2? i [HX j - ky j + l (1 / 2 + z j)]

Luati in considerare date cu k = 0. Pentru aceste date devin factori de structura:

F (h 0 l) = f? j exp i 2? (HX j + LZ j) +
F? j exp 2? i (j + HX LZ j) exp2? I (l / 2)

F (h 0 l) = f? j exp i 2? (HX j + LZ j) [1 + O exp?]

Daca L este un intreg impar, atunci voi exp? = -1 si F (h 0 l) = 0. Daca L este un intreg, chiar, atunci F (h 0 l) nu este, probabil, (dar ar putea fi accidental) 0. Conditiile absenta sistematica pentru operatiunile de simetrie altele, pot fi obtinute intr-un mod similar a fost facut de mai sus.

Un tabel de aceste conditii absenta este prezentat mai jos. Conditia de reflectie indica datele care pot fi date prezent, cu alte aceleasi conditii ar fi sistematic absent. Caracterul "n" poate fi orice numar intreg. Astfel, cu conditia ca pentru HKL, K + l = 2n +1, indica faptul ca, pentru clasa generala a varfurilor hkl ca suma de K + L ar trebui sa fie pozitiv pentru aceste varfuri de a avea o intensitate masurabila, si ca aceste varfuri cu k + l negativ nu trebuie sa aiba o intensitate masurabila daca o simetrie de centrare este prezent in simetrie al setului de date.

Este intotdeauna cele mai bune pentru a verifica absentele sistematice, si, prin urmare, pentru operatiunile de traducere care contin simetrie, in urmatoarele operatiuni celula pentru centrare, apoi alunecare avionului, in cele din urma si surubul axe. Acest ordin este important, deoarece operatiunile de simetrie mai mare, cum ar fi celula de centrare poate masca operatiuni de mai mica simetrie, cum ar fi avioanele de aterizare si axe surub. De asemenea, aceasta ordine de lucrari de la conditiile care au cel mai mare numar de absente posibile la conditiile cu absentele cat mai putin posibil pentru o proba data.

Retineti ca, daca un cristal prezinta conditia absenta sistematica de celula C centrarea apoi faptul ca pentru 0 KL, k = 2n nu indica neaparat o alunecare b reflecta intr-o. Aceasta conditie nu da informatii noi, pentru ca este o parte a conditiei de celule de centrare.

Tabelul 4. Starea sistematic Absent de reflectie.
Simetria Element Tipuri de Stare de reflectie
A centrat HKL K + l = 2n
B centrat h + l = 2n
C centrat h + k = 2n
F centrat K + L = 2n, h = 2n + l, h + k = 2n
Am centrat h + k + l = 2n
R (avers) -H + k + l = 3n
R (revers) h - k + l = 3n
Glide reflectand intr-o 0 kl
b alunecare K = 2n
c alunecare l = 2n
n alunecare K + l = 2n
d alunecare K + l = 4n
Glide reflectand in b h 0 l
o alunecare h = 2n
c alunecare l = 2n
n alunecare h + l = 2n
d alunecare h + l = 4n
Glide reflectand in c hk 0
b alunecare K = 2n
o alunecare h = 2n
n alunecare K + h = 2n
d alunecare K + h = 4n
Alunecare reflectand in (110) hhl
b alunecare h = 2n
n alunecare h + l = 2n
d alunecare h + k + l = 4n
Surub | | [100] h 00
2 1, 4 2 h = 2n
4 1, 4 3 h = 4n
Surub | | [010] 0 K 0
2 1, 4 2 K = 2n
4 1, 4 3 k = 4n
Surub | | [001] 00 l
2 1, 4 2, 6 3 l = 2n
3 1, 3 2, 6 2, 6 4 l = 3N
4 1, 4 3 l = 4n
6 1, 6 5 l = 6N
Surub | | [110] hh 0
2 1 h = 2n

Spatiu grupuri

Atunci cand cele 7 sisteme de cristal sunt combinate cu zabrele Bravais 14, grupurile de 32 puncte, axe cu surub, si avioane alunecare, Arthur Schonflies 12, Evgraph S. Federov 16, si H. Hilton 17 au fost in masura sa descrie grupurile de 230 unic de spatiu. Un grup de spatiu este un grup de operatiuni de simetrie care sunt combinate pentru a descrie simetria de o regiune a 3-dimensionale spatiu, celula unitate. In grupurile de puncte, elementele de simetrie toate trec printr-un singur punct din obiect. In grupuri spatiu, elemente de simetrie nu trebuie sa se intersecteaza la un singur punct, desi unele operatiuni pot intersecteaza intamplator la diferite puncte in celula.

, 4, or 6 axes. Compusi chiral care sunt pregatite ca un singur enantiomer se poate cristaliza in numai un subset de grupuri de spatiu 65 care nu au rotatii necorespunzatoare, cum ar fi centre de simetrie, avioane oglinda, aluneca, sau 3, 4, sau 6 axe.

Un grup de spatiu este desemnat printr-o scrisoare de capital de identificare a tipului retea (P, A, F, etc), urmat de simbolul grupului punctul in care elementele de rotatie si de reflectie sunt extinse pentru a include axe surub si alunecare avionului. Retineti ca grupul de simetrie punct de plecare pentru un grup de spatiu dat poate fi determinata prin eliminarea simbolul celulei de centrare al grupului de spatiu si de inlocuire a tuturor axelor surub de axe de rotatie similare si de inlocuire toate planurile de aterizare cu avioane oglinda. Simetria grup de puncte pentru un grup de spatiu descrie simetria reala a Lattice sale reciproce.

Serverul cristalografice Bilbao ofera o descriere a tuturor grupurilor de spatiu si generatoare de simetrie lor, pozitiile general, pozitiile Wycoff, subgrupuri conexe si supergroups, si normalizatorii. MW Meier a pregatit un set interesant de note la modele de grup spatiu care ilustreaza diferitele combinatii de elemente de la punctul simetrie grupul in grupe spatiu. Urmatorul tabel enumera grupurile unic spatiu separate prin sistemul de cristal si clasa Laue.

Tabelul 5. Grupuri de spatiu bazat pe sistemul de cristal si clasa de Laue
Cristal
Sistem
Laue
Clasa
Space Group
triclinic 1 P 1, P 1
monoclinic 2 / m P 2, P 2 1, C 2, PM, PC, Cm, Cc, P 2 / m, P 2 1 / m, C 2 / m, P 2 / C, P 2 1 / C, C 2 / c
ortorombica mmm
tetragonal 4 / m , I 4, P 4/ m, P 4 2 / m, P 4/ n, P 4 2 / n, I 4/ m, I 4 1 / a P 4, P 4 1, P 4 2, P 4 3, I 4, I 4 1, P 4, I 4, P 4 / m, P 4 2 / m, P 4 / n, P 4 2 / n, I 4 / m, I 4 1 / a
tetragonal 4 / mmm
trigonal 3 , R 3, P 3, P 3 1, 3 2 P, R 3, P 3, R 3,
trigonal m 3 m 1 m, P 3 1 c, P 3 m 1, P 3 c 1, R 3 m, R 3 c P 312, P 321, P 3 1 12, 3 1 P 21, P 3 2 12, P 3 2 21, R 32, P 3 m 1, P 31 m, P 3 c 1, P 31 C, R 3 m, R 3 C, P 3 1 m, P 3 1 C, P 3 m 1, P 3 c 1, R 3 m, R 3 c
hexgonal 6 / m , P 6/ m, P 6 3 / m P 6, P 6 1, P 6 5, P 6 2, 6 4 P, P 6 3, P 6, P 6 / m, P 6 3 / m
hexagonal 6 / mmm
cub m 3 , Pn 3, Fm 3, Fd 3, Im 3, Pa 3, Ia 3 P 23, F 23, I 23, P 2 1 3, I 2 1 3, Pm 3, Pn 3, Fm 3, Fd 3, Im 3, AP 3, Ia 3
cub m 3 m

Grupurile spatiului in caractere aldine sunt centrosymmetric.

Tabelul anterior enumera grupurile matematic-spatiu unic. In plus fata de aceste, exista multe non-standard grupuri de spatiu, dintre care unele sunt enumerate in "tabelele International pentru Cristalografie, Vol. A." 18 De exemplu, grupurile de spatiul P 2 1 / a si P 2 1 / n sunt variante a grupului de spatiu P 2 1 / c, care sunt adesea observate la literatura de specialitate. Unele grupuri non-standard de spatiu sunt raportate intr-o publicatie, astfel incat parametrii de celule de mai multe componente conexe pot fi mult mai usor de comparat. if the cell parameters in C 1 were similar to the cell parameters of the main compound. De exemplu, in cazul in care principalul compus intr-un document care se constata ca se afla in grupul de spatiu monoclinic C 2 / c, dar legate de un compus se dovedeste a fi triclinic, unii autori ar determina structura a acestui compus a doua in spatiul non-standard grupa C 1 in cazul in care parametrii de celula din C 1 au fost similare la parametrii celula de compus principal. In cele din urma unii autori ar publica structuri in grupuri spatiu non-standard, deoarece vectorii baza ale celulelor asociate ar produce unghiuri de celule, care au fost mai aproape de 90 °. De exemplu, structurile sunt de multe ori publicate in Pn, mai degraba decat PC-ul sau in I 2 / a, mai degraba decat C 2 / C, deoarece unghiul? ar fi mult mai aproape de 90 °. Atunci cand unghiurile? sunt mai aproape de 90 °, rafinamentul x si z coordonatele atomilor arata corelatia mult mai putin, si converg pentru a forma chimic-rezonabil structuri mai repede.

Urmatoarele tabele Lista simboluri grafice si dactilografiat folosit pentru a descrie operatiunile de simetrie in "tabelele International pentru Cristalografie, Vol. A." 19 Va rugam sa retineti ca simbolul este folosit pentru a indica faptul ca? operatiunea este perpendicular (normal) la pagina.

Tabelul 6. Avioane normale la planul de proiectie simetrie
Planul de simetrie Simbolul grafic Traducere Simbol
Planul de reflectie linie dreapta Nici unul m
Glide avionul punctate linie 1 / 2 de-a lungul liniei a, b,, sau c
Glide avionul linie punctata 1 / 2 normale la planul a, b,, sau c
Dubla aterizare avion 2 dot linie 1 / 2 de-a lungul liniei &
1 / 2 normale la planul
e
Diagonal aterizare avion dot linie 1 / 2 de-a lungul liniei &
1 / 2 normale la planul
n
Diamond aterizare avion dot linie sageata 1 / 4 de-a lungul liniei si
1 / 4 normale la planul
d
Tabelul 7. Planuri paralele cu planul de proiectie simetrie
Planul de simetrie Simbolul grafic Traducere Simbol
Planul de reflectie ell forma Nici unul m
Glide avionul ell cu sageata 1 / 2 de-a lungul sageata a, b,, sau c
Dubla aterizare avion 2 sageti 1 / 2 de-a lungul fie sageata e
Diagonal aterizare avion ell cu sageata diagonala 1 / 2 de-a lungul sageata n
Diamond aterizare avion diamant 1 / 8 sau 3 / 8 de-a lungul sagetilor d
Tabelul 8. Simetria Axe
Simetria Element Simbol grafic Traducere Simbol
Identitate Nici unul Nici unul 1
De 2 ori? pagina De 2 ori? pagina Nici unul 2
De 2 ori in pagina De 2 ori in pagina Nici unul 2
2 sub 1? pagina 21? pagina 1 / 2 2 1
2 sub 1 in pagina 21, in pagina 1 / 2 2 1
De 3 ori De 3 ori Nici unul 3
3 sub 1 31 1 / 3 3 1
3 sub 2 32 2 / 3 3 2
De 4 ori De 4 ori Nici unul 4
4 sub 1 41 1 / 4 4 1
4 sub 2 42 1 / 2 4 2
4 sub 3 43 3 / 4 4 3
De 6 ori De 6 ori Nici unul 6
6 sub 1 61 1 / 6 6 1
6 sub 2 62 1 / 3 6 2
6 sub 3 63 1 / 2 6 3
6 sub 4 64 2 / 3 6 4
6 sub 5 65 5 / 6 6 5
Inversare inversiune centru Nici unul 1
3 bar 3 bar Nici unul 3
4 bar 4 bar Nici unul 4
6 bar 6 bar Nici unul = 3/ m 6 = 3 / m
2 ori si inversiune 2 / m Nici unul 2 / m
2 sub 1 si inversiune 21 / m Nici unul 2 1 / m
De 4 ori si inversiune 4 / m Nici unul 4 / m
4 sub 2 si inversiune 42 / m Nici unul 4 2 / m
De 6 ori si inversiune 6 / m Nici unul 6 / m
6 sub 3 si inversiune 63 / m Nici unul 6 3 / m

Determinarea Grupul spatiul de un material

Identificarea grupului de spatiu adecvat pentru o proba data si de modelul sau de difractie este de multe ori drept inainte. Clasa Laue este determinat prima. Apoi absentele posibil sistematice sunt determinate sa identifice celula corespunzatoare conditiilor de centrare, avioane alunecare, si a axelor surub, daca este cazul. Din clasa Laue si operatiunile de simetrie identificate de absentele sistematice, alegerea spatiului de grup (e) este limitat, de obicei, unic sau intr-o foarte putine unul.

In cazul in care grupul de spatiu nu este unic determinat apoi solutia structura si pasii rafinament sunt judecate cu diferitele grupuri spatiu posibil pana la determinarea structura este finalizata. Incercati grupurile de spatiu incepand cu cea mai mare prima simetrie. In cazul in care grupul spatiul ales nu este cel mai mare spatiu de grup simetria, apoi sa fie sigur ca pentru a verifica elementele de simetrie suplimentare in structura folosind fie programul PLATON sau programul checkcif. 20,21

Informatii suplimentare despre compusul este adesea utilizat pentru a reduce alegerea grupului spatiu la una singura. In cazul in care compusul este chiral si este exprimata ca un singur enantiomorph, de exemplu, atunci compus poate cristaliza doar intr-unul dintre cele 65 de grupuri de spatiu chiral.

Datele care fuzioneaza sa determinati clasa Laue

Clasa Laue este, de obicei gasit prin calcularea Rint concentrare a datelor simetrie-echivalente pentru clasa Laue dat. O Rint adecvate pentru identificarea clasei Laue ar fi o valoare si 0,06. Valori mai mari decat de obicei, acest lucru sugereaza faptul ca proba cristalizat intr-un grup mai mic Laue simetrie.

Simetria-echivalente de intensitate de date sunt imbinate folosind urmatoarea relatie

F 2 =?? j F j 2 /? j?

in cazul in care sunt peste summations set de simetrie-echivalente de date. Uneori aberante sunt fie eliminate din setul de imbinate sau sunt date ponderi mai mici pentru a reduce efectele acestora asupra rafinament ulterioare.

Rint =? [? | F j 2 - <F 2> |] /? [(? F j 2) / n]

in cazul in care sumele interior sunt peste reflectii simetria-echivalent, precum si sumele exterior sunt peste date unice hkl. Termenul n este numarul de date echivalente pentru o hkl acordate fiind imbinate.

Teste pentru un Centru de simetrie

In cazul in care nu este un compus enantiomorph singur, atunci testele statistice pentru un centru de simetrie pot fi efectuate.

Distributii de probabilitate pentru celulele unitate centrice si acentric au fost derivate 22 si sunt prezentate mai jos. Aceste lipsa presupune ca densitatea de electroni este aleatoriu si se distribuie uniform pe intreg teritoriul celula unitate.

P -1 (| F |) = [(2) 1 / 2 / (? S) 1 / 2] exp (- | F | 2 / 2 S) (centric)

P 1 (| F |) = (2 | F | / S) exp (- | F | 2 / S) (acentric)

unde

S =? f j 2

S este o functie de factorii de imprastiere pentru atomi si, astfel, va scadea pentru pacat crestere (? / ?). Pentru a simplifica aceasta dependenta functionala de distributii privind ?, majoritatea testelor statistice utiliza factori normalizat structura, E hkl.

E hkl 2 = F hkl 2 / (?? f j 2)

in cazul in care f j = f j O exp (-B pacat ? 2 / ? 2) este factorul de imprastiere pentru atom jth si ? este un numar intreg, 1 sau mai mare, care corecteaza pentru faptul ca unele clase de reflectii au valori speranta ca sunt mai mici decat f? j 2 cu o suma intreaga.

Intrucat <| E h | 2> = 1 = S, distributiile devin

P -1 (| E |) = [(2 / ?) 1 / 2] exp (- | E | 2 / 2) (centric)

P 1 (| E |) = 2 | E | exp (- | E | 2) (acentric)

Aceste doua distributii sunt complet independente de variatie de? si sunt in mod semnificativ diferite unele de altele. Diferentele in doua distributii indica faptul ca celulele centrate pe unitate ar trebui sa aiba mai multe reflectii cu valori foarte puternice si foarte slab in comparatie cu celulele acentric unitate. Celulele Acentric unitate de obicei, tind sa aiba mai mult chiar si distributiile de date cu datele semnificativ mai slab decat celulele centrice. Comparand distribuirea unui set de date masurate cu cele doua distributii teoretice ar putea stabili prezenta sau absenta unui centru de simetrie in cristal in cauza.

Valorile medii pentru o varietate de functii de | E | poate fi estimata din doua distributii teoretice. Aceste valori sunt prezentate in tabelul de mai jos. Cele mai multe programe de calculator, care de testare pentru celulele unitate orientat calculeaza valorile medii pentru aceste functii de E si compare aceste valori experimentale cu valorile teoretice.

Tabelul 9. Valorile teoretice pentru Functii selectate de | E |
Centric Acentric
<| E | 2> 1.000 1.000
<| E 2 -1 |> 0.968 0.736
<| E |> 0.798 0.886

Trei rezerve trebuie amintit atunci cand se utilizeaza aceste teste. In primul rand, datele intensitatea trebuie sa fie relativ puternic. Seturi de date slab, avand in F 2 / ? <6,0, au prea multe date slabe pentru a oferi rezultate fiabile. In al doilea rand, aceste valori teoretice au fost obtinute presupunand o distributie uniforma a densitatii de electroni in celula unitate. Prezenta de atomi de grele sau de o distributie de atomi de neobisnuit tinde sa faca valorile experimentale presupune o distributie centrice. In cazul in care testele indica o celula unitate acentric, testele sunt susceptibile de a fi corecte. In cazul in care testele sugereaza o celula unitate centrice, testele pot fi corecte sau poate indica pur si simplu o distributie oblica de densitate de electroni in celula unitate. In cele din urma, in cazul in care testele indica o distributie hiper acentric, de exemplu, <| E 2 -1 |> <0,6, atunci este probabil ca proba este infratite.

Discutie definitiva a grupurilor de spatiu si de simetrie spatiu de grup este disponibil de la "Mese International pentru A. volum Cristalografie," 18 O buna introducere la simetrie si la "Mese International" a fost elaborat de catre Glasser Dent LS la IUCr predare web pamflete site-ul 23.

Grupuri Polar Space

Unele grupuri spatiu nu contine operatori simetrie care stabileste originea celulei de unitati in una sau mai multe directii. Aceste grupuri spatiu poate fi identificata prin examinarea pozitiilor simetria-echivalente pentru grupul de spatiu. Pentru oricare din cele trei directii de coordonate care nu exista operatii de simetrie care invertit, care coordoneaza (x -> x-), (y ->-y), sau (z ->-z). Pentru aceste grupuri spatiu polare, originea trebuie sa fie stabilita de catre atomi. Acest lucru poate fi realizat fie prin depozit de coordonate (e) in directia polare (e) a stabilit pentru un atom de rafinament in timpul sau prin aplicarea unei constrangere de a detine o anumita functie, de obicei, valoarea medie, de toate coordonatele in directia data (e) imobilizate. 24 Daca axa polare este stabilit de stabilire a coordona sau coordonate de un atom, apoi selectand cel mai greu atom in structura in acest scop, va duce la un rafinament mai stabil.

Inversare a unei structuri de cristal

Foarte putine metode de rezolvare a unei structuri sunt capabili de a alege in mod corespunzator configuratia corecta absoluta a unei structuri de cristal. Pentru aceste probe, structura este de aproximativ determinata si rafinat. Configuratia este apoi verificate fie prin imprastiere anormale sau prin cunoasterea si verificarea de configurare a compus in sine. De exemplu, peptide apar in mod natural ar trebui sa aiba helices cu o pofta de mancare stangaci.

In cazul in care structura este determinata de a avea generozitate incorecta, atunci structura este pur si simplu inversat prin intermediul unor punctul simetrie, cum ar fi (0, 0, 0) sau (0,5, 0,5, 0,5) si rafinament este finalizata. Grupul de spatiu trebuie sa fie, de asemenea, modificat in cazul in care structura cristalizeaza intr-unul din cele 11 perechi enantiomorphous de grupuri de spatiu. In cazul in care proba cristalizeaza intr-unul din 7 grup spatiu special, atunci inversarea trebuie sa fie printr-un punct de constructii.

Grupurile de 230 spatiu includ 11 grupe spatiu care apar ca enantiomorphous si P 4 1 32, P 4 3 32. Atunci cand un esantion cristalizeaza intr-unul din aceste grupuri de spatiu, unul dintre cei doi este ales in mod arbitrar pentru solutia de structura si rafinament la cel putin partial. Daca ulterior se stabileste ca grupul spatiul gresita a perechii a fost ales initial, apoi atomii sunt inversate si grupul de spatiu alternativ de pereche este utilizat in ajustari suplimentare.

Pentru 7 grupe spatiu alte inversiune trebuie sa fie efectuata prin intermediul unor punctul in alta structura decat (0, 0, 0) sau (0,5, 0,5, 0,5). Aceasta problema a fost descrisa pentru prima data in presa scrisa de catre Parthe si Gelato 25 si Bernardinelli si Flack 26. Un tabel cu aceste grupuri de sapte puncte si spatiu adecvat inversiune este enumerate mai jos.

Tabelul 10. Grupuri spatiu cu Puncte Inversiune de origine non-
Space Group Inversiune Obiective SHELXTL MOVE *
FDD 2 0.125 0.125 0.500 MOVE 0,25 0,25 1 -1
I 4 1 0.500 0.250 0.500 MOVE 1 0,5 1 -1
I 4 1 22 0.500 0.250 0.125 MOVE 1 0,5 0.25 -1
Am 4 1 md 0.500 0.250 0.500 MOVE 1 0,5 1 -1
Am 4 1 cd 0.500 0.250 0.500 MOVE 1 0,5 1 -1
2 d I 4 2 d 0.500 0.250 0.125 MOVE 1 0,5 0.25 -1
F 4 1 32 0.125 0.125 0.125 MOVE 0,25 0,25 0,25 -1

* Comanda din programul de rafinament SHELX pentru a inversa atomi.

Pozitii speciale

Multe grupuri spatiu contine operatiunile simple simetrie, cum ar fi centre de inversiune, axe de rotatie, si avioane oglinda. De obicei, locurile de aceste elemente simetrie sunt fie fixate prin conventie, sau o ruda fixa??la operatiunile de simetrie de alta natura in celula. Aceste pozitii de constructii sunt situate pe puncte (centre de simetrie), linii (axe rotatii) sau avionului (avioanelor oglinda). De asemenea, exista combinatii de operatiuni de simetrie, cum ar fi 2 / m puncte sau linii mm.

Un atom la una din aceste locatii vor avea mai putine pozitii legate de simetrie in celula decat ar fi un atom intr-o pozitie general. Mese International, Vol.. A 14 pozitii liste speciale numite adesea pozitiile Wycoff, precum si numarul relativ de posturi legate de simetrie.

Deoarece atomii de pe unele dintre aceste posturi de constructii sunt o distanta constanta de la simetria lor legate de atomi, aceste pozitii de constructii poate da nastere la datele intensitate sistematic absent. Aceste absente sistematice pot fi obtinute intr-o maniera similara cu cea a conditiilor de absenta sistematica de avioane de aterizare si axe surub derivate de mai sus.

Retineti ca aceste conditii se aplica numai absenta sistematica de atomi care stau pe pozitiile respective speciale. Aceasta poate fi o problema atunci cand atom (i) pe o pozitie de constructii sunt foarte grele si atomii ramase sunt in pozitii general, sunt mult mai usor si sunt, in general, distribuite uniform in celula. In aceste conditii, lipsa sistematica datorita atom de pe pozitia de constructii ar putea fi confundata ca o absenta sistematica generala, acoperind simetrie grupul spatiu. Astfel, atunci cand o structura nu poate fi rezolvata, si alte "trucuri" au fost incercat, poate fi necesar pentru a reduce simetrie pentru a incerca sa rezolve structura.

Referinte

  1. Aceasta este o scurta descriere a principiului lui Neumann. A se vedea s_principle http://reference.iucr.org/dictionary/Neumann ".
  2. N. Steno, 1669, De Solido intra Solidum Naturaliter Contento Dissertationis Prodromus.
  3. Din Stephen A. Nelson in http://www.tulane.edu/ ~ sanelson/eens211/introsymmetry.htm.
  4. JP Glusker, M. Lewis, si M. Rossi 1994, "Crystal Analiza Structura pentru chimisti si biologi." VCH Editori: New York, 5-6 (si referintele acolo).
  5. Rene-Doar Hauy, 1801, Traite de mineralogie.
  6. Din directia IUCr la http://reference.iucr.org/dictionary/Law_of_rational_indices.
  7. Hans Wondratschek, "Matrici, de mapare, si Cristalografie" in Uniunea Internationala a Crystallographers predare Pamflete disponibil la adresa: http://www.iucr.org/education/pamphlets.
  8. PM deWolff in "tabelele International pentru Cristalografie, Vol. A.", Sectiunea 9.3, Kluwer: Boston (1996) pp.741-748.
  9. A. Bravais, 1849, J. de matematica, 14., 137-180.
  10. C. Hermann, 1928, Z. Krist., 68, 257-287, si Cap. Mauguin, 1931, Z. Krist, 76., 542-558.
  11. A. Schonflies, "Krystallsysteme und Krystalstruktur." BG Teabuer: Leipzig (1891), si Schonflies A., "Theorie der Kristalstruktur" Gebruder Boratrager: Berlin, (1923).
  12. EJW Whittaker, 1984, "proiectie Stereo" in Uniunea Internationala a Pamflete predare Cristalografie disponibil la adresa: http://www.iucr.org/education/pamphlets/11.
  13. Th. Hahn in "tabelele International pentru Cristalografie, Vol. A..", Sectiunea 1.3.2, Kluwer: Boston (1996) p. 6.
  14. PM de Wolff, Y. Billiet, JDH Donnay, W. Fischer, RB Galiulin, AM Glazer, Th. Hahn, M. Senechal, DP Shoemaker, H. Wondratschek, AJC Wilson, si SC Abrahams, 1992, Acta Cryst., A 48, 727-732.
  15. ES Federov, 1885 "Elemente de studiu de Configuratiile." Trans. din Sankt Petersburg Min. Soc, Partea 21..
  16. H. Hilton, "Cristalografie matematica si teoria de grupuri de miscari." (1903) Oxford: Clarendon Press.
  17. Th. Hahn in "tabelele International pentru Cristalografie, Vol. A..", Kluwer: Boston (1996).
  18. Th. Hahn in "tabelele International pentru Cristalografie, Vol. A..", Kluwer: Boston (1996) punctul 1.4, pp. 7-10.
  19. AL Spek, 2007, PLATON, un instrument cristalografica multifunctionala, Universitatea din Utrecht, Utrecht, Tarile de Jos.
  20. Programul checkcif disponibil la adresa: http://journals.iucr.org/services/cif/checkcif.html.
  21. AJC Wilson, 1949, Acta Cryst, 2., 318-321, si AJC Wilson, 1942, Nature, 150, 151-152.
  22. LS Glasser Dent, 1997, "Symmetry", in cadrul Uniunii Internationale a Pamflete predare Cristalografie disponibil la adresa: http://www.iucr.org/education/pamphlets/11.
  23. HD Flack si D. Schwarzenbach, 1988, Acta Cryst, A 44., 499-506.
  24. E. Parthe si Gelato LM, 1984, Acta Cryst, A 40., 169-183.
  25. G. Bernardinelli si HD Flack, 1985, Acta Cryst, A41., 500-511.

Departamentul de Chimie si Biochimie | Universitatea din Oklahoma

Va rugam sa trimiteti comentariile si intrebarile pentru a managerului de laborator.
Ultima modificare 11 aprilie 2011
Published (Last edited): 06-09-2011 , source: http://xrayweb.chem.ou.edu/notes/symmetry.html