Aplicate calcul on-line capitol: calculul aplicat la probabilitate şi statistici
Source: http://www.zweigmedia.com/RealWorld/cprob/cprob2.html
| Secţiunea 2. Funcţii de densitate de probabilitate şi distribuţie uniformă |
Notă: matematică în această pagină a fost culegătorie folosind jsMath. Pentru a vedea jsMath gramaticale la cele mai bune ar trebui să instalaţi jsMath fonturi TeX. Faceţi clic pe jsMath butonul din colţul din dreapta jos a acestei pagini pentru mai multe detalii.
Am văzut că o histogramă este un mod convenabil de a poza de distribuţie a probabilităţii asociate cu o variabilă aleatoare continuă X şi că, dacă vom folosi subdiviziunile de 1 unitate, probabilitatea P (c 
X d) este dat de aria de sub histogramă între X = C şi X = d. Dar am văzut, de asemenea, că este dificil de a calcula probabilitatea pentru intervale de X că nu sunt un număr întreg de subdiviziuni. Pentru a motiva soluţia la această problemă, să ne uităm la exemplul următor, pe baza Exemplul 2 din Secţiunea 1:
Exemplul 1 Inchirieri auto
Un sondaj constată următoarele distribuţie a probabilităţii de la vârsta de o maşină închiriată.
| Varsta (ani) | |||||||
| Probabilitate | .10 | .26 | .28 | .20 | .11 | .04 | .01 |
Histograma a acestei distribuţii este indicat pe partea stângă a figura de mai jos, şi sugerează ceva curba ca un dat din dreapta. (Există multe curbe în mod similar modelate sugerate de către Graficul bara de problema de a găsi curba cel mai adecvat este cel pe care îl va fi în considerare de mai jos..)
x
|
x
|
+
), deoarece acest lucru este posibil, intervalul de valori X poate lua (în principiu). De asemenea, vom folosi x pentru a se referi la valorile specifice ale X Deci nu este o coincidenţă faptul că aceste valori sunt afişate pe x -axa. În general, o funcţie de densitate de probabilitate va avea un anumit interval (eventual nelimitat) ca domeniul său.
Să presupunem acum că la fel ca în secţiunea anterioară, ne-am dorit pentru a calcula probabilitatea ca o maşină închiriată este între 0 şi 4 ani. Referindu-se la masa,
X 4) =
10+ 26+ 28+ 20 = 84Referindu-se la Graficul din stânga a figurii următoare, observa că putem obţine acelaşi rezultat prin adăugarea zone ale barelor corespunzătoare, întrucât fiecare bar are o lăţime de 1 unitate.
x
x 4) = zona umbrită |
x
x 4) =  0 4 f (x) dx |
X 4 este acelaşi, că este,
X 4) = 
0 4 f (x) dx = 84 Acum, ce se întâmplă dacă vrem să găsim P (2 X 3 5)? În secţiunea 1 am estimat acest lucru prin luarea de jumătate din dreptunghiul între 3 şi 4 (a se vedea figura urmatoare).
x
x 3 5) = rece Zonă |
x
x 4) = 2 3  5 f (x) dx |
În schimb, am putea folosi integrala definită
x 4) = 2 3 5 f (x) dx Înainte de a merge pe... Deşi nu am dat o formulă pentru f (x), ne-ar dori f (x) să se comporte aşa cum este descris mai sus. Aici este cu totul altceva ne-ar plăcea: Din moment ce o maşină a probabilitatea 1 de a avea o vârstă cuprinsă între 0 şi , ne-o dorim
X 
+) = 0+
f (x) dx = 1 Exemplul 1 motivează cu următorul text:
| Probabilitate Densitate Funcţia
O funcţie de densitate de probabilitate este o funcţie f definite pe un interval (o
 0 pentru orice x
(B) Ne permite o |
| Utilizarea unei funcţii de densitate de probabilitate pentru a calcula Probabilitatea
Un continuu variabila aleatoare X admite o funcţie de densitate de probabilitate f dacă, pentru fiecare c şi d,
X d) = c d f (x) dx  Exemplu Fie f (x) = 2 x 2 pe intervalul [un o b f (x) dx = 1 2 2 x 2 dx = - x 2  2 1 = - 1+ 2 = 1 Dacă X admite această funcţie de densitate de probabilitate, atunci |
Notă În cazul în care X admite o funcţie de densitate de probabilitate f Apoi
X c) = c c f (x) dx = 0 care arată că există o probabilitate zero, care X îşi va asuma nici o valoare specificată.
Exemplul 2 Normalizarea
Pentru ce constanta k este f (x) = k e - x o densitate de probabilitate funcţie pe [0 1]?
Soluţie Avem nevoie de a alege un k care face cerinţe (a) şi (b) din adevărata definiţie. Din moment ce e - x 
0 pentru orice x, tot ce ne trebuie pentru (a) este să vă asiguraţi că alegem k 0. Pentru (b), se calculează
0 1 K e - x dx = - k e - x 1 0 = k 
1 - e 1 
= e K (e - 1) Din moment ce acest lucru trebuie să egale cu 1, obţinem
1 582 Prin urmare, funcţia de
e e - 1 e - x este o funcţie de densitate de probabilitate pe [0,1].
Înainte de a merge pe... Dacă f este orice functie nenegativ cu un interval de domeniu (o b), atunci procesul de a alege un sistem corespunzător de constanta k pentru a face o b K f (x) dx = 1 este numit normalizarea funcţiei f
Uniforme Densitate Funcţia
O densitate uniformă funcţie f este o funcţie de densitate, care este constanta, acest site este cel mai simplu fel de funcţie de densitate. Din moment ce avem nevoie de f (x) = k pentru o constantă k Cerinţa (b) în definiţia de o funcţie de densitate de probabilitate ne spune că
o b f (x) dx = o b k dx = (b - o) k Astfel, trebuie să avem
Cu alte cuvinte, o funcţie de densitate uniformă trebuie să aibă formularul de mai jos.
| Uniforme Densitate Funcţia
Funcţia densitate uniformă pe intervalul [un f (x) = 1 b - o
Graficul său este o linie orizontală:
Dacă o variabilă aleatoare X admite o funcţie de densitate uniformă, spunem că X este distribuită uniform, sau că X are distribuţie uniformă. Calculul Probabilitatea cu o funcţie de densitate uniformă Deoarece probabilitatea este dat de zona, nu este greu pentru a calcula probabilitatile bazat pe o distributie uniforma:
Fie X să fie un număr aleator reală între 0 şi 5. Apoi X are o distribuţie uniformă acordate de f (x) = 1 5 - 0 = 5 1
|
Exemplul 3 Spinning un număr de apelare
Să presupunem că aţi spin formaţi se arată în figură, astfel încât este vorba să se odihnească într-o pozitie aleatoare. Modelul acest lucru cu o funcţie de densitate de probabilitate corespunzătoare, şi să-l utilizaţi pentru a gasi probabilitatea ca discul va ateriza undeva intre 5 ° si 300 °.
Soluţie
Luăm X care urmează să fie unghiul la care indicatorul vine să se odihnească, aşa că vom folosi intervalul [0 3 60] ca gama sa. Din moment ce toate unghiurile sunt la fel de probabil, funcţia de densitate de probabilitate nu trebuie să depindă de x şi, prin urmare, ar trebui să fie constantă. Asta este, vom lua f care urmează să fie uniformă.
Astfel,
X 3 00) = 5 300 1 360 dx = 360 300 - 5 = 360 295 8194 Înainte de a merge pe... Verificaţi următoarele probabilităţi. De ce sunt aceste răspunsuri vă aşteptaţi?