Scurtaturi

In vielen mathematischen Bereichen kommt es vor, dass man aus zwei Objekten, mit denen man sich gerade beschaftigt, ein neues konstruiert. So bildet man aus zwei Zahlen die Summe (oder das Produkt), aus zwei Mengen den Durchschnitt, aus zwei Aussagen die "UND"-Verknupfung dieser Aussagen usw.

Das gibt es im taglichen Leben ubrigens auch, zum Beispiel dann, wenn man aus zwei Substantiven ein zusammengesetztes Wort bildet (aus,,ZAUN'' und,,KONIG'' wird dann,,ZAUNKONIG'') oder wenn man Satzteile zu Satzen zusammenfugt.

Fur so eine Vorschrift gibt es den Fachausdruck Verknupfung. Verschiedene Eigenschaften von solchen Verknupfungen spielen eine wichtige Rolle, an die drei prominentesten soll hier erinnert werden: an das Assoziativ-, das Kommutativ- und das Distributivgesetz.

Das Assoziativgesetz

Wenn eine Verknupfung gegeben ist, so ist damit in jedem Fall klar, wie man zwei Objekte zusammenfugt. Was aber, wenn nun drei Objekte vorliegen? Wenn man die zur Abkurzung A, B und C nennt, so gibt es doch zwei Moglichkeiten:
- Man konnte zunachst A mit B und das Ergebnis dann mit C verknupfen.
- Mit gleichem Recht konnte man A mit dem Ergebnis der Verknupfung von B und C verknupfen.

Geht es zum Beispiel um die Addition und sind die Zahlen 4, 17 und 2 beteiligt, so konnte man den Ausdruck ,,4+17+2'' sowohl als
(4+17)+2 als auch als
4+(17+2)
interpretieren. Im ersten Fall wurde man auf 21+2, also auf 23 gefuhrt werden, im zweiten zunachst auf 4+19 und danach ebenfalls auf 23.

Verknupfungen, bei denen - wie eben im Fall der Addition - bei beiden Wegen das gleiche Ergebnis herauskommt, hei?en assoziativ; man sagt auch, dass fur diese Verknupfung das Assoziativgesetz gilt.

Wissenswertes dazu

1. Die meisten Verknupfungen, denen man begegnet, sind assoziativ: Addition, Multiplikation, Durchschnitte und Vereinigungen von Mengen bilden, logische Aussagen mit,,UND'' und,,ODER'' verknupfen usw. Es ist aber nicht schwer, auch solche zu finden, die das Assoziativgesetz verletzen. Man konnte zum Beispiel fur naturliche Zahlen die folgende Verknupfung betrachten:

(Zur Erinnerung: n^m ist das Produkt n·n·n···n, wobei insgesamt m Faktoren auftreten.) Geht es dann um die Zahlen 3, 1 und 2, so gibt es fur die Gesamtverknupfung zwei Moglichkeiten, namlich
(3¹)² und 3⁽¹²⁾.
Im ersten Fall ergibt sich 9, im zweiten 3; diese Verknupfung ist also nicht assoziativ.

Sprache (Zusammenfugen von Substantiven) genugt ubrigens auch nicht dem Assoziativgesetz: Bei einer,,ABSCHLUSSKLASSENARBEIT'' wei? man ohne weitere Erlauterung nicht, ob es sich um die letzte Klassenarbeit oder die Arbeit einer Abschlussklasse handelt.

Ein weiteres Beispiel fur mogliche Verwirrung durch fehlende Assoziativitat war am 18. 1. 2001 im Berliner Tagesspiegel zu besichtigen. Da ging es um die Forderung von Schulern im Mathematikunterricht, die Kernaussage war:

,,Madchen und Jungen aus Elternhausern mit hoherer Schulbildung werden besonders intensiv von ihren Lehrern gefordert.''

Im Einleitungssatz wurde die Aussage als,,(Madchen und Jungen) aus...'' interpretiert, weiter unten stellte sich heraus, dass eigentlich,,Madchen und (Jungen aus...)'' gemeint war.

Und noch ein Fundstuck:,,Justiz ermittelt nach Todesschussen gegen Polizisten" (Tagesspiegel vom 30. 1. 01: Diese Uberschrift kann auf zwei Arten verstanden werden).

Schlie?lich kann man die fehlende Assoziativitat auch bewusst dazu einsetzen, um eine doppeldeutige Botschaft zu formulieren. Das wird manchmal in der Werbung verwendet, die Berliner S-Bahn warb kurzlich fur ein ,,Schones Wochenende Ticket''.

2. Gilt das Assoziativgesetz, so wird das Arbeiten viel einfacher. Egal, wie viele Objekte verknupft werden: Man kann sich die Reihenfolge der Verknupfung aussuchen, alle Moglichkeiten werden zum gleichen Ergebnis fuhren. Das hat zur Konsequenz, dass man nicht durch Klammern vorschreiben muss, was eigentlich gemeint ist, und dadurch wird alles viel ubersichtlicher.

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Das Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz besagt, dass es auf die Reihenfolge bei der Verknupfung nicht ankommt: Die Verknupfung von a mit b fuhrt stets zu genau dem gleichen Ergebnis wie die Verknupfung von b mit a. Bekannte elementare Beispiele sind Addition und Multiplikation fur Zahlen. Beispiele aus anderen Bereichen: Die,,und" und die,,oder"-Verknupfung fur Aussagen sowie die Durchschnitts- und die Vereinigungsbildung fur Mengen sind kommutativ. Aber nicht alle Verknupfungen haben diese Eigenschaft: Ordnet man zwei naturlichen Zahlen n und m den Quotienten n/m zu, so ist diese Operation nicht kommutativ, denn n/m ist im Allgemeinen von m/n verschieden.

Wissenswertes dazu

1. Im Gegensatz zum Assoziativgesetz, das fur so gut wie alle praktisch vorkommenden Verknupfungen gilt, ist das Kommutativgesetz fur viele Situationen verletzt. Oft ist es so, dass Theorien, in denen dieses Gesetz gilt, dramatisch viel einfacher sind, als wenn man auf die Gultigkeit verzichten muss.
Ein auch schon in der Schule vorkommendes wichtiges Beispiel, fur das das Kommutativgesetz verletzt ist, ist die Verknupfung von Abbildungen. Sind zwei Abbildungen zum Beispiel durch
,,multipliziere mit drei'' und
,,quadriere!''
definiert, so entsprechen die Verknupfungen - je nach Reihenfolge - den Abbildungen (3x)² und 3x². Da diese Abbildungen unterschiedlich sind, ist die Kommutativitat verletzt.
2. Viele der bekannten Regeln fur Verknupfungen setzen das Kommutativgesetz voraus. Es spielt zum Beispiel beim Nachweis des Rechengesetzes

fur Potenzen eine wichtige Rolle.
3. In den physikalischen Anwendungen kann man oft Handlungen als mathematische Objekte und die Hintereinanderausfuhrung als Verknupfung interpretieren. Und dann spielt es eine wichtige Rolle, ob Kommutativitat vorliegt oder nicht. In der Quantenmechanik zum Beispiel spielen Messungen die Rolle dieser,,Handlungen''. Die Verletzung des Kommutativgesetzes erweist sich dort als tieferer Grund fur die Heisenbergsche Unscharferelation, nach der Messungen verschiedener Aspekte (wie zum Beispiel Ort und Impuls eines Teilchens) in manchen Fallen nicht gleichzeitig scharf sein konnen.

Man braucht nicht die Quantenmechanik zu bemuhen, um Beispiele fur die Verletzung oder das Erfulltsein des Kommutativgesetzes bei der Verknupfung von Handlungen zu finden. Denken Sie etwa an die folgenden Handlungen:
A:,,Den linken Schuh anziehen!''
B:,,Den rechten Schuh anziehen!''
C:,,Hemd anziehen!''
D:,,Pullover anziehen!''
A und B kommutieren, C und D aber nicht. (Ubrigens kommutiert auch A mit C, weitere Beispiele finden Sie sicher selber.)

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Das Distributivgesetz

Im Gegensatz zum Assoziativ- und zum Kommutativgesetz sind hier zwei Verknupfungen beteiligt. Handelt es sich um die zwei Verknupfungen "+" und "·", so besagt das Distributivgesetz, dass stets

gilt.
Aus der Schule wei? man, dass das fur die ubliche Addition und Multiplikation von Zahlen stimmt. Es gibt aber viel mehr Beispiele, es gilt zum Beispiel auch fur die Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen, von Funktionen oder von quadratischen Matrizen.
Die beiden Verknupfungen mussen nicht einmal eine Addition und eine Multiplikation sein. Es gibt zum Beispiel ein Distributivgesetz fur Durchschnitts- und Vereinigungsbildung von Mengen (das hei?t dann Morgansche Regel) und eins fur die "und"- und "oder"-Verknupfung von logischen Aussagen.

In der Logik liest sich das so:
Sind p, q und r Aussagen, so ist p und (q oder r) = (p und q) oder (p und r).

Wissenswertes dazu

1. Achtung: Die zwei Verknupfungen, die im Distributivgesetz auftreten, sind nicht gleichberechtigt. Vertauscht man zum Beispiel im,,ublichen"Distributivgesetz die Rollen von Plus und Mal, so ergibt sich die,,Aussage"

Man braucht nur irgendwelche Zahlen einzusetzen um zu sehen, dass das nicht stimmt.
2. Das Distributivgesetz hat wichtige Konsequenzen, zum Beispiel die, dass man Faktoren in beliebig lange Summen hineinziehen kann:

Als Formel mag das etwas abschreckend aussehen, die zugrunde liegende Tatsache kennt jede(r): Um zum Beispiel einen Gesamtpreis in Lire umzurechnen (Lire-Preis = 1000 mal DM-Preis), wenn ich die Einzelpreise und den Gesamtpreis in DM kenne, kann ich entweder die Einzel-Lire-Preise addieren (das entspricht der rechten Seite der Formel) oder gleich den den DM-Gesamtpreis in Lire umrechnen (linke Seite).
Und warum dann die Formel, wenn es intuitiv doch klar ist? Leider kann man nur mit Formeln wirklich strenge Beweise fur alle vorkommenden Situationen fuhren.

3. Treten in einem mathematischen Bereich zwei Verknupfungen gleichzeitig auf, so muss man sich immer fragen, inwieweit sie etwas miteinander zu tun haben. Das Distributivgesetz gilt dabei als der prominenteste Vertreter einer moglichen Vertraglichkeitsbedingung.